潘彩辉

⦿ 甘肃省定西市临洮县洮阳初级中学

点是几何图形的基本构成要素.点的运动会引起线段、角度甚至图形形状的改变[1].运用二次函数解决初中数学中的动点问题,既要厘清点与线段、角度、图形的逻辑关系,又要注重二次函数性质的活用以及所求问题的灵活转化,实现动点问题的巧妙突破.

1 几何图形类动点问题

例1如图1,已知直角三角形ABC中∠C=90°,BC=6,AC=10.D为AC的中点,P是BC上的一动点.将点P绕着点D逆时针旋转90°得到点P′,则AP′的取值范围为______.

图1

分析：深刻理解题意,确定点P运动过程中“变”与“不变”的量,构建“变”与“不变”量之间的内在联系是解题的关键.需要注意的是构建参数关系时应结合实际情况,以避免不必要的计算[2].该题中借助△DCP≌△P′ED实现“变量”的转化,创设勾股定理应用情境,借助二次函数性质作答,尤其为避免分类讨论,需注重绝对值的巧妙应用.

解：过点P′向AC作垂线,垂足为E,如图2所示.

图2

由题设可知,CD=DA=5,DP=DP′,∠PDP′=90°.

由∠CDP+∠EDP′=90°,∠EDP′+∠EP′D=90°,得∠CDP=∠EP′D,于是△DCP≌△P′ED(AAS),则PC=DE,CD=EP′=5.

令PC=DE=x(0≤x≤6),则AE=DA-DE=|5-x|.

在Rt△AEP′中,由勾股定理可得AP′2=AE2+EP′2=(5-x)2+25(0≤x≤6).

需要注意的是,当x=6时,点E在线段CA的延长线上.

2 抛物线类动点问题

例2如图3,已知抛物线过A(-2,0),B(8,0),C(0,4)三点,点D和点C关于x轴对称,点P(m,0)为x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线l和抛物线、直线BD分别交于点Q,M.

图3

(1)求该抛物线的表达式.

(2)若点F(0,1),当点P在x轴上运动,使得四边形DMQF为平行四边形,求m的值.

(3)点P在线段AB上运动期间,是否存在点Q,使得以点B,Q,M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

分析：该题由三个小问构成,难度依次增加.对于问题(1),采用待定系数法即可求解;问题(2)需灵活应用平行四边形的判定定理,借助坐标运算建立线段FD和线段QM的相等关系,求出参数m;问题(3)因△BQM中的直角不确定,需分类讨论,讨论过程中应注意二次函数对应方程根的情况,将根代入题设情境进行合理取舍,保证最终结果的正确性.

(2)由点D和点C关于x轴对称,得D(0,-4).

根据题意,得FD∥QM,若四边形DMQF为平行四边形,则只需FD=QM.

解得m1=-2,m2=6.

(3)由FD∥QM,得∠ODB=∠QMB,接下来需要分类讨论.

①如图4所示,当∠BQM=90°时,点Q和点A重合,点M为M′满足△BQM∽△BOD,此时点Q(-2,0).

图4

综上,点P在线段AB上运动期间,存在点Q使得以B,Q,M为顶点的三角形与△BOD相似,对应的点Q的坐标为(-2,0)或(6,4).

3 实际情境类动点问题

例3选取公园里过山车某一部分轨道,可将其近似看成抛物线,F为出发点,构建如图5所示的平面直角坐标系,其中x轴表示地面,E,H两点均在x轴上,测得OE=3 m,OF=9 m,忽略轨道厚度.

图5

(1)求抛物线FEG的函数关系式.

分析：该题是实际问题的抽象,考查的知识既有点的运动,又有抛物线的平移,对理解能力的要求较高.其中问题(1)难度不大,结合构建的平面直角坐标系,根据给出的点的坐标不难求出抛物线的函数关系式;解答问题(2)需通过计算明确抛物线FEG、抛物线KHQ的位置关系,结合抛物线的平移规律求出抛物线KHQ的表达式,构建一元二次方程得出结果.

解：(1)根据题意可知F(0,9),E(3,0).设抛物线FEG的函数关系式为y=a(x-3)2,将点F坐标代入得9=a(0-3)2,解得a=1,则抛物线FEG的函数关系式为y=(x-3)2.

由抛物线的平移规律可得,抛物线KHQ的表达式为y=(x-3-6)2,即y=(x-9)2.令(x-9)2=4,解得x1=7,x2=11.当过山车与地面相距为4 m时,距离出发点分别为7 m或11 m.

综上所述,二次函数既是初中数学中的重要知识,又是解决动点问题的重要工具[3].为提高学习者运用二次函数解答动点问题的能力,应注重引导学习者夯实二次函数基础,掌握二次函数不同表达式的特点,实现不同表达式之间的灵活转化.同时,做好不同动点问题情境的解题展示,使学习者把握相关解题细节,能基于对题设情境的深刻理解正确画出图形,根据需要作出对应的辅助线,构建参数之间的等量关系,尤其是根据实际情况进行分类讨论,确保问题得以顺利、高效解决.