杜育林 顾祥芳 刘光建

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出，学生核心素养主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界三个方面，并且明确了初中阶段核心素养的九大主要表现。

案例：种植花草问题

某学校门前有一个边长为4m 的正方形花坛，花坛内部要种植红、黄、紫三种颜色的花草（如下页图1），图中AE=MN。计划在阴影部分的四个全等三角形内种植红色花草，在白色部分的四个全等三角形内种植黄色花草，在小正方形MNPQ内种植紫色花草。每种花草的价格如下表：

品种___价格（元/m2）红色花草60黄色花草80紫色花草_120____

（图1）

设AE的长为xm，正方形EFGH的面积为Sm2，买花草的费用为W元。

解答下列问题：

（1）S与x之间的函数表达式为S=_______；

（2）求W与x之间的函数表达式，并求出所需的最低费用是多少元？

（3）当买花草所需费用最低时，求EM的长。

教师在针对现阶段初中生进行音乐教学的过程中，应全面利用音乐产生情感共鸣的特性对学生进行相关的引导教育，确保学生在接受音乐知识的基础上保证学生综合素质的建设。

一、设计意图

新课标在“课程目标”中提出了三条义务教育阶段的“总目标”，其中第二条是让学生“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴涵的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题”［1］11。为达此目标，在数学教学中，教师应结合具体课程内容，精心设计案例，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，在这个过程中让学生获得“四基”“四能”，不断提高学生通过建立数学模型解决实际问题的能力。

二次函数就是一个典型的数学模型，许多数学问题（含实际问题）都可以通过建立二次函数模型加以解决。新课标在“课程内容”中针对“二次函数”提出了四条具体要求，其中之一是“会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题”［1］57。

在学生学习了二次函数的概念、探究得到二次函数的性质之后，为了在二次函数的应用课中加强对学生应用意识的培养，促进模型观念的形成和发展，我们设计了上面的案例。

二、教学目标

1.引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，获得利用二次函数解决实际问题的经验，感受模型思想和数学的应用价值，进一步促进学生模型观念的形成。

2.能分析和表示实际背景下变量之间的二次函数关系，并解决简单问题中与二次函数有关的部分。

3.在建立模型解决问题的过程中，培养并提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，增强应用意识。

三、解答过程

本案例以“种植花草”为背景，设有三个问题。解答问题（1）只需要利用勾股定理求出正方形EFGH的边长即可。解答问题（2）应分三步：一是求出种植各种花的面积，认真观察图1，正确用含x的代数式表示三种花草的种植面积是关键；二是根据种植三种花草的面积和价格，正确列出所需费用W与x的关系式，并进一步整理得到函数关系式W=80x2-160x+1280（数学模型）是解决本小题的关键一步；三是利用二次函数的性质求出函数W=80x2-160x+1280 的最小值，并根据实际问题的意义确定出最终答案。解答问题（3）的关键是在Rt△EMH中，利用勾股定理建立方程模型a2+（a+1）2=10。具体解答过程如下。

（1）根据勾股定理易求出正方形EFGH的边长，所 以S与x之间的函数表达式为S=x2+（4-x）2。

（2）W=60×4S△AEH+80×（S正方形EFGH-S正方形MNPQ）+120×S正方形MNPQ=60×4×（4-x）+80×［x2+（4-x）2-x2］+120x2=80x2-160x+1280=80（x-1）2+1200（0＜x＜4）。

当x=1时，W有最小值1200。

由实际问题的意义可知，函数W=80x2-160x+1280的最小值就是实际问题的最小值。

（3）当买花草所需的费用W最低时，x=1，即AE=1m，所以AH=3m、EH2=AE2+AH2=10m2。

设EM=am，又MN=AE=1m，所以MH=（a+1）m，在Rt△EMH中，a2+（a+1）2=10，解得a=。因为a＞0，所以，因此EM的长为。

四、教学价值分析

从数学教育教学的角度看，本题的核心立意于“模型观念”的形成与发展。事实上，本题不仅仅有助于模型观念的培养，对于其他核心素养表现也具有积极的教育教学价值。

1.培养学生的运算能力

数学离不开运算。数学运算能力是新课标提出的核心素养之一，是指“根据法则和运算律进行正确运算的能力”。运算能力是在运用数学知识进行计算、推理以及解决问题的过程中逐渐形成并得到不断提高的。

本案例有三问，每一问都考查了学生的运算能力：第（1）问，为了写出S与x之间的函数表达式，需要先根据勾股定理求出正方形EFGH的边长；第（2）问，为了求“所需费用的最小值”，需要先根据二次函数的性质求出二次函数的最小值，这里对函数表达式进行变形整理变成了关键的一步，需要学生具备相应的运算能力；第（3）问，根据勾股定理建立起一元二次方程后，解方程的过程比较复杂，也要求学生具有较强的运算能力。可见，本案例对于培养学生的运算能力有积极的教学价值，是一道培养学生数学运算能力的好题目。

2.在数学建模过程中感悟模型思想、提升模型观念

“模型观念”是新课标提出的重要概念，是初中九大核心素养之一。为了分析本案例对学生模型观念的形成与发展的作用，我们有必要澄清“数学模型”“数学建模”“模型思想”“模型观念”等概念的意义。

“数学模型”就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，各种图表、图形等都是数学模型。［2］用通过计算得到的数学模型的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个建立数学模型并应用的全过程就称为数学建模。

“模型思想”是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想。［3］史宁中教授认为，数学基本思想有三种，模型思想便是其中之一。“模型观念”主要是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识［1］10，是通过建立数学模型去认识问题、解决问题的自觉意识和思维方式。

本案例属于典型的建立二次函数模型解答实际问题的案例（从解答过程看，还需要建立一元二次方程模型）。学生通过解答本案例，完整地经历了“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，这个“建立模型—解决问题”的过程可用下页图2 表示。学生每经历一次图2 所示的数学建模过程，其模型观念都将得到一次增强和发展的机会。［4］

（图2）

3.有利于学生形成良好的情感价值观

新课标对于“总目标”提出的第三条要求是“对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神”［1］11。我们可以把这一条简称为“情感价值观”，这条目标是在落实前两条目标的过程中实现的，即它是“伴随”在学生获取“四基”、形成“四能”以及“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程中逐渐形成的。

学生在解答本题的过程中，不仅提高了分析问题、解决问题的能力，并且还培养了细致、严谨的学习品质。学生面对三个问题的计算过程都要细心、不可马虎，在对二次函数通过配方得到W=80（x-1）2+1200 的过程，以及最后解方程更要精心运算，一不小心就容易出错，这些运算过程都有助于学生养成良好的学习习惯。

本题的真实情境背景有助于学生理解“数学来源于生活，数学服务于生活”的含义，在这个过程中，学生能进一步形成模型观念，提高分析问题解决问题的能力，不断增强应用意识。

五、教学启示

我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑，归根结底是指模型观念的有、无、强、弱的问题。学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力主要是在数学学习以及运用数学知识解决问题的过程中得到提升的，新课标中强调的应用意识和模型观念素养都是在“建立模型—解决问题”的过程中逐步形成的。

模型观念是在经历“过程”中逐步形成与发展起来的，数学中建立模型内容的“载体”处处皆是。在引导学生学习这些“载体”内容（如方程、不等式、函数等）时，有两个环节对于学生模型观念的形成与发展具有积极的促进作用：一是概念的建立过程；二是建立模型解决实际问题的过程。

这就决定了在数学概念的教学中，教师一方面应认真研读教材，充分理解编写意图，并阅读与本概念有关的教学论文（著）；另一方面要清楚数学概念常用的定义方式，确定给出本概念究竟要采用的哪一种定义方式。在此基础上，教师要对教材内容进行二次加工处理，设计出问题系列，以此引导学生经历“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程，在这个过程中不断提高学生的数学抽象能力、推理能力以及分析问题和解决问题的能力，进一步感悟模型思想，增强模型观念。