刘 辉

⦿ 南京外国语学校 邵传经

每年的中考试题都对后续的教学具有引导性和指向性,作为一线数学教师,分析中考试题是很有必要的.纵观南京市近几年中考数学试题,有很多值得我们去细细研究.挖掘试题要表现的内涵,可以提升课堂教学的有效性,也能够提高学生学习的积极性和效率,促进学生逻辑思维、发散思维和高阶思维的发展.解题时,学生如果能读懂条件,揭示其本质,挖掘出隐含信息就能从根本上解决问题.本文中以南京的中考题和部分区的模拟题为例,寻找出“隐圆”,突出圆的独特性质来彰显其魅力,现将笔者的思考与大家分享.

1 试题呈现

(2021年南京中考第15题)如图1,在四边形ABCD中,AB=BC=BD.设∠ABC=α,则∠ADC=______(用含α的代数式表示).

图1

2 试题解读

本试题以等腰三角形为背景,把两个共腰的等腰三角形放在一起,考查已知等腰三角形的顶角求底角问题.利用等腰三角形的性质“等边对等角”和三角形内角和定理来解答此题时,需要进行整体分析,学生可能不易想到.本题的取材是简单熟悉的图形,题干简练,学生并不陌生,体现了考查的公平性,没在图形上给学生造成障碍,但求解的过程并不容易.由于∠ABC=α是两个等腰三角形的顶角的和,因此实质上是变相提醒学生要从整体上思考,渗透了对模型观念以及抽象能力、运算能力、推理能力的考查.本试题看上去像是考查等腰三角形基础知识与基本技能,其实质是考查学生运用知识来分析问题和解决问题的能力,体现了命题的导向性,对平时的教学提出了更高的要求,要求学生具有对平面图形性质的领会和感知能力、推理和转化能力.

3 试题解析

平面内到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上,题中条件AB=DB=CB,说明点A,D,C到点B的距离相等,即点A,D,C在以B为圆心的圆上.上述试题解答如下.

解：如图2,以B为圆心,BA长为半径画圆,在优弧AC上取一点M,则∠ABC=2∠AMC.

图2

又点A,M,C,D在以B为圆心的圆上,所以∠AMC+∠ADC=180°.

本解法的关键是发现了A,D,C三点共圆,巧妙借助圆来解答问题,解法非常简单,学生容易掌握.解决问题时,如果能够想到利用已知条件作出辅助圆,在所给的题目中寻找“隐圆”来转换问题,便可快速求解.

4 链接中考

试题1(2018年南京中考第20题)如图3,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.

图3

求证:(1)∠BOD=∠C;

(2)四边形OBCD是菱形.

分析：这里只分析第(1)问.由题目条件中OA=OB=OD,可得点A,B,D到点O的距离相等,即A,B,D三点在以O为圆心,OA长为半径的圆上,从而将问题转化为圆心角∠BOD与圆周角∠BAD的关系,再利用条件中的∠C=2∠BAD,第(1)问就很简单地解决了.

试题2(2020年南京中考第15题)如图4,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠1=39°,则∠AOC=______.

图4

分析：连接BO,根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可知AO=BO=CO,于是可得点A,B,C到点O的距离相等,即A,B,C三点在以O为圆心,OA长为半径的圆上,从而将问题转化为圆心角∠AOC与圆周角∠ABC的关系,再利用四边形有关知识求得∠1=∠ABC,进而得到∠AOC的度数.

上面两道中考题虽然也可以用等腰三角形的相关知识解答,但仔细观察发现有点O以及一些相等的线段,能够找到“隐圆”,再利用圆中相关性质求解,非常简便,大大降低了题目的难度.抓住命题者的意图,明确考查的知识要点,避免一些复杂的计算,为解题赢得了时间.

其实在平时各区模拟试题中也出现过类似的试题,善于思考的学生能够很快找到所解问题的实质.

5 拓展训练

试题3(2021年南师附中集团二模第6题)如图5,OA=OB=OC=OD,∠BOC+∠AOD=180°.若BC=4,AD=6,则OA的长为______.

图5

分析：由OA=OB=OC=OD,可得点A,B,C,D到点O的距离相等,即A,B,C,D四点在以O为圆心,OA长为半径的圆上.要求OA的长,实际上求该圆的半径(或直径)即可.

试题4(2021年玄武二模第15题)如图6,直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O,与AB,CD边分别交于点P,Q,点C1是点C关于直线PQ的对称点,连接CC1,AC1,则∠CC1A的度数为______°.

图6

分析：本题中没有直接给出线段相等,需要学生根据已有的条件进行分析.已知点O是正五边形ABCDE的中心,则有OA=OB=OC=OD=OE.又由点C1是点C关于直线PQ(PQ经过正五边形ABCDE的中心O)的对称点,可以得到OC=OC1.所以OA=OB=OC=OD=OC1=OE,即A,B,C,C1四点在以O为圆心,OA长为半径的圆上,进而求出∠CC1A的度数.

图7

分析：连接OA.由O是DE上的一点,且DE是AC的垂直平分线,可得OA=OC.又因为OB=OC,所以OA=OC=OB,即A,B,C三点在以O为圆心,OA长为半径的圆上,从而得圆心角∠BOC与圆周角∠BAC的关系.由∠BOC=90°,可知∠BAC=45°,再解三角形得到DE的长.

6 反思与启发

教师的教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,引导学生独立思考、主动探究、合作交流,促使学生理解和掌握基本的数学知识与技能,体会和运用数学思想与方法,获得基本的数学活动经验.

初中平面图形中的等腰三角形、正多边形、圆等都是轴对称图形,这些图形联系紧密.近几年的中考试题中常常涉及图形的转化、知识点之间的渗透,灵活性较强.由于圆中半径相等,会形成等腰三角形,垂径定理就是以半径为腰的等腰三角形的“三线合一”性质在圆中的运用.将求线段的长度、角度问题放在新的图形中,解题的途径多了起来,思维一下就活跃了,把原问题转化为另一问题来考虑,知识点就能融为一体.对于一些相等线段的问题,引导学生充分体会题中的意境,找出“隐圆”并及时归类总结,让学生学会思考,提高他们的解题能力,促进其数学思维的发展.

上文是研究如何挖掘圆这一基本图形,特别是挖掘条件背后隐含的基本图形,在某些特定的条件下,变隐为显,争取做到“图中无圆,心中有圆”,为圆的性质的巧妙运用创造条件,从而利用所学的基本图形来解决问题,领会命题者的意图.通过问题解决,提升学生的解题能力和解题技巧,同时也大大提高了专题教学的效率.

波利亚曾说过:一个专心、认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域.在与学生共同学习的过程中,发现并总结此类问题,提高了教师的内在素养,也拓展了学生的解题思路.Z