二次函数动点问题的解题思路

2023-12-24王小路

中学数学 2023年24期

关键词：出点动点抛物线

王小路

⦿ 江苏省连云港市海头初级中学

二次函数动点问题对学生的想象能力要求较高[1].解决该类习题需从题干以及图形出发寻找突破口,尤其应注重“化动为静”,全面考虑各种满足题设条件的情境.

1 求解参数范围

例1(2021年·河南·统考中考真题)如图1,抛物线y=x2+mx和直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.

图1

(1)求m和b的值;

(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集;

(3)M为直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N.当线段MN和抛物线只有一个公共点时,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

思路剖析：问题(1)将点A坐标分别代入到抛物线和直线解析式中,构建两个方程求出m和b的值;问题(2)将抛物线和直线解析式联立求出点B的坐标,运用数形结合法求出不等式的解集;问题(3)先确定线段MN的长度和方向,以点M为研究对象,从点A右侧开始逐渐沿着直线AB运动,分析不同情况下MN和抛物线的交点,得出结论.

(2)由(1)得抛物线为y=x2-2x,其顶点坐标为(1,-1);直线为y=-x+2.

(3)由题意可得,A,B两点的水平距离为3.

根据题意,直线MN为一条与x轴平行的直线,且线段MN的长为3.由于M为动点,坐标未知,因此,需要分类讨论.

①当点M在点A的右侧,线段MN和抛物线只有一个公共点时,线段MN经过抛物线的顶点(1,-1).令-x+2=-1,解得x=3,此时xM=3.

②当点M在线段AB上时,要想满足题意,则应满足-1≤xM<2.

③当点M在点B的左侧,则线段MN和抛物线不会有交点.

综上分析,满足题意的xM的取值范围为-1≤xM<2或xM=3.

点评：例1情境较为复杂,吃透题设情境,准确判断线段MN的走向,以点A和点B为分类讨论的界限是解题的关键.

2 求解点的坐标

图2

思路剖析：由∠ABC为锐角,知点M只能在直线BC下方右侧抛物线上.先假设出点M,作出辅助线,运用∠ABC=∠MCB得出线段CN和NB的相等关系,再设出ON的长,借助勾股定理求出点N的坐标.最后,在此基础上求出直线CN的解析式,与抛物线解析式联立解出点M的坐标.

设点M的位置如图3所示,连接CM和x轴交于点N.

图3

由∠ABC=∠MCB,则CN=NB.令ON=x,则CN=NB=8-x.在直角三角形CON中,由勾股定理可得x2+42=(8-x)2,解得x=3,则点N(3,0).

点评：根据题意假设出点M的位置,将给出的角度关系转化为线段间的相等关系,灵活运用勾股定理求出点N的坐标,求出直线表达式后与抛物线解析式联立求得最终结果.

3 求解最值问题

例3(2022年·广东·统考中考真题)如图4,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,P为线段AB上的动点,过点P作PQ∥BC交AC于点Q.

图4

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时点P的坐标.

思路剖析：问题(1)根据已知条件求出点B的坐标,运用待定系数法即可求出结果.问题(2)首先求出抛物线顶点C的坐标,使用待定系数法分别求出直线BC和AC的解析式,然后根据PQ和BC的平行关系,设出直线PQ解析式,求出点P的坐标,最后结合图形通过图形面积关系表示出△CPQ的面积,运用二次函数性质,求出最值.