候怀有 张恩军

【摘要】从一道数学问题说起，通过问题解答以及变式探究，设计丰富多彩的数学探究活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学核心素养，最后提出几点自己的教学思考与同仁商榷.

【关键词】数学核心素养;问题探究活动;包书问题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念.关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯[1].

数学与实际生活联系密切，许多数学知识来源于生活，在进行日常教学时，尤其有关数学知识的应用时，要主动选取贴近生活、学生熟悉的数学情境，设计丰富多彩的数学探究活动，引导学生从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学核心素养.本文就一节数学活动课的教学设计以及教学思考与同仁商榷.

1问题提出

如图1（1）的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．

（1）如图1（2），数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm．小明用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1（1）所示，求折叠进去的宽度；

（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典．你能用一张41cm×26cm的矩形纸，按图1（1）所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由．

设计意图 每学期开学时，只要课本发下来，学生做的第一件事常常就是给新书包上书皮.包书皮是一种富有趣味的动手操作活动，是数学活动课的良好素材.本题以包书皮为背景，以“这张矩形纸能不能包好这本书”为思维的契入点，立刻将学生带入实际生活中，深刻感受实际生活与数学的密切联系.

2背景搜索

实际生活中的包装随处可见，五花八门，其中的设计学问很大.有些外包装看上去很美观，让人感觉气势恢宏，但实际上容量却很小，如某些饮料瓶、糖果包装的设计；有些外包装要求外观小巧，而容量要尽可能地大，如保鲜盒的生产等.包书问题虽然简单，操作容易，但也是包装设计中的一种，每个学生都是非常熟悉的.

为了包好每本书，需要讲究方法，认真操作.先将选好的图案估量着放在封面的正中，然后把纸对折，将书夹在中间，在四周轻压一下，压出书的大概样子，再沿着刚刚压出的痕迹将纸仔细折好.如果折叠过去的宽度较宽，可将多余的纸边裁掉.最后将书的封面和封底折进去，再用硬物压上一段时间使其更加平整.这样一本崭新的书就包好了.我们常见的包书方式一般有两种，一种是形如某些较厚的字典，沿书的长分别折进去，展开后如图2所示；另一种是常见的书，沿书的长和宽分别折进去，展开后如图3所示（虚线是折痕，折进去的长度不一定相等）.

设计意图 通过对包书皮的背景搜索，使学生了解包书皮实际上就是包装设计，进一步体会包装设计在实际生活中的广泛应用，并通过包书皮的具体操作唤起对这一活动的美好记忆，激发学生学习数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性.

3问题解答与延伸

矩形包书纸的面积大于书平展后的面积，就能包書吗？

显然，要矩形包书纸能包书，它的面积一定要大于书平展后的面积；但矩形包书纸的面积大于书平展后的面积，也不一定能包书.如一张10cm×140cm矩形包书纸就不能包一本平展后为30cm×40cm的书.那么，矩形包书纸的长和宽分别满足什么条件才能包书呢？理论上，“矩形包书纸的长＞书的宽×2+书的厚，且矩形包书纸的宽＞书的长”就能包书.可见，包书中蕴涵了很多数学知识.

3.1包书问题中的代数式

问题1 一本精装版《成语大词典》长、宽、厚如图4所示（单位：cm），如果按图2的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，试用含a、b、c的代数式分别表示《成语大词典》封皮的长与宽.

解 封皮长（2b+c+6）cm，封皮宽acm.

设计意图 在初中数学中，“数与式”是“数与代数”领域的重要基础内容，它包括有理数、实数、代数式、整式、分式等.这部分内容知识点多，技能性强，难度一般不大，而利用包书皮的设计，学习回顾相关代数式的知识，对渗透学生的“数感”和“符号感”是非常直观、有效的，有利于培养学生的运算能力、应用意识等核心数学素养.

3.2包书问题中的方程

问题2 “问题提出”中的第（1）问

解 设折叠进去的宽度为xcm，根据题意，得（26+2x）（18.5×2+1+2x）=1260，化简，整理得x2+32x-68=0，解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去），所以，折进去的宽度为2cm．

解答本题需要将实际问题转化为一个方程模型，需要学生将平面示意图与立体图形结合，通过观察分析、思考，建立一元二次方程模型.方程是初中数学的核心内容之一，用方程解决实际问题，需要把实际问题转化为数学问题，同时得出解后又要回到实际向题中检验其解是否合理.在初中数学中，很多代数问题、几何图形问题，只要是求未知量数值，一般都要借助于方程.

设计意图 通过问题的第（1）问，使学生经历观察、分析、转化、建模等思维过程，巩固学生综合运用一元二次方程，以及灵活运用转化与化归、方程等数学思想解决实际问题的能力，培养学生的运算能力、模型观念、几何直观等数学核心素养.

3.3包书问题中的不等式（组）

问题3 “问题提出”中的第（2）问.

解 【方法1】分两种情况：

①当字典的长与矩形的宽方向一致时，若要包好这本字典，所需矩形纸的宽为19+3×2=25＜26，长为16×2+3×2+6=44＞41.所以不能包好这本字典.

②当字典的长与矩形纸的长一致时，因为44＞26，所以不能包好这本字典.综上，所给的矩形纸不能包好这本字典．

【方法2】设折叠进去的宽度为xcm.分两种情况：

①当字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意，得19+2x≤26，16×2+6+2x≤41，解得x≤1.5.所以，不能包好这本字典.②当字典的长与矩形纸的长方向一致时，根据题意，得19+2x≤41，16×2+6+2x≤26，解得x≤-6.所以，不能包好这本字典.

综上，所给矩形纸不能包好这本字典.

本题需要学生对信息作出判断，理解按图1（1）的包书方式需满足“矩形包书纸的长＞书的宽+书的厚+折进去的长度×2，矩形包书纸的宽＞的长+折进去的长度×2”的不等关系.生活中存在大量不等关系，不等式是刻画现实世界的一种数学模型.本题的设计有效复习了不等式（组）的应用.此外，问题的解决中又涉及分类讨论的数学方法，有利于培养学生思维的完备性.

设计意图 问题的第（2）问，需要学生经历阅读、分析、判断、建模、计算等数学思维活动，锻炼学生运用一元一次不等式（组）知识以及分类讨论的数学思想解决实际问题的能力，培养学生的抽象能力、运算能力、模型观念以及应用意识等数学核心素养.

3.4包书问题中的相似

问题4现有1张一角污损的矩形包书纸，如图5，矩形ABCD中，AB=30cm，BC=50cm，AE=12cm，AF=16cm.使用沒有污损的部分按图3方式包一本长为19cm，宽16cm，厚为6cm的字典.试画出一种合适的剪裁法，并写出剪裁后矩形的长和宽.

为了使剪裁后的矩形尽可能大，也能够包书，那么矩形的一个顶点落在EF上是较好的剪裁方法.如图6（1），点P1为线段EF上一点，过点P1作P1H⊥CD，则需要P1H＞（16×2+6）cm，即P1H＞38cm；如图6（2），点P2为线段EF上的一点，过点P2作P2G⊥BC，则需要P2G＞19cm；显然落在EF上的点P一定在线段P1P2之间（如图6（3））.

问题4要求写出剪裁后矩形的长和宽，就是要分别写出PG，PH的长，即分别求出PM，PN的长.如果PH的长设为40cm，则PM=10cm，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，则1016= 12-PN12，所以PN=4.5cm，所以PG=22.5cm＞19cm，符合题意要求，因此剪裁后矩形的长为40cm，宽为22.5cm.

两个三角形相似，由对应边构成的比例等式，使其成为初中数学中有关线段长度计算的重要途径和工具.通过包书这个载体，利用三角形的相似，解决了预设问题，又让学生感受了数学的应用价值.

设计意图 设计的问题情境可以让学生更加关注数学探究活动，在观察、操作、分析、比较、判断、计算中体验数学探究活动的乐趣，锻炼运用相似三角形解决实际问题的能力，培养抽象能力、几何直观、推理能力、运算能力等数学核心素养.

3.5包书问题中的函数

问题5 针对问题4，是否存在剪裁后面积最大的矩形也能包这本书，并说明理由.

由问题4知存在剪裁后的矩形能够包书.但要解决面积最大的矩形是否能包这本书问题，答案好像是“当然可以”的.事实果真如此吗？

设PM=x，由△EPM∽△EFA，得PMFA=EMEA，则x16=12-PN12，所以PN=12-34x，所以S矩形PGCH=（50-x）（30-12+34x）=-34x2+392x+900=-34（x-13）2+30934，当x=13时，S最大，此时PG=27.5cm＞19cm，但PH=37cm＜38cm，所以不存在剪裁后面积最大的矩形也能包这本书.

函数是表示数量之间关系以及变化规律的数学模型.问题5通过包书这个载体，将与运动相关的几何图形问题与二次函数问题结合，体现了函数是联系数学与实际问题的纽带和桥梁.

设计意图 新课程理念要求在实际问题中追求最优化思想，要求学生经历思考、分析、建模，判断等思维过程，利用二次函数模型解决问题，做出最恰当的判断，培养学生抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和模型观念等数学核心素养.

4教学思考

4.1对已有教学素材的利用

教学素材是知识的载体.初中生的生活经验和知识背景已比较丰富，相对小学生，他们更关心周围的人和事，更关注用数学知识解决问题.因此选择符合初中生生理、心理特点的教学素材对教育工作者，尤其对一线的教师来说任重道远.而对已有的教学素材，需要教师引导学生分析、整合、拓展、创新素材，从而发展学生解决问题的能力.

包书问题只是学生应用数学知识解决问题的一个例子.通过“包书问题→数与式”“包书问题→方程”“包书问题→不等式（组）”“包书问题→相似”“包书问题→函数”等形式，将相关知识进行串联，让学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程，体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识.

4.2对特定问题变式的思考

变式教学主要是指对特定内容进行变通推广，让学生能从不同角度、不同层次，重新认识已有问题.变式要循序渐进，要符合学生的已有认知规律.只有这样，才能调动学生学习的积极性，提高学生参与、创新和解决问题的能力.

包书问题中，原情境要求学生利用方程、不等式组解决问题，而问题的延伸则需要学生从数与式、方程、不等式（组）、相似、函数等立体化的交叉网络提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.学生需要动脑思考解决问题的思路，动手探究解决问题的策略，动口叙述解决问题的方法.如解决问题3还有没有其他方法？问题4怎样叙述更有条理？问题4仅凭直观想象是否正确等等.通过这些变式问题获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深对相关数学知识的理解.

4.3对数学活动课中“活动”的认识

数学活动的教学也是数学思维的教学.数学活动课包含学生动手实践、合作交流等形式的活动，这些活动更注重学生的数学思维，让学生在活动过程中多动脑筋，勤于思考，从中悟出规律与道理.包书是一种常见的劳动，它是一种技能，它的教学价值不仅仅在于保护图书这一浅显的功能，更重要的是通过包装文化体现数学应用的价值.通过对包书的认识，把课堂所学知识运用到实践中，使理论联系实际，发展数学应用能力，使学生的数学素养得到全面的提高.

包书问题可延伸至包装、设计等问题，能给师生带来更多的思考与探究的空间.数学与现实生活是密切相关的，因此，有价值的数学更多地体现在学生用数学的眼光和思维去观察、认识日常生活现象，去解决生活中的问题，获得并提高适应生活的能力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版[M]．北京：北京师范大学出版社，2022：15.

作者简介侯怀有（1973—），男，山东陵县人，教育硕士，中学高级教师;主要从事数学教育教学研究.

张恩军（1975—），男，山东陵县人，中学高级教师;主要从事教育教学研究.