题1（《数学通讯》2021年第7期问题505）

设 ΔABC 的外接圆和内切圆的半径分别为 R r ，三边及对应的三中线、三内角平分线的长分别为a，b，c，m_a，m_b，m_c 和 t_a，t_b，t_c 求证：

事实上，在三角形中，有 m_a⩾t_a，m_b⩾t_b，m_c⩾ t，则 又由欧拉不等式 R⩾2r 知 ，从而不等式 ① 是 的加强.

题2（Panaitopol）不等式[]在 ΔABC 中， R，r 分别表示其外接圆和内切圆的半径， m_a，h_a 分别是

BC 边上的中线长和高的长度，则有

事实上，同理 故 又由几何知识易知 t_a⩾h_a，t_b⩾h_b，t_c⩾h_c ，则 所以该试为不等式 ① 的一个逆向（上界）估计.

综上可得：

结论 在 ΔABC 中，有 本文对不等式 ② 进行加强，得到：定理1在 ΔABC 中，有

证明 记 ΔABC 的半周长为 s ，面积为 s，Σ 表示循环求和.

由中线长公式 4m_a²=2（b²+c²）-a² 余弦定理及均值不等式得 （20 所以 （20

又角平分线长为 所以 （20 所以

将 ，代人得 由 Gerretsen 不等式 s²⩾16Rr-5r² 可得 从而不等式 ③ 左边得证

由 为证 ，只需证明 由中线长公式得

将 abc=4sRr，a²+b²+c²=2（s²-4Rr-r²） 代入上式得 所以由柯西不等式得

故只需证明 4R²+6Rr-r² ，由 Gerretsen不等式 s²⩽4R²+4Rr+ 3r² ，只需证明 4R²+4Rr+3r²⩽4R²+6Rr-r²⟺R⩾ 2r ，由欧拉不等式 R⩾2r 知显然成立.从而不等式 ③ 右边得证.

注 由欧拉不等式 R⩾2r 知 ，故不等式 ③ 强于不等式 ②

由欧拉不等式 R⩾2r 知 为此笔者尝试对不等式 ③ 右端再加强，得到：

定理2 在 ΔABC 中，有

证明 由角平分线长公式 及 得 ，所以 （2

再由 （s-a）（s-b）+（s-b）（s-c）+（s-c）（s-b）（s-b）. （2-a）=ab+bc+ca-s²=4Rr+r²，（s-a）（s-b）（ s ，知 ，所以

由于前文已证 5r² ），故由柯西不等式得 （204所以 故只需证 ：

由Gerretsen不等式 s²⩽4R²+4Rr+3r² ，只需证 4R²+4Rr+3r²⩽ 设 ，则只需证 2t⁴-3t³- t²-4t+4⩾0⇔（t-2）（2t³+t²+t-2）⩾0⇔ （t-2）[2（t³-1）+t²+t]⩾0 ，显然成立.

故不等式 ④ 成立

说明 不等式 的证明借助了（204号 不等式 ④ 直接利用柯西不等式直接证明了结论，那么是否可以将不等式 ④ 加强为 留给感兴趣的读者证明.

参考文献

[1］董林.由基本事实引发的若干数学问题的探究[ .数学通讯，2018（08）：61-64.