牛怡怡

⦿ 山东省济南泉城中学

思维的形成与能力的发展需遵循由浅入深的原则,是一个长期积累的漫长过程.这就要求教师要注重教学的层次性,让学生在逐层深入的教学中理论联系实际,实现思维由量变到质变的突破,为核心素养的形成奠定基础.

波利亚认为:“数学教学过程就是思维活动的过程.”[1]层次分明的教学过程,能激发学生主动参与的兴致,产生探究意识,为思维的形成与发展提供帮助.为此,笔者在实践中做了一些尝试,特整理成文与大家分享.

1 概念教学

概念是编织数学这张大网的一个个结点,它呈现的是知识的脉络.若脉络不清,则无法深入学习这门学科,更谈不上数学思维的发展与各项能力的提升.因此,概念教学是夯实数学基础的关键,逐层深入进行概念教学,能让学生更好地顺应与内化概念的内涵,建构新的认知结构,为学习打牢地基[2].

案例1“一元二次方程”概念的教学

为了体现概念教学的层次性,让学生的思维由浅入深地经历知识建构过程,笔者设计了以下三个层次的教学活动.

1.1 直探主题,巧妙引导

问题1观察下列方程,归纳它们的共同点:

①2x2+2x=1; ②3x2-4x2+2=0;

大型综合性医院门诊科室众多，如果门诊科室布局不当，会大幅降低医护人员的工作效率，进而增加求诊者就医的时间，甚至引发局部的冲突和混乱等不良后果。对于患者和患者家属来讲，他们的心理负担可能原本就比较沉重，比较容易产生焦躁不安的情绪。复杂难懂的交通路径，繁琐冗长的就医流程可能会为病人和家属带来极大的不便，从而引致患者和家属更多的负面情绪，造成医患关系更为紧张。所以，清晰的功能布局不但能够提高医院运作的效率，而且还能缓解紧张的医患关系。

③3y2-y=0; ④4x2=0.

学生观察后一致认为:这些方程都符合一元二次方程的概念,即等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(次).当学生对一元二次方程的概念有了初步认识后,笔者要求学生将每个式子都对照教材中一元二次方程的概念再一次进行辨别,以检验自己的判断是否正确,以达到对此概念的初步认识.

1.2 变式训练,启发思维

问题2给学生指明了思考的方向,只要沿着这两问进行探究,就能自主发现一元二次方程根与系数关系的内涵,从而对自己的猜想坚定信心.此过程,不仅能促进学生思维的发展,还能让他们感悟到数学学习的趣味性,从而对数学学习产生信心.

问题2观察下列方程,判断它们是否为一元二次方程?为什么?

要学生作基本判断,不存在问题.但要说明理由,部分学生有些懵懂.这就要求学生不仅能认识一元二次方程,还需对其特点了如指掌.此时,教师可适度引导,帮助学生从根本上理解一元二次方程与其他类似概念之间的异同点,只有深度掌握概念的本质,才能达到知其然而知其所以然,进而灵活运用的地步.

1.2.4 UPPSP冲动行为量表(UPPSP impulsive behavior scale) 共59道题目，采用Likert 4点评分，包括消极紧迫感、缺乏计划性、缺乏耐性、感觉寻求和积极紧迫感5个维度，得分越高冲动性越高。本研究采用其中文修订版［12］，5个维度的克隆巴赫α系数分别为 0.84、0.85、0.76、0.83、0.88，总量表 α系数为0.89。

1.3 深入探究,深刻理解

在学生的思维得到一定启发的基础上,教师可沿着变式训练的思路,带领学生继续往下探究.为了让学生对一元二次方程的概念产生更深刻的认识,达到创新性理解的程度,使得思维上升到更高层次,笔者进一步提出设问.

数学思想方法的指导在解题教学中尤为重要,盲目的生搬硬套只会禁锢学生的思维[3].因此,教师应注重学生的解题反思与总结的过程,让学生不断地将新知内化到新的认知结构中,以培养学生的数学思想,提高解题能力.

(2)求证:不论m取何值,关于x的方程(m2-8m+20)x2+20mx+5=0恒为一元二次方程.

于是，大脑又开始自动走神，这一次可能要比之前更久，因为大脑早已“证明”过自己“游刃有余”。而当再次归来之时，大脑也许还会“印证”自己并未错过什么。于是，走神的次数越来越多，时间越来越长。如此这般下去，终究会出现真正错过重要信息的情况。

(3)已知方程ax2+ax=1是一个关于x的一元二次方程,则a的取值范围是什么?

在问题串的引导下,学生思维由浅入深地获得启发.一环接一环的教学活动的开展,使得学生不仅对一元二次方程的概念有了一定的理解,更重要的是掌握了概念学习的方法.学生在教师所创设的问题情境中,通过观察、分析、表征与思考,循序渐进地掌握了概念的本质,数学思维得到了良好的开发.

2 公式、定理、性质的教学

新课标引领下的初中数学教学不再以应试为主要教学目标,而要实现从知识型人才的培养向能力型人才的培养转化.这就要求学生不仅要掌握基本的公式、定理与性质等知识,还要领悟其中所蕴含的一些重要的数学思想与方法.教师可引导学生逐渐提升思维品质,将原有的认知经验逐渐转化为各项数学能力.

案例2“一元二次方程根与系数的关系”的教学

为了让学生能在此教学过程中感知数学思想方法的形成与发展过程,笔者设计了以下三个层次的教学活动,以培养学生的数学能力.

2.1 利用引例,激活思维

问题1解以下方程:①x2-4x+5=0,y2-4y+5=0;②3x2-4x-3=0,3y2-4y-3=0.以上两组方程的解有没有什么联系?并说明理由.

经过观察,学生发现这两组方程的未知数虽不一样,但未知数相对应的系数却是一样的.从解的结论来看,这两组方程的根与系数的确存在一定的联系.到底是怎样的联系呢?笔者在此基础上呈现了具有阶梯性的问题,以引发学生的探究,为学生思维的发展指明方向.

2.2 诱导探究,明确方向

为了诱导学生产生探究的欲望,可从二次项系数为1的方程开始讨论,以发现其中存在的规律.

ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程的一般形式,它的根与系数究竟具有怎样的联系?请各位同学说说自己的看法,并证明自己的猜想.

问题2(1)猜想关于x的方程x2+ax+b=0的根与系数的关系.

训练过程中，程序遇到被勿分类的点，会沿着梯度下降的方向重新修改超平面的权重w1，w2和阈值b以适应新的环境[19].训练反复迭代，直到所有样本都被分类正确.感知机模型训练程序流程图见图4.

(2)若二次项系数不是1,以上猜想是否成立?

每个人受生活环境与认知背景的影响,都有自己独特的思维习惯,有些思维习惯根植于学生的大脑中难以改变.为了让学生的思维跟上时代的发展与教学手段的革新,在解题教学中教师可示范例题解析过程,让解题思路完全暴露在学生面前,鼓励学生自主进行观察与分析,以激活思维,提升解题能力.

当学生对一元二次方程的概念有了初步的认识,笔者又从多个角度提出新的变式,供学生训练、探究.

3.3 呈现原形,获得能力

习近平总书记指出，标准决定质量，有什么样的标准就有什么样的质量，只有高标准才有高质量。皇窑景区能够在短短几年内快速的发展，并得到社会的广泛认可，其标准化的实践告诉我们，标准化已成为推进科学发展，构建生态文明，促进社会和谐的重要保障，是政府参与服务业管理的有效抓手。

此教学活动与上个教学活动有着异曲同工之处,均是基于学习者猜想的基础上提出自己的看法,但此过程更为深入,强调对根与系数关系的总结与提炼.想让学生在学习中获得更多的能力,必然要鼓励他们自主探索与发现一些问题的规律,并通过验证来确定自己的猜想是否准确.因此,教师的精心设计与引导具有重要意义.

3 解题教学

在应用Slide软件来研究边坡的稳定性时，使用垂直条块极限平衡分析边坡稳定性，其为当前世界岩土领域内普遍认可的一种计算软件，可以准确预测边坡稳定情况，找出危险系数最高的滑面并计算滑面的安全性。应用Slide软件，可采用不同的方法对边坡的安全稳定性进行计算。

问题3(1)关于x的方程ax2+(3a-1)x+2a+3=0,当a为何值时,该方程是一元二次方程?当a为何值时,该方程是一元一次方程?

案例3“菱形”的教学

问题1如图1,已知菱形ABCD的边长是3 cm,∠DAB=120°,AC与BD分别为两条对角线,交点为O,则菱形ABCD的面积是多少?

图1

只要学生学过菱形面积的计算方法,解决此题就没有什么困难.在学生独立解决此问题时,笔者巡视并进行个别指导.当学生顺利完成此问题后,笔者以计算菱形面积的方法为基础,设计出几个新的问题,以启发学生的思维.

由于区块链中节点众多，节点地理分布较广，且不同节点之间的通信存在延迟，因此需要一种算法决定新块的记账权以保证节点数据的一致性，这种算法被称为共识机制[2]。共识机制以所有诚实节点数据保持一致为目标，同时要求在节点互相平等的情况下明确记账权的归属。由于共识机制的存在，用户无需信任交易，另一方同时也无需信任第三方机构即可完成交易。区块链支持多种共识机制，这些共识机制在效率、安全性、资源消耗等方面各不相同，因此文章中我们着重探讨了常见共识机制的发展历史、效率以及安全性。

3.1 问题延伸,发展求异思维

问题2如图2,以上求菱形面积的方法是否适用于矩形或平行四边形?为什么?

“金沂蒙的产品之所以能够取得这么好的口碑，是因为金沂蒙的产品有其独特之处。”金沂蒙生态肥业副总经理刘仲涛表示，首先，原料不一样。金沂蒙选用进口食品级木薯作为生物有机肥原料，无污染、无公害。其次，菌种不一样。金沂蒙生物有机肥特别添加以高效广谱芽孢杆菌为代表的生物菌群，菌种稳定，每克数量≥10亿个。再次，工艺不一样。17道流程工艺，7级腐熟，道道工序都有严格操作要领和技术要求。80℃以上高温消灭有害物质，有机质含量最高可达70%。最后，原料、菌种、工艺不一样，功效和品质自然也不一样。

2013年，马云卸任阿里巴巴集团CEO，从那时起，阿里已经经历了多次内部的交接。2013年陆兆禧接任阿里巴巴集团CEO，2015年张勇接任CEO，标志着阿里“70后”合伙人全面掌权；2016年井贤栋出任蚂蚁金服的CEO，并于2018年4月接任董事长。显然，在阿里巴巴合伙人机制下，轮换交接是常态。不仅是阿里和蚂蚁，阿里云、菜鸟等阿里体系的其他重要板块也都完成了至少一次的管理团队更替。外界能够清晰地感受到，阿里巴巴的战略从未因人事上的变动而发生变化，而阿里巴巴的增长势头也始终强劲。马云的接班人张勇，彭蕾的接班人井贤栋，都在合伙人群体这个人才储备库中诞生的。

图2

3.2 揭露本质,发展探究思维

问题3如图3,已知AC与BD为四边形ABCD的两条对角线,相交于点O,且AC⊥BD,以上求面积的方法是否适用于本题?为什么?

图3

3.3 归纳提炼,发展整体思维

问题4请根据问题1～3,归纳出你所获得的结论,并说一说这几个问题的本质是什么?涉及到哪些数学思想方法?

利用典型例题,引导学生逐层深入地进行探究,不仅能增强学生对基础知识与技能的掌握程度,还能拓展解题思路,增强思维的广度,为培养创新意识与核心素养提供帮助.

IBM开发的Fabric[6]看到了另外一个生存空间，那就是避开以太坊，构造联盟链，在企业中运行。得益于IBM的代码质量和一贯良好的形象，Fabric很快在联盟链中占据了主导地位。Fabric的特点是不用密码货币，转而用节点背书，其中每个节点的身份可以识别，不诚实的节点需要付出代价。目前在大部分所谓落地的应用中，例如：银行、供应链、积分、税务等场景，无一例外地采用了联盟链的模式。

总之,新课标引领下的数学教学以培养学生形成高阶思维为主要目的.逐层深入的教学过程,使得学生在逐层递进中感知、感悟并学会运用数学思想与方法,形成良好的探究习惯与思维方式,为数学核心素养的提升奠定基础.