熊 娇 蔡显富

⦿ 西华师范大学数学与信息学院 ⦿ 南充职业技术学院附属中学

函数与几何综合问题中常见的转化方式有:(1)借助表达式设出点的坐标,将点的坐标转化为横平竖直线段的长,结合几何特征利用线段长列方程.(2)研究几何特征,考虑线段间关系,通过设线段长进而表示点的坐标,将点的坐标代入函数表达式列方程.(3)表示线段长——横平线段长,横坐标相减,右减左;竖直线段长,纵坐标相减,上减下.

一次函数题型通常具有代数和几何双重特性,所以在解决一次函数与几何综合问题时,可以从如下解题技巧来破解:数形结合记心头,大题小做来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高.做不出,找相似,有相似,用相似;构造定理所需的图形或基本图形.

1 一次函数与面积问题

一次函数中的面积问题可分为规则图形与不规则图形两种.规则图形的面积可直接用面积公式,先求点的坐标,得线段长度,再运用面积公式;不规则图形的面积求解过程大体与规则图形的面积相同,但其没有直接的面积公式,可用“小块拼接”或“大块减小块”的图形拼接法来简化计算.

(1)如图1,求△ABO的面积;

图1

(2)如图2,C为线段OB上的一动点(点C不与点O,B重合),作CD平行于y轴交直线l2于点D,过点C向y轴作垂线,垂足为E.若四边形DECB的面积为120,求点C的坐标.

图2

解：(1)在y=-x+24中,令x=0,则y=24,所以A(0,24).

由CD平行于y轴,得D(a,-a+24).

2 一次函数与线段最值问题

将军饮马问题实质是线段最值问题,往往是利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边来求解,关键是找点关于直线的对称点实现“折”转“直”,转化为几何问题.案例如下:

已知点A,B在直线l的同侧,在l上找出一点P,使PA+PB最小.

解决方案为:①如图3,找A关于l的对称点A′;②连接A′B,与l交于点P;③PA+PB即为最短路径.具体解决原理见表1.

表1 将军饮马问题的解决原理

图3

一般来说,一次函数中“饮马”问题的解题方法是仿照案例作图,结合一次函数、三角形等知识求解.

例2如图4,直线AB:y=x+1与直线CD:y=-2x+4交于点E.

图4

(1)求点E的坐标;

(2)在x轴上找一点F,使得FB+FE最小,并求OF的长.

故E(1,2).

(2)如图5,作点B关于x轴的对称点B1,连接B1E交于x轴于点F,此时FB+FE的值最小.

图5

在y=x+1中,令x=0,得y=1,所以B(0,1),B1(0,-1).

设直线B1E的解析式为y=kx+b(k≠0),则有

图6

解析：如图7,分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点M,N,连接OC,OD.利用轴对称的性质可得MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC.所以利用两点间线段最短判断此时△PMN周长最小,作OH⊥CD于点H,则CH=DH,计算出CD即可.

3 一次函数与多边形图形存在性问题

3.1 一次函数与特殊三角形存在性问题

特殊三角形主要有等腰三角形和直角三角形.此类存在性问题一般有多种情况,作图之后要注意三角形是否存在以及是否有重合点.对于等腰三角形的存在性问题,常用知识点有尺规作弧、垂直平分线的性质(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等);其解题方法口诀为:等腰三角存在性,两圆加一中垂线,记得去掉共线点.而直角三角形的存在性问题常用知识点有切线的性质(圆的切线垂直于过切点的半径)、圆周角定理(直径所对的圆周角为90°);其解题方法口诀为:直角三角存在性,一圆加上两垂线,构造思想的坐标.

3.2 一次函数与特殊四边形存在性问题

特殊四边形主要有平行四边形、矩形、菱形、正方形.此类存在性问题重在利用四边形的性质,再结合三角形、函数的知识求解.

(1)平行四边形的存在性口诀:平行四边存在性,对边平行且相等,等量关系里面有.常通过平行四边形性质得到对边的位置关系与数量关系.

(2)矩形的存在性口诀:矩形直角存在性,一圆加上两垂线,勾股方程加全等.矩形由两个全等的直角三角形组成,可参考直角三角形的存在性问题.

(3)菱形的存在性口诀:菱形等腰存在性,两圆加一中垂线,记得去掉共线点,等量关系邻边找.菱形由两个全等的等腰三角形组成,可参考等腰三角形的存在性问题.

(4)正方形的存在性口诀:等腰直角正方形,邻边相等加直角,一线三垂找直角.正方形是特殊的矩形、菱形、平行四边形,可综合以上三点解题.

例4如图8,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+4(k≠0)与y轴交于点A.

图8

(1)若y=-2x+1与直线y=kx+4(k≠0)交于点B的横坐标为-1.

①求点B的坐标及k的值;

②直线y=-2x+1,直线y=kx+4(k≠0)与y轴所围成的△ABC的面积等于多少?

(2)在(1)的条件下,直线y=kx+4(k≠0)与x轴交于点E,在x轴上是否存在点F,使得△AEF是以AE为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出点F的坐标.

解：(1)①在y=-2x+1中,令x=-1,得y=3,所以B(-1,3).

把B(-1,3)代入y=kx+4,得k=1,所以y=x+4.

故点B的坐标是(-1,3),k的值为1.

②由题意,得A(0,4),C(0,1),则AC=4-1=3.

(2)由(1)得E(-4,0).而A(0,4),所以AE2=32.

设F(m,0),则EF2=(m+4)2,AF2=m2+16.

若AE,AF为腰,则m2+16=32,解得m=4或m=-4(与点E重合,舍去),所以F(4,0).

4 一次函数与几何的动态综合问题

解决动态问题的一般思路是化动为静,以静制动.“化动为静”中几何法的基本思路与“以静制动”中代数法的基本思路分别如表2和表3所示.

表2 化动为静——几何法基本思路

表3 以静制动——代数法基本思路

例5如图9,已知一次函数y=2x+2与坐标轴分别交于A,B两点,点C从点A出发向x轴正方向以1单位/s的速度运动,时间为t(t≥0)(单位:s).当t为何值时,△ABC为直角三角形?

图9

解：以静制动——代数法.

由题意可知,AC=t,点C的坐标为(-1+t,0).

所以AC2=t2,AB2=OA2+OB2=5,BC2=t2-2t+5.

(1)若∠ACB=90°,则BC2+AC2=AB2,解得t=1,符合题意.

(2)若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2,解得t=5,符合题意.

综上,t为1 s或5 s时,△ABC为直角三角形.

由于函数知识与几何知识有机结合的综合题的形式灵活、立意新颖,能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法,因此,要解决几何图形中的函数问题,需要注意数形结合和分类讨论的数学思想,还要熟练掌握各类函数的基本性质及其图形特征,以及几何图形中的等式关系和相关性质.Z