魏庆雪

⦿ 广东珠海市凤凰中学

对于动态几何问题,解题的思路比较多,如利用函数性质、图形性质、点的对称知识、图形关系以及数形结合等,解题时需要根据题目的特点选择合适的思路.点对称的动态几何问题是根据“将军饮马模型”转化的,图形关系则是根据图形的全等或者相似而来的.本文中结合具体实例,探究初中数学中动态几何问题的解题方法.

1 利用函数性质解决动态几何问题

动态几何问题通常比较复杂,难度较大,特别是求解最值问题时,利用函数性质解题是常见的思路.在解题过程中,需要仔细审题,理解题意,明确线段、角之间的关系,设出相应的参数,表示出求解参数的表达式,之后根据一次函数、二次函数和反比例函数性质完成解答.在解题时,最值与自变量有着直接关系,需要根据题意,确定自变量的范围[1].

例1如图1所示,矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=6 cm,动点E从点A开始以1 cm/s的速度沿着AD向点D移动,另有一个动点F从点D出发,以2 cm/s的速度沿着DC向C点移动,设移动的时间为ts,当S△DEF+S△ABE取最大值时,t的值是( ).

图1

分析：此题创设的情境并不十分复杂,根据动点的运动速度,可以得出DF=2AE,将点的运动变化转化成线段的长度关系.根据已知条件中的参数,设出AE的长度,用AE表示出三角形的面积和,将问题转化成二次函数的最值问题.

点评：此题根据矩形和三角形的性质设计问题,结合点的变化对三角形面积的影响,引导学生联想一次函数、二次函数或者反比例函数,结合特点写出函数表达式,进而利用函数的性质解题.考查学生对函数性质的掌握和利用.

2 结合图形性质解决动态几何问题

在求解动态几何问题时,利用图形性质是一种比较常见的思路.初中数学中图形比较多,如三角形、正方形、长方形、圆等,每种图形有其特有的性质.在求解问题时,通过分析题目中的图形,利用线段与角之间的关系,找出运动中的变量与不变量,明确解题突破点.

例2在平面直角坐标系xOy中,点A坐标是(12,0),点B坐标是(0,9),经过点O作一个圆和AB相切,圆与x轴、y轴分别相交于点P,Q,则线段PQ的最小值是( ).

分析：通过审题发掘题目中的隐藏信息.在圆运动的过程中,∠QOP=90°是不变的,圆和AB相切是不变的.根据圆的性质分析,求解PQ的最小值就是求解动圆直径的最小值.结合已知条件,当圆的直径是三角形ABO中AB边上的高时,圆的直径最小.

图2

点评：此题将图形与坐标系结合,要求学生认真审题,根据圆的性质发掘隐含条件,如直径对应的圆周角为直角.通过这样的方式,对问题进行转化,完成题目的解答,考查学生对图形性质的掌握与应用.

3 利用点的对称解决动态几何问题

在初中数学动态几何问题中,利用点的对称解题是一种有效的方式,“将军饮马模型”是具有代表性的问题.在动态几何问题的求解中,根据题目条件选择合适的点,找出对称的线段,根据图形性质确定对称点的问题,作出辅助线,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理求解线段长度[2].

图3

分析：解答此题时,根据“将军饮马模型”,找出点E关于AC的对称点,结合菱形的性质,可以确定对称点在CD上,当对称点与P,F三点共线时,PE+PF最小.作出辅助线,构建直角三角形,根据题目中的已知条件,求解出线段之和的最小值.

点评：点对称的动态几何问题源自于“将军饮马模型”.在解题时,根据“将军饮马模型”,结合条件准确找出点的对称点,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理解题.如,此题中构建直角三角形,利用勾股定理进行求解.

4 分析图形关系解决动态几何问题

在解答一些初中动态几何问题时,可以根据图形关系分析等量关系与比例关系,运用平行线性质、三角形全等与相似等知识思考解题思路.解答此种类型题目时,可以采用逆向推理的方式,从需要求解的问题入手,分析需要的解题条件,作出相应的辅助线,找出问题与已知条件的联系,明确问题解答思路.

例4平面直角坐标系中,点A坐标为(3,4),点C坐标为(x,0)且-2

分析：根据题意,利用平行线的性质,将角转化到三角形中,表示出角的正切,将问题转化成求解线段BG的最大值.根据题目已知条件,利用三角形相似的性质,找出线段之间的关系,完成问题的求解.

图4

点评：解答此类问题时,需要对图形进行观察分析,利用辅助线构建图形,结合线段平行、三角形相似等知识,对问题进行分析解答.主要考查学生对知识的理解与综合利用.

5 结语

对于初中数学动态几何问题的解题教学,教师应当结合具体例题,向学生展示解题思路与方法,借助图形的变化,让学生直观了解数量关系.同时,教师应当注重与学生的交流,创设良好的课堂环境,加深学生的课堂学习体验,帮助学生理解和掌握不同类型问题的解题方法,提高解题能力.