徐 乐

⦿ 江苏省靖江市外国语龙馨园学校

圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系.所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决.因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题.下面将通过例题对辅助圆的应用进行说明.

1 角的问题

例1在△ABC中,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,已知BC=BD+AD,求∠A的度数.

图1

在初中数学几何问题中构造辅助线需要充分结合试题的情况来进行.本题中辅助圆的构造就是结合了本题所给定的角平分线的关系,根据相等的圆周角所对应的弧和弦长相等的性质来实现;然后通过辅助圆及相关线段关系来与相关角取得联系;最后利用三角形的性质求解.教师要对学生进行相应的引导,让学生掌握通过角的关系来构造辅助圆,进而借助辅助圆解决问题.

2 线段长度的问题

例2如图2所示,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是Rt△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP的最小值为( ).

图2

分析：根据AB⊥BC可以知道∠ABC=90°,结合∠PAB=∠PBC可得到∠APB=90°,所以△ABP是直角三角形.根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半以及圆的直径所对的圆周角是90°,可知点P在以AB为直径的圆上.以AB的中点O为圆心,AB为直径作圆,如图3所示.这样就可得到当PC的值最小时,点P正好在线段OC上.因为AB=6,所以OB=3.在Rt△OBC中,BC=4,根据勾股定理得到OC=5,于是可求出PC的最小值为2.所以正确答案是选项B.

图3

例2的解题关键是需要判断点P的轨迹,首先根据试题中所给定的关系得到∠APB=90°,结合直角三角形的性质和圆的性质很容易判断出点P在以直线AB为直径的圆上,然后就能够求解最小值.因此,在解题的过程中,只有认真分析题目条件,才能顺利找到解题思路.教师在进行解题教学时需要教会学生如何根据题目中所给定的已知条件来进行分析,从而找到解题思路.很多几何问题都是需要在解题的过程中才能够找到相应的解题思路,并不是通过对试题的观察就能得到解题思路的.因此结合已知条件来对试题中存在的关系进行分析,在解题的过程中发现解题思路,是解决问题最好的方式.教师需要引导学生先根据已知条件尝试找到解题的思路,进而解决问题.

3 三角形相似的问题

图4

几何问题中需要求证的结论存在线段比例关系或者线段等积关系时,都会涉及三角形相似或者全等的证明,通过构造圆为三角形相似或者全等提供条件,实现对问题的求解.在这个过程中,需要充分结合例题1和例题2中辅助圆构造的方式来找到相应的关系.

4 动点的问题

例4如图5所示,边长为3的等边三角形ABC,D,E分别是BC,AC边上的两个动点,且BD=CE,AD,BE交于点P,求点P的运动路径长和CP的最小值.

图5

解：由AB=BC,∠ABD=∠BCE,BD=CE得△ABD≌△BCE.

由∠CBE+∠ABP=60°,得∠BAP+∠ABP=∠APE=60°.

所以∠APB=120°.

故点P的运动轨迹是以AB为弦的圆上的一段弧.

如图6所示,作△ABP的外接圆,圆心为O,连接OA,OB,OP,OC.

图6

由OA=OB,AC=BC,得△AOC≌△BOC.

故∠OAC=90°.

在三角形的动点问题中,如果动点与一条线段所构成的角度固定,则说明这个动点的轨迹是以这个线段为弦的圆上的一段弧,通过这个关系可以构造辅助圆,然后利用圆的性质来求解问题.本题给定的是正三角形,当然不同的三角形中所呈现的关系可能会存在差别,但是本质没有变化.例如,在例题2中通过计算所得到的角度为90°的特殊角,这个辅助圆的圆心就在直角三角形的斜边上.例4中这个角度为120°,圆心在三角形的外部,通过辅助圆来充分利用圆的相关性质,能够更好地对问题进行求解,实现问题的解决.

本文中对辅助圆在初中数学平面几何中的应用进行了总结,并通过相关例题对其用法进行了说明.在初中数学平面几何问题中巧用辅助圆能够优化试题解法,实现快速求解.因此,教师在解题教学的过程中需要对学生进行有效地引导,让学生掌握辅助圆的应用,从而提升解题能力;提升数学素养.Z