董蔚仪

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院

解答二次函数的大题时,学生常见的问题通常是不知道怎样数形结合、怎样分析题目等[1],不会根据二次函数图象的对称性以及对称轴两侧的增减性进行分析.二次函数图象开口方向的不同,对称轴两侧的单调性也不同.开口向上的二次函数的顶点为图象最低点,距离对称轴越近则函数值越小;开口向下的二次函数的顶点为图象最高点,距离对称轴越近则函数值越大.结合上述性质,围绕二次函数可以命制不同的函数问题.

其实这类问题只要把握住三方面就可以迎刃而解,下面以几道题目举例说明.

1 例题剖析

第一方面:审题.了解二次函数,判断二次函数的开口方向,计算对称轴或顶点(求对称轴或者顶点要根据题目而定).

第二方面:转化信息.将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系.

由y1>y2及抛物线开口向下,可知函数图象的顶点为最高点.根据单调性,距离对称轴越近函数值越大,因此可以判断点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离.

第三方面:分类讨论,数形结合.分类讨论后,结合第二方面进行不等式的计算.

(1)讨论给定点间的位置关系.如果给定两点A,B,那么有两种位置关系,即A左B右或A右B左.(如果给定多个点,则需根据给定点的数目进行分类讨论.)

(2)讨论给定点与对称轴的位置关系.如果给定两点A,B,那么有三种位置关系,即点A,B均在对称轴左侧,点A,B均在对称轴右侧,点A,B分别在对称轴两侧.(如果给定多个点,则需依据题意进行分类讨论.)

注意:①此步骤要结合图形分析.

②弄清题目已知条件,判断并选择以上分类讨论的内容.

③列不等式计算时不要遗漏.

例1中已知A,B两点在抛物线对称轴两侧,所以无需讨论给定的点与对称轴的位置关系,只需讨论给定点间的位置关系,具体有两种情况,即A左B右,A右B左.

(ⅰ)A左B右:如图1,根据点A,B的坐标和第二方面A,B两点到对称轴的距离分析,可以得不等式

图1

此不等式组无解.

(ⅱ)A右B左:如图2,同上述步骤可得不等式

图2

例2(2023年北京版万维中考试题研究)已知抛物线y=x2-4mx+4m2-1,若这条抛物线经过点P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2),且y1

第一方面:审题.了解二次函数.

第二方面:转化信息.将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系.

由y1

第三方面:分类讨论.结合第二方面进行不等式的计算.

由P(2m+1,y1),Q(2m-t,y2)和对称轴x=2m可知,无论t取何值,点P均在对称轴右侧,即只需讨论点Q与对称轴的位置关系即可.

①点Q在对称轴右侧:结合图3可得不等式2m-t>2m+1,解得t<-1.

图3

②点Q在对称轴左侧:结合图4可得不等式2m-(2m-t)>2m+1-2m.

图4

解得t>1.

综上,t>1或t<-1.

总结：(1)相比于例1,例2并没有确定的二次函数解析式,但是画出已知条件确定的大致图象进行分析也可以计算出参数的取值范围.

(2)例2可判断出无论t取何值点P均在对称轴右侧,这里更考查了对“给定点与对称轴位置关系”进行分类讨论的理解程度.

(3)列含多未知参数不等式时,要注意列能够消去多余参数的不等式.

2 真题演练

例3(2020年北京中考)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1

(1)若抛物线的对称轴为直线x=1,当x1,x2为何值时,y1=y2=c?

(2)设抛物线的对称轴为直线x=t.若对于x1+x2>3,都有y1

第(1)问要用好二次函数的对称轴[2].由抛物线的解析式y=ax2+bx+c,可知函数恒过定点(0,c),又y1=y2=c且x1

第(2)问同样从三个方面进行解答.

(2)第一方面:审题.了解二次函数.

由题可知,a>0,抛物线开口向上,对称轴为x=t.

第二方面:转化信息.将题中函数值的大小关系转换为图象上的点到对称轴距离的远近关系.

由题中y1

第三方面:分类讨论、数形结合.分类讨论后,结合第二方面进行计算.

由x1

①点M,N均在对称轴左侧.

由第二方面推出的点M离对称轴更近,且点M在点N左侧,矛盾,故第一种情况不满足条件.

②点M,N均在对称轴右侧,如图5.

图5

由图象可知x≥t时,恒有y1

③点M,N在对称轴异侧,其中点M在对称轴左侧,点N在对称轴右侧,如图6.

图6

3 总结

通过以上三个例题分析发现,把握三个方面可以清晰地分析题目,进而运用数形结合和分类讨论等思想方法及二次函数的性质,解决同类型二次函数的大题,减少学生面对二次函数大题的困惑,提升学生的数学核心素养.