张 锋

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》在教学建议中指出：为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联；在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学体系。一方面要了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图，另一方面强化对数学本质的理解，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立有意义的知识结构。

在以课时为单位的教学中，教师比较关注局部知识和技能的获得，忽视了数学知识内在的本质联系，忽略了数学学习和研究方法的一致性，导致学生对知识的发展过程缺乏整体感知，不能正确理解数学的本质。如何整体把握教学内容，突出数学本质，发展学生的核心素养？下面，笔者以苏科版初中数学九年级下册《二次函数的图象和性质》的教学为例，谈谈如何在教学中注重知识之间关联，引导学生关注数学本质。

一、基本情况分析

1.教材分析

苏科版教材中关于二次函数的图象与性质的内容是按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序安排的，其中数形结合的思想贯穿整个过程。本节课主要研究函数y=ax2与y=ax2+k、y=a（x+h）2图象之间的关系，引导学生学会从函数表达式、函数对应值表、图象三个角度认识二次函数的左右、上下平移，用运动变化的视角，从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”的关系着手，探索二次函数y=ax2+k、y=a（x+h）2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系。

2.学情分析

授课班级的教师对该单元内容已进行了重组：学生已学习二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象之间的关系，知道了二次函数y=ax2+k的图象特征及性质，已初步体会研究二次函数图象和性质的一些基本方法和数形结合思想，会通过上下平移的方法解释二次函数y=ax2+k的图象与y=ax2的图象的位置关系，对于“坐标的数值变化”引起“图形的位置变化”有初步的直观感受。

二、备课环节思考

本节课的教学中，笔者分别从数和形两个角度进行对比，帮助学生理解自变量x“左加右减”的本质，为此，笔者在备课时主要思考如下。

一是明确研究的路径。从函数表达式、函数对应值表、图象三个角度认识二次函数图象的左右平移，从函数图象上下平移的认识迁移到对左右平移的认识，多维度理解函数图象的平移。二是明确研究的方法。类比上下平移的特征，学生可知左右平移的特征是纵坐标不变，教师可带领学生观察横坐标的变化，取同一函数值y，由表达式求出相应的x的值，观察其大小关系，再在坐标系中找出对应点的位置关系，从而得出平移的规律。

三、教学过程

1.课前热身

师：请大家做一做这道习题“函数y=-x2+2的图象是一条开口_____的_______，顶点坐标是______，对称轴是______，可由函数y=-x2的图象向____平移___个单位长度得到。”在解题过程中，如何绘制这个二次函数的图象？

生：可用列表、描点、连线来画图象；也可以先画出y=-x2的图象，再向上平移2个单位。

师：同学们的思路非常好！上节课我们研究了哪一类二次函数？这类函数图象与y=ax2（a≠0）的图象之间有什么关系？

生：研究了函数y=ax2+k（a≠0），它是由函数y=ax2（a≠0）沿y轴上下平移得到。

【设计意图】课前热身环节引入一道练习题，既帮助学生回顾二次函数y=ax2+k的图象与性质，又可以了解学生的思维结构，回顾上一节课中已学过的研究二次函数图象的路径与方法，为本节课学习提供思路和铺垫。

2.探究新知

师：请大家思考三个问题。（1）函数图象的平移，除了上下平移，还可以是？（2）接下来你准备研究哪一种形式的二次函数？为什么？（3）根据你的已有经验，你打算如何进行研究？

生：二次函数图象除了上下平移外，还可以左右平移；接下来，我们可以研究y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函数，可以通过画图或列表计算的方法进行研究。

师：非常好，同学们通过类比、猜想的数学方法，提出了y=（x+1）2、y=（x-1）2、y=（x+3）2等函数，我们可以概括为y=a（x+h）2。在研究这类二次函数时，可依旧采用画函数图象的通法——列表、描点，画出函数的图象，再观察其位置关系；还可以从函数表达式入手，抓住左右平移“纵坐标不变”的特征，对同一函数值y，可求出相应的自变量x，再观察由此引起的位置变化。下面，请大家以特殊函数y=x2和y=（x+1）2为对象，展开探究，完成以下问题。为了方便区分，将两个函数分别记为：y1=x12和y2=（x2+1）2。

（1）从表达式上看：由函数左右平移特征可知，y1=y2时，自变量x1、x2之间的数量关系为：_________________。（可填：x1=x2+1或x1=-x2-1）

（2）从函数对应值看：如下表，当两个函数值相等时，自变量x2比x1_____（填“大”或“小”）1 个单位长度，即函数y2图象上的每个点是由函数y1图象上的对应点向左平移1 单位长度所得。

_____x1 y1=x2____x2 y2＝（x+1）2___…__……__…__-4__16-5_16__-3__9-4_9___-2__4-3_4___-1__1-2_1___0 ________________________________________________0 -1 ______________________________________0___1 ________________________________________________1 0 ________________________________________________1___2 _______________________________________4 1 _______________________________________4__…………

（3）从图象上看：函数y2=（x+1）2的图象是由函数y1=x2的图象向左平移1个单位长度得到的。现在你能得出函数y2=（x+1）2的图象的性质吗？函数y=（x-1）2的图象和y=x2的图象的位置有何关系？函数y=（x-1）2的图象有哪些性质？

【设计意图】教学伊始，笔者设置了三个问题，引出本节课的研究内容——二次函数的左右平移。自然承接上一节内容，体现了知识的延续和关联性，引导学生关注知识的完整结构。为了让学生体会二次函数图象表达式“数值变化”所引发的“位置变化”，笔者设计了让学生易于发现函数值相同的两个函数自变量之间“平移关系”的表格，也可以设置成如下错位的表格，让学生感受自变量的“平移”。

_____x -4__-3__-2__-1 y=x2 y＝（x+1）2___…________________________……__3__9 9___9 4___4 1___1 0___0_______________________________________________________0 1___1_______________________________________________________1 4___2______________________________________________________________________________________________________________________4 9______………

把表格设计成错位的形式，可引导学生展开观察和思考活动，发现函数值相等的两个函数自变量之间的关系，从中感受函数图象的“平移”的关系，从不同角度理解自变量x“加、减”的本质，与初一所学内容数轴上点的平移具有一致性的结论。

3.概括结论

思考：（1）根据自己的探究过程，请在组内交流一下，你发现了什么？现在是否可以得到一般的函数y=a（x+h）2的图象与函数y=ax2的图象的关系？（2）函数y=a（x+h）2的图象有什么性质？

【设计意图】学生通过相互交流、补充，逐步完善函数y=a（x+h）2的性质，对函数的认识也更深入，更好地理解了二次函数的本质。在学习过程中，学生知道了二次函数的增减性、开口方向和最大（小）值要分a＞0和a＜0两种情况来讨论，再根据图象总结性质，突出“数形结合”的思想。

4.例题解析

例题：请说出函数y=-2（x-3）2的图象与y=-2x2图象之间的位置关系，并画出其图象。

追问：函数y=-2（x-3）2的图象是否可以由y=-2（x+1）2的图象平移得到？

反思：对于形状相同的抛物线，如何快速进行平移？

【设计意图】设计本例的目的，是让学生直接运用刚才得出的平移结论，让学生进一步理解：研究形状相同的二次函数图象之间的位置关系，抓住核心——抛物线的顶点，即可快速确定如何平移。

5.课堂小结

（1）本节课，我们学习了哪些知识？学习过程中用到了哪些方法？

（2）根据研究二次函数的思路，你觉得接下来要研究什么？如何进行研究？

四、教学反思

1.整体把握教学内容，理解数学知识本质

初中阶段学生对函数的学习虽有阶段性的差异和发展，但内容上具有整体性，逻辑上具有连贯性，思想上具备一致性，方法上具有普适性，思维上具有系统性。

二次函数的研究是苏科版教材中函数的收尾部分，数形结合思想贯穿函数研究过程的始终。本节课的教学中，笔者结合一次函数的学习方法，整体把握二次函数的本质和图象与性质主题的学习特点，引导学生理解二次函数y=ax2、y=ax2+k与y=a（x+h）2的本质，建构起二次函数主题下的数学知识体系，形成科学的思维习惯，发展核心素养。

2.经历完整探究过程，培养学生整体思维

教师在设计时，要让学生经历完整的结构化的探究过程：从观察、操作、实验、归纳中获得猜想进而证明，从问题的发现、提出，再到问题的分析、解决，从数学情境的创设到数学模型的建立，再从求解模型到最后验证模型。这样，学生在经历完整的获得数学结论的过程中，不断发展数学思维能力，积累数学探究的活动经验，增强数学思维的整体性，提高数学核心素养。