周一敏

⦿ 湖北省武汉大学附属外语学校

1 基于学习力培养的课程分析

1.1 内容解读

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,也是初中阶段研究的三种基本函数之一.本章学习是以已学的一次函数为基础,首先让学生认识二次函数,掌握二次函数的图象和性质,进而用函数的观点来看待方程和不等式,最后解决一些简单的实际问题.二次函数的学习集数形结合、分类讨论、函数与方程、化归等多种思想于一体,在中学数学中有着非常重要的地位,也为学生后续学习打下良好的基础.

1.2 目标分析

(1)梳理二次函数知识,加深对二次函数概念和二次函数图象及性质的理解.

(2)熟悉研究函数的基本思路与方法,提升观察、分析、归纳和概括的能力,体会数形结合思想.

(3)培养数学抽象思维能力,能够学会独立思考,建立合作意识,培养学习力.

1.3 学情分析

通过前面课程的学习,学生对二次函数的概念以及二次函数的图象和性质有了一定的理解,但对本章知识的整体架构还不是很清晰,在知识的灵活运用方面有所欠缺.本节课的难点是能够构建二次函数的知识体系,并在熟练运用的过程中体会数形结合思想,变课程知识为实际技能.

2 基于学习力培养的问题驱动式教学设计

2.1 知识梳理,感悟数形结合思想

问题1如图1,观察二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象.

图1

(1)这条抛物线的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点分别是怎样的?

(2)你能确定二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)解析式中a,b,c,以及b2-4ac的符号吗?

师生活动:教师出示问题,学生先独立思考然后回答.教师追问并小结,引导学生从图象和解析式两个方面来看.

图象特征:开口向下,对称轴在y轴右侧,顶点在第一象限,与y轴的正半轴有一个交点,与x轴有两个交点.

解析式:a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0.

设计意图：通过开放性问题,培养学生发散性思维.问题(1)是从图象的角度进行直观分析,问题(2)是从解析式的角度进行理性分析.一方面回顾二次函数的基本知识,了解学生知识掌握情况.另一方面让学生体会数形结合思想,培养学生的探究意识.

问题2如图2,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(-1,0),B(3,0).

图2

(1)这条抛物线的对称轴是什么?你是怎么得到的?

(2)a,b,c之间有怎样的数量关系?

(3)你能添加一个条件,并求出这个二次函数的解析式吗?

追问:你是怎么求的?还有其他的方法吗?能依次说出所求二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标吗?

师生活动:教师依次出示问题.对于问题(1)(2),学生思考、回答,教师追问并小结.对于问题(3),学生先独立思考,动笔计算,教师巡视,关注不同层次学生,再由学生板书.

设计意图：此题借助数形结合思想对二次函数的性质进行了比较全面的考查.利用二次函数的图象特征,设计一连串的问题,梳理二次函数的相关性质.问题(3)通过半开放的题目,引导学生根据问题中的条件,熟练运用待定系数法确定二次函数的解析式,并体会“形”与“数”的联系.

问题3请同学们根据刚才复习的内容整理本章所学主要知识,你能发现它们之间的联系吗?你能画出这些知识的结构图吗?

师生活动:教师引导学生一起梳理二次函数的知识框架图(如图3).

图3

设计意图：完善二次函数图象与性质的知识体系,培养学生主动建构知识的能力.

2.2 知识关联,运用数形结合思想

问题4已知抛物线y=-x2+2x+3.

(1)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,所得到的图象对应的二次函数解析式为______;

(2)该图象经过平移能否得到二次函数y=-x2+4x-3所对应的图象?

师生活动:学生独立思考,展示并交流.教师引导学生小结.

设计意图：这是一道文字信息题,引导学生联系图象的性质进行解答,并明确两点.一是图象平移的本质是点的平移,考虑顶点坐标的变化比较方便,所以需要先把一般式化成顶点式;二是图象平移过程中的“不变性”,即抛物线形状不变,a不变.

问题5如图4,若抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),根据图象解决下列问题:

图4

(1)方程-x2-2x+3=3的解是______;

(2)方程-x2-2x+3=k有实数根,则k的取值范围为______;

(3)不等式0<-x2-2x+3<3的解集是______.

(4)不等式-x2-2x+3>-x+3的解集是______.

师生活动:学生独立思考、讨论、展示.

设计意图：通过一系列的追问,引领学生用函数的观点来看待方程和不等式,感受二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系,体会数形结合、转化等思想,突出数学核心素养,进一步提升学生学习力.

2.3 知识运用,体会数形结合思想

问题6已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(点A在B的左边),与y轴交于点C.

(1)求△ABC的面积S△ABC.

(2)在抛物线上(除点C外),是否存在点M,使S△ABC=S△ABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

师生活动:学生独立完成,师生一起总结.求三角形面积需要找底和高.其中,第(1)问底和高都在坐标轴上;第(2)问底在坐标轴上,关键是如何找高.

设计活动：通过综合性的问题,既巩固了本章知识,又灵活运用了所学知识,以熟悉的图形为背景,综合考查学生在动态背景下处理图形的能力,体会数形结合和分类讨论的思想,为后续解决类似问题作铺垫.

2.4 课堂小结

问题7通过本节课的学习,复习了哪些知识?这些知识有什么联系?运用二次函数的性质解决了什么问题?体会了哪些数学思想方法?

师生活动:教师组织学生对本节课知识进行小结.

设计意图：本节课以一条抛物线为主线,贯穿始终,以问题为驱动,巩固复习了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求抛物线的解析式、二次函数和一元二次方程及不等式的关系等知识.学生经历二次函数相关知识的梳理过程,进一步熟悉研究函数的基本思路与方法,体会数形结合的思想,提升观察图形、分析图形的能力.

3 基于学习力培养的问题驱动式教学反思

(1)问题驱动激发思维

本节课摒弃了以往常见的“知识回顾—建构体系—例题评析—达标训练—归纳总结”复习课教学模式,巧妙运用一图贯穿一课,在一个图形中不断添加条件,以问题为载体,以学生为主体,在师生互动中逐步呈现主干知识和重要的思想方法,进而建构知识框架,形成知识脉络.本节课设置的问题之间相互关联,由易到难,由静态到动态,由特殊到一般,立足学生潜能,激发学生思考,培养了学生的发散思维.

(2)问题驱动培养能力

数学复习课不同于新课教学,在夯实基础的前提下,要突出通性通法的归纳,让学生从中领悟基础知识、基本方法的应用,能从一个问题掌握一类问题,从一串问题探究一片知识,达到“讲一题,得一法,会一类,通一片”的效果,切实提高解题能力,增强数学应用意识.本节课注重解题方法的提炼归纳,例如针对问题2第(3)问,当学生添加点C(0,3)后,一个学生回答可以用顶点式来求抛物线的表达式,教师马上追问“还有其他方式吗?”接着又追问“可不可以设为交点式?”让学生经历二次函数三种表达式的比较选择过程,体验解决问题方法的多样性,培养了学生学习数学的能力.

(3)问题驱动落实素养

在章节复习课中,学生已有一定的知识基础,教师不仅仅是引导学生回顾梳理知识,更应该有意识地揭示数学本质,渗透数学思想,让学生在应用中体会感悟,在反思中明晰升华,让课堂因思想而厚重.本节课有清晰的数学思维导向,以问题串的形式,始终围绕二次函数的图象与性质这一核心,凸显数形结合思想,让学生经历问题逐步递进、深层探究的过程,进而提升核心素养.Z