殷曼曼

⦿ 江苏省滨海县第一初级中学

帮助学生构建数学思维的课堂,是以帮助学生构建思维品质为导向的课堂教学活动.从理论上讲,数学是人们对客观世界定性和定量的认识过程中逐渐抽象概括、形成方法,并进行广泛应用的自然学科.它涵盖了数学的基本思维方法,是广泛应用于日常生活与社会实践中的工具[1].通过质疑情境的引导,诱发学生探究思维;通过知识的类比迁移,促进学生感性思维;依托课堂知识对应训练,发展学生建模思维;延展知识视角,启迪学生的创造性思维:这些都是帮助学生构建数学思维的具体途径.笔者结合多年的教学实践,以“弧长及扇形的面积”课堂教学为例,谈谈重在课堂引导,构建数学思维的一些成熟的做法,旨在与各位同仁在满足现代教学需要的课改中悉心交流,共同提高.

1 通过质疑情境的引导,激活学生探究思维

探究思维是一种主动、开放和自主思考实现探究活动的思维.在科学探究活动中,学生在存疑后就需要质疑、假设、然后设计探究方案进行实验,这些都属于探究思维活动的范畴.以苏科版九年级上册第2章第7节 “弧长和扇形的面积”为例,这节课是学生在前阶段对圆的概念和特性有了初步的认识,在以正多边形为载体探究圆的面积的基础上进行的拓展与延伸.作为课题导入是一节课的开始,应该围绕课题核心内容通过弧长公式、扇形面积公式的推导,在发展学生应用意识的过程中诱发他们的探究思维.因此,创设的质疑情境可以诱发学生的学习兴趣,帮助他们激活探究思维.例如,首先创设探究“弧长公式”的情境:

探究活动:探究弧长是圆周长的一部分及点动成线.

电子白板展示:将一条长为4 cm的半径OQ绕着圆心O在平面内旋转,改变圆心角的度数,点Q运动的路径是一条弧长,观察弧长的变化(学生可以用圆规作图).

质疑:①若半径OQ=r,则圆的周长如何表达?

②假设将圆的周长看作是一条弧长,那么它的圆心角为多少度呢?

③计算1°的圆心角所对的弧长,由此推断n°圆心角所对的弧长是多少呢?

创设意图：让学生明确一个新的知识的揭示是以已经学过的知识为基础的,在创设的质疑情境和教师的引导下找寻新知和旧知之间的联系,从探究活动中发现规律,进而得出结论.在探究活动中计算1°的圆心角所对的弧长是激活思维的关键,对此有了深刻理解后,进而能自然而然地得出n°的圆心角所对的弧长.其中②是“假设”,③才是“探寻理由”和“设计方案”,整个探疑的过程属于探究思维活动.因此,通过弧长公式这一探究活动,足能够诱发学生的学习兴趣,并帮助他们激活探究思维.

2 通过知识的类比迁移,促进学生理性思维

理性思维主要是通过已经掌握的学科方法进行思考和判断.它的特点是能够让知识成体系、可推理,突出概念的相互联系和相互制约关系.也就是人们所说的“对数学通窍、有数学头脑”.学生在对数学的认知过程中的思维方式主要有同化和顺应两种.同化是指将新知转化为已有旧知来认识或理解,是一种类比的知识迁移过程.如把圆的周长看作是一条弧长,其圆心角是360°,再去思考圆心角是1°与n°的扇形的弧长,这种思维方式就是同化.顺应是当新知无法与已有旧知相对接时,就需要对新知进行重新建模来认识或理解的认知方式.如圆的面积公式的推导过程是先把圆分割为一些面积相等的扇形,然后将这些扇形拼接为近似的长方形,再引导学生想象并推理,分割的扇形越细小,拼接的图形就越接近长方形,最后利用长方形的面积公式来计算圆的面积,这种“微格”的做法就是顺应.扇形的面积能否用相同的方法来同化,是扇形面积公式推导的一个关键环节.

探究活动:探究扇形是圆的一部分及线动成面.

(1)通过电子白板展示:用圆规在纸上画一段弧,连接圆心与弧的两端,形成一个扇形.然后让学生自己尝试作圆心角分别是30°,45°,60°,90°的扇形.

创设意图：由观察图片和自己作图得出扇形的概念,这种方法使得学生对新概念的理解较为深刻,为熟练判断图形是否为扇形以及对扇形进行面积计算夯实基础.同时,学生尝试自己作图,体会圆心角是30°,45°,60°,90°的扇形实质上是半径OQ绕着圆心O沿顺时针(或逆时针)旋转的过程中通过改变圆心角的度数而得到的.不难观察到扇形面积的变化规律,即扇形的面积越大,其圆心角也越大.

(2)思考:

①半径为OQ=r的圆的面积公式是什么?

②圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对扇形的面积?

③圆心角为1°时所对的扇形的面积是多少?圆心角为n°时又是怎样的呢?

创设意图：通过类比弧长计算公式的探究过程,引导学生探究扇形面积计算公式,这是一种理性思维的过程.上述探究不再像求圆的面积那样进行“微观”处理,而是让学生经历数学思想和方法的形成过程.在这一探究过程中,不仅促进了学生同化思维的发展,也促进了学生顺应思维的发展.

3 依托课堂知识对应训练,发展建模思维

对知识的建模思维是一种新知类化的过程,是将训练中所要解决的质疑纳入到学习的同类知识结构中去释疑的思维活动.数学训练释疑的过程,就是数学形式的类化与演绎的过程,是思维拓展的过程[2].

课堂知识的对应训练,是依据当堂课的主要知识创设不同形式的数学问题来引导学生开展解题训练,其目的就是使学生将所要进行的释疑纳入到原有的同类知识结构中去.换一句话说,课堂知识对应训练的目的就是发展学生的类化思维.创设课堂知识对应训练的依据是对概念进行多角度与内涵方面的变化.如与扇形弧长或面积有关的对应训练,可以设置下列问题.

训练1如图1,在一个圆心角为45°的两个同心扇形中,大的直径为20 cm,小的直径为10 cm,求阴影图形的周长和面积.

图1

训练2如图2,在边长为15 cm的正方形中作两个半径相同的扇形,且两个扇形相切,求图形中阴影部分的边长与面积.

图2

训练3如图3,以边长为10 cm的正三角形ABC的三个顶点为圆心,边长的一半为半径作三个相同的扇形,三个扇形的弧所围成的图形是图中的阴影部分,求阴影部分图形的周长和面积.

图3

创设意思：上面三个训练题,在形式方面都与扇形的周长和面积相关,训练1是圆心角是45°、半径不同的同心扇形的组合,训练2是正方形与两个圆心角为45°扇形的组合,训练3是正三角形与圆心角为60°的三个扇形的组合.在面积计算的内涵方面,训练1是求两扇形的面积之差,训练2是引导学生将扇形直径转化为圆所在正方形的对角线来计算,训练3则是正三角形边长的总量分割问题.不论何种形式与内涵,都要求学生将问题类化为扇形的知识来解决,而其中三个训练涵盖的不同的类化思维方式正是依托课堂知识对应训练以发展学生思维能力的目标所在.

4 延展知识视角,启迪学生的创造性思维

创造性思维可以作为突破常规的方法来解决质疑情境的思维活动.因为这是帮助学生构建理性思维最重要的过程,构建过程相当于一种创造过程.如在课堂设置的训练1中,有学生利用相似比来计算两个扇形的弧长,利用相似比的平方来计算两个扇形的面积,这些方法都是一种创新思维.从某种意义上讲,数学课程知识与原理的形成过程就是人们在实践中发现与创造的过程,解题过程中蕴含的思维方法都足以启迪学生的心智[3].

总之,在初中数学课堂上教师重在引导,这样才能更好地帮助学生构建数学思维.教师只要做一个有心人,悉心地把握发展学生的“思维点”,精心创设数学知识的“质疑点”,就一定能够点燃思维的火花,让学生的思维活跃起来.