徐 岩

⦿ 哈尔滨师范大学教师教育学院

特殊与一般思想具体到一个数学问题就是如果直接解决有困难,可以考虑用特殊情况来获得结果,然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上,从而获得一般性问题的解答.特殊化是以一种称为“倒退”的方法,从“一般”到“特殊”,而反过来称为“前进”的方法[1].做题时把问题转化为较容易解决的特殊情况,会有事半功倍的效果,尤其是做填空题、选择题时,采用特殊与一般思想,可以避免“小题大做”,节约时间.

1 用字母表示数

用字母表示数是初中数学从有形的数字到抽象符号的质的飞跃,是发展符号意识的基础,从“代表数字的信息”转变为用字母代表未知元素、待定系数、根和系数之间关系等,体现了使用字母表达任意数的想法.当使用字母表示一定数量的实际问题时,应确定一组字母的值.在同一个问题上,不同的字母会表示不同的数字[2].

2 特殊值的应用

“特殊”可以在一定程度内反映或表示“一般”,在解决数学问题时,通常先分析特殊情况,然后总结一般情况,即根据具体的条件,选择符合条件的特殊值,然后使用条件或特殊图形进行计算和推断.

这类问题通常有一个共同点:题目包含一般条件,可以利用这些条件得出具体的结论或值.而特殊情况的答案通常与一般情况的答案相同.特殊值的选取必须符合特定条件.特殊值的选择应尽可能简单,以便计算和比较.当其中有不止一个未知量时,每个未知量之间应尽可能具有特殊数量关系,以帮助解决问题.

A.abc>0 B.a+b=0

C.2b+c>0 D.4a+c<2b

解析：应用由特殊到一般的思路,先取符合题意的特殊二次函数y=x2+x-3,则a=b=1,c=-3,可得出D选项正确.但对于学生来说,特殊值的选取要求较高,学生可能因为取值不合适而得不出正确答案.

3 特殊图形的应用

在解决平面图形问题的过程中,在一般的位置关系下,通常很难找到元素之间的关系,这可能会阻碍思路的探索.此时使用特殊情况下的图形结构会简化计算,但应注意所选择的特殊图形须符合题目条件,且答案必须明确,否则就是不可取的.

例3在△ABC中,AB=AC=m,P为BC上任意一点,则PA2+PB·PC的值等于( ).

A.m2B.m2+1 C.2m2D.(m+1)2

解析：选择题可用特殊图形解决.若点P与点B重合,如图1所示,原式为m2,则A选项正确;当点P位于BC中点时,如图2所示,可得PA⊥PB,PB=PC,则原式=PA2+PB2=AB2=m2;当点P与点C重合时,也能得出相同的结论.但此方法只适用于选择题,严谨证明还应让点P保持任意性.

图1

图2

如图3,根据相交弦定理,得

图3

PB·PC=PD·PE
=(AD-PA)(AE+PA)
=(m-PA)(m+PA)
=m2-PA2.

故PA2+PB·PC=m2.

4 用特殊化方法探求定值

一些数学问题由于高度抽象,很难直接找到或证明某些一般特征.在这种情况下,可以探索特殊特征和某些条件,找到规律和解决方案.在某些几何图形中,某些点或线段的位置会不断变化,但总有一些关系始终保持不变,这属于定值问题.

例4已知同心圆中,AB是大圆的直径,点P在小圆上,求证:PA2+PB2为定值.

证明：设大圆、小圆半径分别为R,r.

若P,A,B三点共线,如图4所示,则有

图4

PA2+PB2=(R-r)2+(R+r)2=2R2+2r2.

若P为直径AB中垂线上一点,如图5,则PA2=PB2=R2+r2,所以PA2+PB2=2R2+2r2.

图5

而要想严格证明还需保持点P的任意性,如图6,作PF⊥AB于点F,则有

图6

PA2=PF2+AF2
=(r2-OF2)+(R-OF)2,

PB2=PF2+BF2
=(r2-OF2)+(R+OF)2,

所以PA2+PB2=2r2-2OF2+2R2+2OF2=2r2+2R2.

由此可知,在任意情况下PA2+PB2均为定值,结论得证.

5 用特殊化方法寻找结论

当问题解决方案不明确时,可以先分析一些特殊情况并总结,通常可以找到结果或解决问题的方法,然后分析特殊情况与一般情况之间的关系,以便在一般情况下解决问题.

通常有如下两种方法:

(1)在一些具有一定数量结构的代数问题中,通常可赋予字母特殊值或利用字母表示的量之间的关系.

(2)在平面图形中,通常可选取一个特殊的点(例如,一条线段的中点)、特殊的关系位置(例如,两条平行线或垂直的直线)或者是几何形状(例如,直角三角形、等边三角形等)来帮助解决问题[3].

解析：由1≤x≤2,得0≤x-1≤1,所以

=2.

6 结语

特殊与一般思想是初中数学的重要解题思想.掌握了这种思想,学生在面对比较复杂的数学问题时能将其转换成特殊或一般情况,以此简化计算或证明过程.这对培养学生的数学核心素养和数学思维都有帮助.