于金彪

⦿ 甘肃省天水市第七中学

考生对于中考数学的压轴题普遍有种恐惧感,主要问题在于解题思路不清晰,错解、漏解率较高等.这些问题严重影响了考生对中考数学压轴题的答题信心.如何解决上述痛点,提升考生信心呢?本文中结合数形结合、函数与方程以及等价转化等思想,提出了几种中考数学压轴题的解题策略.

1 运用数形结合思想

数形结合思想是指运用几何性质来构建已知与未知变量之间的代数关系,借助几何性质来求解代数问题,或者借助代数关系求解几何问题.

线段与角的证明题通常不难,然而,解题的关键点却不容易挖掘.比如在几何图形中,通过画一条辅助线来构建已知变量与未知变量之间关系,巧解线段与角的证明问题.再如,绕三角形的顶点整体旋转三角形,并借助三角图形的关系,构建已知变量与未知变量之间的函数关系,巧解动态三角形与函数问题.参考人教版2009年苏州中考试题第29题进行的题型设计,如例1所述:

例1如图1-1所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠B=30°,△ABC绕点A顺时针旋转了α(0<α<120°),得到一个新的三角形△ADE,并且分别与△ABC的边AB,BC相交于点H,K.BK+KH=x,求解如下3个问题:(1)∠KBE与∠KEB的关系;(2)线段EH的长度;(3)若△ADH的面积为y,求y与x的函数关系式并指出函数图象是什么曲线?

图1-1

解：(1)连接BE,过点A作AG⊥DE于点G,如图1-2所示.在△ABC中,因为AB=AC=3,∠B=30°,以及△ADE与△ABC全等,所以AB=AE.故∠KBE=∠KEB.

图1-2

(2)由(1)知KB=KE,又因为BK+KH=x,所以EH=EK+KH=BK+KH=x.即线段EH的长度为x.

综上,运用数形结合思想,借助辅助线,构建了已知量与未知变量之间的代数关系,并且结合已证明的几何性质,构建了已知量与未知变量之间的函数关系.通过几何图形性质与代数数量关系之间的转化,巧解了线段与角的证明以及动态几何与函数问题.

2 运用函数与方程思想

函数与方程思想是指通过设定未知数,运用已知条件,或者是已证明或计算的结论构建方程的方法.

初中数学中所学函数包括一次函数,二次函数和反比例函数.一次函数和二次函数的综合问题经常出现在中考解答题中,该类题型的难度适中.比如,分别求解一次函数、二次函数的解析式,然后结合直线与抛物线的位置关系,利用一次函数与二次函数解析式联立后所得方程的判别式构建数量关系.

动点与函数类问题,比如围绕线段上的动点与抛物线上的点,结合已知求解线段所在直线和抛物线的解析式,构建线段上的动点和抛物线上点的坐标的数量关系,并根据已知两点的坐标,再构建已知变量与未知变量之间的方程,利用函数求解相应的问题.参考人教版2013年上海中考试题第24题进行的题型设计如例2所述:

例2如图2-1所示,已知抛物线y=ax2-bx+c(a≠0),与x轴相交于两点A(-2,0)和B(4,0),与y轴相交于点C(0,-5),顶点为M.求解如下3个问题:(1)抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式.(2)与直线BC平行并与抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)只有一个交点的直线的解析式.(3)若线段AM上有一个动点N,与抛物线上的点H构成线段NH,并且线段NH平行于y轴,求线段NH取得最大值时,点N的坐标.

图2-1

解析：(1)抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式中,系数a,b,c为未知参数,由该抛物线与x轴相交于两点A(-2,0)和B(4,0),且与y轴相交于点C(0,-5),构建方程组

图2-2

综上,运用函数与方程思想,设定合适的未知数,根据已知条件以及已经证明或者计算的结论,结合直线与抛物线的位置关系,构建一次函数与二次函数解析式联立后方程的系数间数量关系,求解一次函数和二次函数的综合问题.围绕线段上的动点与抛物线上点,结合已经计算或者证明的线段所在直线和抛物线的解析式,构建线段上的动点和抛物线上点的坐标的数量关系,并根据已知两点之间的坐标关系,再构建已知与未知变量之间的方程,求解函数关系取得最值时的解.

通过几何图形性质与代数数量关系之间的转化,巧解了线段与角证明以及动态几何与函数问题.运用函数与方程思想,设定合适的未知数,结合直线与抛物线的位置关系,构建相应的数量关系,求解函数综合问题.有关线段上的动点与抛物线上的点对应线段的最值问题,构建已知变量与未知变量之间的关系,进而求解函数关系取得最值时的解.上述解题策略,可帮助学生提升解答中考数学压轴题的信心.Z