张砾　卞焕清

【摘 要】单元章首课教学是实施整体性教学的关键。文章围绕苏科版数学八年级上册“函数”的教学设计，以函数知识结构关联为内容，以思维方法培养为纽带，以关键能力培养为支柱，引导学生自主搭建函数知识的整体框架，形成探究函数的一般观念与方法，发展学生的系统性、拓广性和同构性数学思维方式，让学生真正体会数学知识“为什么学”“学什么”“怎么学”，落实数学核心素养的培养。

【关键词】整体性教学；函数；章首课

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022年版）》）强调数学课程的整体性与发展性［1］。这就要求课堂的设计不仅要整体把握教学内容之间的关联，更要把握教学内容与关键能力、核心素养发展之间的关联。具体地说，整体性的教学视角需要教师用全方位的研究视野去思考知识整体与局部的内在结构，对教学规划进行整体布局，对知识学习方式进行局部挖掘，对相似问题的研究策略进行有效迁移，发展关键能力，继而形成系统性、拓广性和同构性数学思维方式［2］，让学生真正地体会“为什么学”“学什么”“怎么学”。因此，本文以苏科版数学八年级上册“函数”为例，探讨整体性教学视角下章首课的教学。

一、用整体的眼光审视函数章首课地位

函数是中学数学中重要的概念之一，是描述现实世界运动变化规律的重要数学模型，同时，也是初中阶段变量数学的开端，是初中阶段重要的学习任务之一。函数知识体系在初中数学中具有重要地位，一次函数、反比例函数和二次函数相关内容分布在初中不同阶段，内容繁多、抽象度高、计算量大，是不少学生学习的薄弱环节。因此，教师需要对函数教学进行整体性规划，以提升学生对函数内容的整体理解，发展关键能力，提升学科核心素养。

1.建构函数知识体系，培养系统性思维方式

数学学科系统性思维方式的培养需要建构数学知识体系，使得数学知识体系呈现秩序化的样态。章首课对整个章节的教学起到统领性的作用，对系统性思维方式的培养起到关键作用。因此，章首课的教学更应体现“为什么学”“学什么”“怎么学”三个核心问题，从学习的高度层面对数学内容进行架构。

函数是刻画生活实际重要的数学模型，是研究生活中动态变化规律的重要工具，即“为什么学”。因此，函数需要依托实际问题情境来研究。函数及一次函数的概念、表达方式、性质是“函数”学习的主要内容，即“学什么”。这就要求教师系统铺设函数的研究路径，形成结构化的知识体系。学生需要通过函数概念的辨析、函数性质的深入研究，感悟变量之间的聯系，发展关键能力，即“怎么学”。这就要求教师引导学生体会函数研究过程的数学思维及一般方法。

2.探究函数研究方法，培养拓广性思维方式

数学思维方式的培养需要承上启下、一以贯之。系统性思维方式让数学知识有序化。拓广性思维方式则通过不断添加具体条件，构建出同一概念在不同问题情境下的连续性的解题方式、模型，从学习的广度层面对数学内容进行架构。概念学习是数学知识研究的起点，拓广性思维方式通过对函数概念添加不同类型的现实情境，促进函数模块从概念中生长出新的研究对象及研究方法，即定理、法则、性质等，建立研究函数的基本路径为“情境→概念→表达方式→图像及性质→应用”。例如，在研究一次函数时，可以由生活情境抽象得到一次函数概念，由一次函数概念获得函数表达式，并据此画出函数图像。同时，通过函数表达式和图像分析一次函数的基本性质，最终将一次函数应用于生活实际。因此，函数章首课需要考虑研究路径的铺设，为后续一次函数、反比例函数、二次函数，甚至是高中阶段的幂函数、指数函数等的学习打下思维基础。

3.挖掘函数解决策略，培养同构性思维方式

问题是数学的心脏，问题的解决是数学学习的核心，问题解决的过程也是数学知识生成的过程。同构性思维方式是从学习的深度层面对教学内容进行研究的思维方式，其主要作用于不同概念数学知识解决策略的共同点，通过类比不同概念在解决问题过程中的相似点，形成更加一般化的结论。在初中数学数与代数模块中，函数的知识繁杂，涉及一次函数、反比例函数、二次函数等，如何培养学生的同构性思维方式，通过相同的解决策略解决不同类型的函数问题，并据此提升学生的关键能力是教学难点。

在函数概念的抽象与辨析过程中，应充分渗透函数的三种表达方式，即式（函数表达式）、表（表格）、图（函数图像）。教师可以通过式、表与图多角度探究函数的性质，引导学生从数学概念的本质进行理解，为后续一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数的探究打下基础。同时，通过对函数概念的反复辨析、函数性质的深入探究，发展学生的代数推理、数学抽象、数学建模、直观想象等关键能力。

二、用整体的理念架构函数章首课

基于以上分析，函数章首课的教学，教师应引导学生体会函数从生活中来，又回到生活中去；用运动的眼光观察世界，研究事物的变化规律；架构函数知识整体认知框架，形成一般路径，继而形成认知创新，发展多维数学核心素养。

1.情境引入，体会数学与生活的联系

教师通过视频或图片引入学生耳熟能详的“刻舟求剑”的故事，启发学生思考：“为什么船身上的刻痕并不能帮助船上的人找到他的佩剑？”

万物皆变，生活中大量存在着一个量随着另一个量的变化而变化的现象，比如，行星的位置、河流的水位、植物的高度、汽车行驶的路程都会随着时间的变化而变化。教师通过故事的引入，引导学生要用变化的眼光观察世界，不能墨守成规，同时，让学生体会数学与生活的紧密联系，即“为什么学”。

2.概念抽象，归纳概念基本特征

情境1：观察表1中展示的水位信息，你能发现其中有哪些量？这些量有什么特征？

情境2：你见过水中涟漪吗？如图1，圆形水波慢慢地扩大。你能写出圆形水波的面积S与其半径r的关系式吗？

追问：这个关系式中有哪些量？这些量有什么特征？

情境3：图2是某市冬季某一天的气温变化图，你能发现图2中表示了哪些量吗？这些量有什么特征？

教师通过上述三个情境，引导学生体会在不同事物变化的过程中不变的量与变化的量，即常量与变量。同时，引导学生发现每个情境中变量之间的关系，抽象出函数的概念，关注函数概念中的三个关键点：变化过程、两个变量和唯一确定，即“学什么”。

3.推理判断，深入探究概念内涵

问题1：下列式子中的y是x的函数吗？为什么？

（1）y=x；（2）y=x2；（3）y2=x。

追问：在关系式y=[1／x]中，y是x的函数吗？为什么？

问题2：根据表2中的信息回答问题。其中，x表示乘公交车的站数（个），y表示相应的票价（元）。

（1）y是x的函数吗？为什么？（2）x是y的函数吗？为什么？

拓展：“双11”期间国内快递包裹收发量骤增，某快递公司寄件收费标准见表3。

（1）y是x的函数吗？为什么？（2）x是y的函数吗？为什么？

问题3：图3是一幅心电图，横坐标表示时间t，纵坐标表示心脏部位的生物电流y，在这个变化的过程中存在函数关系吗？

问题1通过对关系式的辨析，进一步巩固函数概念，发展学生的代数推理能力和思辨思维。问题2及其拓展从表格的角度入手，通过分析表格中的数据判断是否存在函数关系。问题3从图像的角度入手，引导学生如何通过图像来发现变量之间的函数关系。该环节的三个问题分别通过式、表和图三个角度入手，让学生从不同角度进行分析，体会函数表现方式的多样性，从而深刻地认识函数关系的本质。

4.课堂回顾，架构知识框架体系

教师引导学生思考本节课的探究过程，让学生谈一谈认识和收获，并对本节课的知识进行总结，架构知识框架体系（如图4）。

本环节旨在引导学生回顾本节课的探究过程，并架构知识框架体系。首先，分析生活中存在的大量变化过程，提出常量与变量的概念。然后，通过研究变量之间的关系建立函数这一数学模型。最后，通过式、表与图，发现变量之间的函数关系，让学生理解解析式法、表格法和图像法既是函数关系表达的三种基本方式，也是后期学习的重点。当然，函数的学习最终是为了将函数应用到研究生活中变量之间的关系中去。

5.观察反思，巧用新知解决问题

思考：观察艾宾浩斯遗忘曲线（如图5），结合今天所学的函数知识，同学们有何感悟？

本环节要求学生利用函数的相关知识去分析问题。教师首先引导学生解决以下2个问题：（1）图5中存在哪些变量？（2）这些变量之间是否存在函数关系？然后，引导学生观察“记忆的数量”随着“学习后经过的时间”的变化是如何变化的，讓学生初步体会函数的基本性质，为后期具体函数性质的探究埋下伏笔。最后，引导学生思考学习需要“学而时习之”，只有经常复习，才能打好学习基础，以提升学习品格。

三、教学思考

本节课以整体性教学理念为依托，以函数的核心知识点为载体，以发展学生思维为核心，通过精心设计问题链，让学生自主体会知识的生成，实现知识框架的搭建和学习路径的梳理。

1.发挥章首课的先行组织作用

章首课的教学不能拘泥于教材第一节课中的内容，需要从更广阔的视角，从知识关联、方法关联、逻辑关联入手，形成整体，为后续知识的探究与学习确定目标、明确方法、设计路线［3］。在函数的章首课教学中，教师不仅要引导学生提炼函数的基本概念，更要适时地展示研究函数“情境→概念→表达方式→图像及性质→应用”的基本路径，明确一次函数、反比例函数和二次函数的研究内容和任务。学生通过对函数知识体系整体的理解，体会函数知识体系、方法体系与逻辑之间的密切联系，发展系统性思维能力。

2.建构章节整体知识与方法体系

正如《课标（2022年版）》所强调的，教学设计应当以核心素养为导向，整体把握教学内容，架构知识之间联系的桥梁。函数章首课应立足于知识的生长点，以解决函数关键问题为抓手，理解函数知识的来源、价值和意义。在函数概念的探究与巩固过程中，让学生充分理解函数概念的内涵，重点关注函数式、表、图三种表达方式，以单元整体的视角进行研究，帮助学生用联系的、发展的眼光审视问题。同时，让学生深刻地感受一般函数与具体函数研究路径、研究方法的一致性和连贯性，为后续知识的学习指明方向，发展学生的拓广性思维能力。

3.关注核心素养的落地与发展

核心素养导向的章首课，应当让学生经历发现、提出、分析和解决问题的完整学习过程，使学生亲身体验数学知识的生成过程，注重方法提炼、思维发散和创新意识的培养，建构数学逻辑体系，发展数学学科关键能力。在逐步建构函数知识体系时，教师应引导学生发现和提出有意义的数学问题。例如，在研究艾宾浩斯遗忘曲线时，从形象的图形入手，让学生体会曲线的变化趋势，自主提出函数性质相关问题，使学生在探究中学到知识，在应用中学会创新，培养同构性思维方式。

教学有法，但无定法，贵在得法。区别于片段式教学，整体性教学视角下的函数章首课教学更关注知识架构层面、技能培养层面和能力发展层面的整体思考，并在此基础上进行设计。同时，在函数知识的整体教学中，教师应准确把握函数单元主题的认知定位，处理好一般函数与一次函数等具体函数之间的逻辑关系，引导学生搭建结构化的认知体系，最终通过有意义的活动巩固学生的认知，进一步提升学生的数学学科核心素养。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］申烨晖. 整体性数学思维方式下的单元教学：以人教版“几何图形初步”教学为例［J］. 数学通报，2022（12）：12-16，21.

［3］卞焕清，王俊蓉. 抛砖引玉：刍议初中数学章首课的建构：以“反比例函数”的教学为例［J］. 中学数学杂志（初中版），2020（6）：12-15.

（责任编辑：罗小荧）

【作者简介】张砾，高级教师，主要研究方向为中学数学教育；卞焕清，一级教师，主要研究方向为初中数学教学。

【基金项目】江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“指向初中生代数推理能力发展的问题链设计研究”（C-b/2021/02/01）；2023年无锡市义务教育课程与教学改革项目“初中‘立体数学学科示范中心”