史娜 孔慧华 桑彦彬 李有文 梅银珍 宋妮

摘  要：为培养新时代中国社会主义的建设者和接班人，贯彻落实立德树人的根本任务，在复变函数与积分变换的教学过程中自然地融入课程思政元素，建立该课程的课程思政教学案例库是势在必行的。首先，深入挖掘思政元素与数学专业知识的结合点。其次，对线上线下混合教学模式进行课程思政设计。最后，形成适合本课程的课程思政教学案例。通过对课程思政案例的教学实践，教育引导学生成为热爱祖国、富有理想、视野宽广、德才兼备的创新型人才。

关键词：复变函数与积分变换；课程思政；教学案例；教学设计；实践能力

中图分类号：G640      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）05-0090-04

Abstract： In order to train the builders and successors of Chinese socialism in the new era and implement the fundamental task of building morality and cultivating people， it is necessary to naturally integrate the curriculum ideological and political elements into the teaching process of Complex Variable Function and Integral Transformation， and establish the curriculum ideological and political teaching case base of this course. Firstly， we deeply excavate the combination of ideological and political elements and mathematical professional knowledge. Secondly， the course ideological and political design carried out with online and offline mixed teaching mode. Finally， we form a case of ideological and political teaching suitable for this course. Through the teaching practice of ideological and political cases in the course， we guides students to become innovative talents with morality and ability who love the motherland， full of ideals， have a broad vision.

Keywords： Complex Variable Function and Integral Transformation; curriculum ideological and politics; teaching case; teaching design; practical ability

2019年3月，習近平总书记在学校思想政治理论课教师座谈会上指出：“用新时代中国特色社会主义思想铸魂育人，引导学生增强中国特色社会主义道路自信、理论自信、制度自信、文化自信，厚植爱国主义情怀，把爱国情、强国志、报国行自觉融入坚持和发展中国特色社会主义事业、建设社会主义现代化强国、实现中华民族伟大复兴的奋斗之中。[1]”

2019年4月30日，习近平总书记在纪念五四运动100周年大会上指出“新时代中国青年要珍惜这个时代、担负时代使命，在担当中历练，在尽责中成长，让青春在新时代改革开放的广阔天地中绽放，让人生在实现中国梦的奋进追逐中展现出勇敢奔跑的英姿，努力成为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。[2]”

在高等院校理工科专业开展复变函数与积分变换课程教学时，要以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，贯彻落实立德树人的根本任务，自然地融入课程思政元素，努力将新时代大学生培养成为富有家国情怀、思维方式新颖、具有开阔视野和严于律己的社会主义建设者和接班人。本文从课程思政的教学设计和思政案例的教学分析来研究复变函数与积分变换课程思政元素的应用与实践。

一  融入思政元素的课堂教学设计

在新工科背景下，为培养具有远大理想和学科交叉融合的工程创新人才[3]，在传统教学模式中融入课程思政元素是十分必要的。本课程作为工科专业的公共基础课程，是高等数学课程的后续课程，对本科生而言，具有一定的复杂性和抽象性。因此，需要在教学过程中结合课程思政教育，明确大学的奋斗目标，发挥大学生的主观能动性去攻克一个个数学难题。

（一）  引导学生将爱国情、强国志、报国行融入到学习奋斗中

复变函数与积分变换课程在大二第一学期开设，学时总数为48学时。在课程伊始，要引导学生思考“为什么读大学？”“如何树立远大理想？”“如何成为所学专业的优秀人才？”，将为祖国而勤奋学习的教学目标贯穿在本课程的学习中。对于每一个大学生来说，热爱祖国是本人的职责所在，是成为栋梁之才的根本。努力向为祖国鞠躬尽瘁的伟大科学家学习[4]，为了实现中华民族的伟大复兴而奉献一生，将爱国情、强国志、报国行融入到大学四年的学习奋斗中。

（二）  引导学生具有思政元素的创新思维方式

教师在复变函数与积分变换课程的教学工作中，悄无声息地融入思政元素教育，是培养大学生具有创新思维的重要力量。在授课之前，本课程的教师团队针对每个章节的重点和难点知识，进行了课程思政教学案例的探究讨论，具体的课程思政元素与专业知识点的结合见表1。

在复变函数与积分变换课程中融入以上思政元素，能够给学生提供更深刻的课程思政学习体验，引导学生具有正确的思维方法，有效地培养学生的创新思维方式。

（三）  学生学习行为的教学设计

本课程大学生需要完成3个自主学习模块：课前预习、测试、反馈。基于SPOC环境，建立预习加反馈、测试与巩固、实践并提高的一种新型教学模式，实施线上线下混合式教学方法改革[5]，有效延伸课堂学习的时间和空间。

课前，学生根据自主预习任务清单，每节课前观看微课视频，并完成1～2个测试题目。教师将重点难点问题的相关资料通过“学习通”平台发布给学生，要求学生提前通过手机端进行预习。

在线下课堂的授课中，开展“面向问题”的启发式教学模式、参与式教学模式，创设情境，导入新课，注意选择与国家重大战略有关的内容作为案例引入[6]，引导学生主动观察，积极思考，使学生体会数学的意义及应用的广泛性。开展以学生为中心的个性化教学、讨论探究式教学和翻转式教学等，如边讲边练、生讲生评、案例点评和分组讨论等，让学生充分展现提升自己。

对于课后作业和章节测试题目中的疑难问题，学生可以在“学习通”平台上进行提问反馈，通过线上师生之间或学生之间的多时空答疑，课后巩固教学的重点与难点，最后进行反思总结，拓展延伸，力求在“问题数学”中培养学生敢于求异、勇于创新的气魄。

二  课程思政教学案例

为有效实现复变函数与积分变换课程“为党育人、为国育才”的德育功能，贯穿“全员、全程、全方位”的育人理念，全面提升教学质量和教学效果，本文将课程思政元素与专业知识进行有机融合，设计出有代表性的课程思政案例，类似案例可以在本课程和理工科课程中加以应用及推广。

（一）  新时代社会主义接班人的责任担当

大学生作为新时代中国青年，作为新时代中国特色社会主义的接班人，通过对复变函数概念的学习，学生知道本课程的研究数域从实数域推广复数域上，函数研究的环境发生了改变，在新环境中会遇到许多新问题。复变函数理论依然要用极限方法去研究复变函数的连续性、可导性、解析性及积分的存在性问题，同时，一个复变函数w=f（z）等价于两个二元实函数u=u（x，y），ν=ν（x，y）。随着研究环境的改变，大学生要克服困难、化解矛盾、刻苦钻研，要成为新时代中国特色社会主义的建设者和接班人，要具有责任担当精神。

研究复变函数的极限，需要研究二元实函数的极限是否存在。这就要求学生具有扎实的高等数学学习基础，要求学生具有利用已有知识解决未知问题的创新实践能力（例1）。

解：令z=x+iy，则

由此得

令z沿直线y=kx趋于零，有

学生在面对新的复变函数极限存在性的证明时，能够运用非常经典的证明二元实函数极限不存在的方法，通过反复练习和实践，将具有严谨的逻辑思维能力和解决实际问题的创新实践能力，为实现中华民族的伟大复兴贡献自己的一份力量，成为真正的祖国担当。

（二）  复积分与实积分的普遍性联系观

唯物辩证法认为世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体[7]。显然，不同类型的积分之间也存在必然的联系。复变函数的积分等价于两个曲线积分，也可以通过定积分来计算；而比较复杂的实积分则能够利用复积分来计算。在学习复积分之前，引入不同类型积分之间联系的普遍性、客观性、多样性，有利于学生深刻理解和掌握复积分的计算方法（例2）。

半径的正向圆周，n为整数。

解：因正向圆周的参数方程为，

所以

当n=0时，结果为

当n≠0时，结果为

所以

而三类复杂实积分的计算则是通过利用留数定理计算复积分得到的。在此过程中，学生能够在定积分和复积分之间建立普遍的联系是非常必要的，有助于培养学生严谨的逻辑思维能力（例3）。

解：令z=eix，则

当x从0到2π时，z沿正向圆周|z|=1绕行一周，因此

（三）  无穷级数中蕴含的辩证思维方式

在无穷级数的教学过程中，从复数列到复数项级数，再到复变函数项级数，遵循由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的学习规律。在教学案例中融入辩证思维方式，从正向思维到逆向思维，从一般到特殊，从复杂到简单，从复变函数项级数到复数项级数，从复数项级数到实数项级数，从泰勒级数到泰勒公式……学生在幂级数的一般性结论和原理中，发现以往高等数学中无穷级数的相似知识点和一些具体的复数项级数。将对立与统一、特殊与一般、具体与抽象的辩证思维方式融入教学实践中，有利于形成适合学生自身的学习思维方法（例4）。

逐项积分，得

所以

经过不同思维方式的训练，学生在遇到自己学术领域中的疑难问题时，能够具有开阔的研究思路，运用自己的辩证思维方式去攻克学术难题，更好地实现自我的人生价值和社会价值，为社会主义建设事业增砖添瓦。

（四）  保角映射中折射的人生观和价值观

大学生作为新时代中国青年的重要力量，要树立远大理想，要规划好人生的奋斗目标，要坚定正确的前进方向。在单位圆到单位圆的保角映射教学过程中，引导学生建立正确的人生观和价值观，只有保持正确的人生方向才能实现自己的价值（例5）。

例5：求将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1，且使w（1）=1，w（1+i）=∞的分式线性映射。

解：设所求分式线性映射为

求单位圆到单位圆的保角映射需要重点关注圆心z=0及其关于单位圆的对称点z=∞所映射的像点。只有关键原像点进行正确的映射，才能求出正确的保角映射。在祖国建设的伟大事业中，每个人就像复平面的一个点，只有明确奋斗目标、诚实守信、遵纪守法才能像那个复数点一样，在既定规则下成就自我。

三  结束语

复变函数与积分变换作为理、工科院校的一门重要的公共基础课，深入挖掘专业数学知识中所蕴含的思政元素，建立和完善本课程的课程思政教学案例库，在混合式教学模式下进行实践与推广，才能实现为祖国培养德才兼备的创新型人才的任务。将思政教育融入数学课堂，不仅能够坚定学生热爱祖国并为祖国奋斗终生的理想信念，明确新时代中国青年的历史担当，树立正确的人生观和价值观，培养学生的唯物辩证思维方式，而且还可以激发学生对数学类课程的自主学习热情，从而真正达到立德树人的教育目的。

参考文献：

[1] 习近平：用新时代中国特色社会主义思想铸魂育人 贯彻党的教育方针落实立德树人根本任务[N].人民日报，2019-03-19（1）.

[2] 习近平：在纪念五四运动100周年大会上的讲话[N].人民日报，2019-05-01.

[3] 王鹏，史娜，惠周利，等.新工科背景下数据计算及应用专业课程设置的思考[J].科技视界，2021（9）：36-37.

[4] 张婷，刘殷君，叶淑宏，等.课程思政背景下《高等数学》与思政教育的融合研究[J].蘭州文理学院学报（自然科学版），2021，35（5）：96-100.

[5] 李有文，王鹏，雷英杰.对数学文化课程的若干思考[J].大学数学，2010，26（S1）：99-101.

[6] 史娜，薛亚奎，程蓉，等.工科数学课程的过程性考核方式的设计与实践[J].数学学习与研究，2019（6）：8，10.

[7] 张雷声.马克思主义基本原理概论[M].2版.北京：中国人民大学出版社，2018：2.