王军

［摘 要］数学学习材料是学生学习数学的重要载体，也是数学教师开展课堂教学的重要媒介。针对当下数学课堂学习材料的使用现状，在陶行知先生“解放儿童”的理念及课堂教学实践的基础上，以课堂教学案例为载体，对开发数学学习材料的路径并运用学习材料引导学生进行深度学习的实践技术进行了思考与探索。

［关键词］学习材料；深度学习；路径

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）23-0016-04

一、现状扫描：对当下数学学习材料的调查与分析

陶行知先生在《创造的儿童教育》一文中指出：“我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来。”在课堂教学中，要实现“解放儿童”和促进学生的学习发展，首先要看教师为学生设计和提供的学习材料。学习材料的选择和使用在一定程度上决定着学生的学习效果，面对组织不同的学习材料以及对相同学习材料的不同组织，学生学习的过程会截然不同。因此，教师应当合理组织、加工学习材料，进一步探究学习材料的组织方式和呈现方式，使数学课堂充满活力，从而实现学生的深度学习。但目前看到的学习材料的使用效果并不理想，有以下几个原因。

1.材料定位——忽视“学为中心”的目标指向

有的教师对学习材料的研究意识淡薄，导致在进行教学设计时不能够正确选择和使用学习材料；有的教师所用学习材料的典型性和启发性不够，脱离了学生的学习和认知起点，影响了学生的知识获得和能力发展；有的教师虽然对教材提供的学习材料进行了重新处理和二次开发，但原有的教学目标却没有达成。因此，对学习材料的研究成了一个亟须正视的问题。

2.材料设计——缺乏二次开发的审辨思考

在学习材料的设计方面，有的教师或照搬名师的教学设计，或机械地呈现教材；有的教师一味追求改变教材，在选择和设计学习材料时“随心所欲”，在没有把握教材的情况下改变了学习材料，没有达到教学目标。究其原因，是教师在设计学习材料时缺乏深度思考，没有从学生实际情况出发选择合适的学习材料，对于学习材料的设计思路缺乏深入研究和弹性调整，往往是生搬硬套，从而导致教学效果不理想。

3.材料使用——浮于浅尝辄止的表层理解

有的教师机械地按照教材的编排方式逐个呈现学习材料，缺乏灵活调整和动态处理；有的教师尽管选择了较为合适的学习材料，但只是匆匆而过，没有让学生充分思考就给出结论，没有充分发挥学习材料应有的价值。这样的教学方式往往使得学生的学习浅尝辄止。

数学学习材料的设计与使用若是存在问题，不仅会限制学生思维的发展，也不利于学生的数学学习。因此，在对陶行知先生“解放儿童”的教学理念进行思考后，笔者认为有必要对小学数学课堂的学习材料进行重新审视和设计使用。

二、路径探索：小学数学学习材料设计的策略

在课堂教学的目标指向和陶行知先生的“解放儿童”的理念下，应该怎样设计学习材料，以此促进学生的思维发展和深度学习呢？根据“教”与“学”的实际，可以从以下三个方面进行学习材料的设计。

1.强基固本，巧用教材素材的“多维变式”

选择数学学习材料时首先要考虑的是用好教材的素材。数学教材是专家充分运用教育学和心理学理论，根据学生的认知发展特点和数学的学科特点精心编著的。当教材提供的学习材料的内容或呈现方式不利于学生的学习发展时，教师就需要创造性地对其进行再加工，使之成为能促进学生深度学习的材料。

例如，在“生活中的负数”一课中，笔者对教材中的例题（如图1）进行了改编，将教材中固定化地以学校为起点调整为任意一点为起点，从而将学生的思路从单一引向多元，使学生更好地理解如何表示正负数这一核心问题。

在不设置起点后，学生挑战的自由度明显更高，出现了多层次的思考结果：

（1）起点定位不同，则结果不同（如图2）

（2）正负方向不同，则结果不同（如图3）

（3）单位长度不同，则结果不同（如图4）

可以看出，在具有开放性的学习材料的驱动下，学生都积极运用所学知识进行判断和表达，并在对比思考和交流展示中提升了对知识的理解，活化了数学思维。

2.整合融通，重视多元素材的有机融合

除了教材，教师还可带领学生接触丰富的课外学习材料——数学在生活中的实际应用、数学故事、数学游戏等。对这些学习材料进行发掘和利用，将相关的学科内容、应用问题、学习方式融合在一起，组成一个新的学习课题，使得学生在此过程中建立系统的思维方式，体验知识间的联系。

例如，在教学“长方体和正方体”“比的认识”的相关知识后，笔者利用动物冬眠这一生物常识，引导学生进行了生物与数学的跨学科知识的综合应用研究。

师（出示图5）：请研究这些不同大小的正方体的表面积和体积的数值之比，并填写在表格中。

出示学生研究结果（见表1）：

师：观察表1，你们有什么发现？

生1：从表1中可以看出，随着正方体棱长变长，正方体的表面积和体积也随之变大。不过体积比表面积增加得快，因此表面积与体积的数值的比值越来越小。

师（出示资料）：小型动物身体表面积和体积数值之比很大，它只要通过身体表面来交换气体，换气量就足够维持生活。大型动物由于表面积与体积数值之比小得多，靠身体表面来交换气体不够身体的需要，就需要有专门的呼吸器官来补充。

师：请根据上述原理以及之前的思考，合作研究动物冬眠的情况，看看有什么发现。

（学生小组合作研究，调查资料并记录研究数据，撰写研究成果與发现）

生2：我们小组发现北极熊需要冬眠有数学方面的原因。一头成年的雄性北极熊，它的身体表面积大约是3 m2，它的体积大约是9 m3，表面积与体积数值的比就是3∶9，比值是[13]，比值较小，它的表面积所提供的生理资源就难以满足它较大体积的生理需要，因此北极熊在冬天就需要冬眠了……

从上述的案例中不难发现，数学与其他学科学习材料跨界融合的教学意义在于：使得学生在获得学科综合知识的同时获得良好的科学思维方式，帮助学生体会和理解数学知识的应用价值，改变学生对数学学习的认识，促进学生综合能力的形成。

3.整合创编，开放学习素材的思维空间

优秀的学习研究材料，应当能给学生提供足够的思考和创造空间，有利于学生主动地去探索结论。而当下的数学教材是将思考过程、解答方法毫无保留地呈现出来，这样就容易使学生滋生惰性，不利于学生数学思维的发展。因此，教师可以根据自己对于教材的理解与把握，对教学内容进行增减，适当留白或者添加内容，设计能发挥学生创造性和主动性的学习方案，引导学生自主收集问题并研究材料，提供真正适合学生在课堂共同研究的学习材料。

例如，教学“三角形的分类”时，可将教材中的“画不同种类的三角形”的相关问题进行整合设计：如图6，A、B是两条相互平行的直线上的两个点，请你在其中一条直线上找出第三个点，使其分别与A、B首尾相连后组成一个锐角三角形（或一个直角三角形、一个钝角三角形）。       

在解题过程中，学生经历了“用工具画图—交流与比较—寻找动点轨迹范围—分析与反思”的学习过程，并将画出的三角形进行整合与比较，主动借助“点的移动”来观察运动变化中的“瞬间图形”，从而能够用运动变化的观点认识和思考不同种类三角形之间的联系，逐渐感受到图形之间存在的“静止与运动、绝对与相对、有限与无限、量变与质变”的辩证思想。在潜移默化中，学生自然而然地建立起动态、变化的空间观念，真正实现了深度学习和数学思维的进阶。

三、策略解码：运用学习材料导引课堂深度学习的教学实践技术

学习材料是学生学习知识的重要载体，如何才能有效运用学习材料培养学生的创造力和引发学生的深度学习呢？下面将从四个方面来阐述教师运用学习材料引导学生进行深度学习的策略。

1.以点带面，在沟通联系中编织大单元的活性知识

能否发挥好学习材料的作用，关键在于教师的处理。不同教师对于同一个学习材料会有不同的理解，在使用的过程中也就有不同的处理方式。想发挥好学习材料的作用，就需要教师在设计学习材料时能建立知识与方法的联系，最终达成知识概念的完整建构、思想的合理应用和方法的触类旁通。例如，“小数的意义与性质”的复习就可以猜谜游戏的方式引入。

师：请同学们来设计一个一句话谜语，使得谜底是0.5。

生1：5个0.1是多少？

生2：5是什么数的10倍？

生3：与二分之一相等的小数是多少？

生4：5的小数点向左移动一位得到什么数？

师：这些谜语的背后隐藏着哪些数学知识呢？

（学生从小数的计数单位、小数的性质、小数的意义、小数的读写、小数点移动引起小数大小变化的规律等对谜语进行了说明。教师引导学生画出知识网络图）

在上述案例中，教师给学生呈现的不是一个“点”，而是架构了一个立体的“关系网”。 在知识谜语这个载体下，学生自然而然地对头脑中的知识进行搜索，加上同学的启发下，学生知识网络逐渐清晰，数学学习逐渐深入。

2.并联反馈，在差异交流中实现群体思维的共生长

陶行知先生曾指出：“教师应解放儿童的时间。”因此，学生需要有足够的时间和空间对学习材料进行思考和辨析，从而真正将知识内化。但在课堂教学中，为了保持教学进度，有的教师会线性呈现学生的作品，将优秀学生的想法强加给其他学生，导致学生的学习效果不理想。教师应当承认学生之间的差异，给予学生足够的学习空间和时间去进行深度思考，同时弹性处理学习材料，为不同层次的学生提供不同的发展机会。

例如，教学“异分母分数加减法”时，一位教师在利用四色图让学生理解用通分的方法将异分母分数转化为同分母分数的计算方法后，并没有立刻进行总结，而是带领学生进一步探究。

出示题目（先独立计算，再集体交流）：（1） [12+18]；（2） [13-18]；（3） [12+14+18]；（4）[15+17]。

生1：这四道算式可以用通分的方法计算。

生2：题（1）和题（3）可以先将分数转化为小数来计算，这样比较方便。但是题（2）和题（4）就不能用这种方法。

生3：我认为有些分数可以转化为小数，有些不能。

生4：我发现用画图的方法一下就可以知道题（3）的答案了。[1-18=78]。

……

给学生充足的时间进行深度思考，在讨论和思维碰撞中就能充分暴露学生的真实想法和存在的问题。学生在交流中学会了多种计算方法以及根据数据的特点选择合适的计算方法，这远比简单地总结出用通分的方法计算异分母分数的加减法更有意义。

因此，教师需要弹性处理学习材料，因材施教，激发学生的学习积极性，促使学生参与到深度学习中。

3.全局视角，在深度思考中形成结构化的知识图谱

教育家布鲁纳曾指出：“学习知识就是需要允许许多别的东西与它有意义地联系起来。”教师不能让学生的注意力停留在知识的表面，而是引导学生从知识全局的视角出发，在学习活动的过程中观察、学习和思考学习材料的不变因素，归纳总结其本质规律，以形成结构化的知识图谱，这样学生便能从全局上分析问题。由于教材往往是单一地呈现知识内容，这样就割裂了知识之间的关联性，容易使得学生的认知结构单一，想象力也得不到提高。对此，教师在呈现学习材料时，要注意引导学生观察和发现知识之间的联系，让学生开展充分的想象和思考。

例如，教学“三角形、平行四边形与梯形”单元时，可给出如图7所示学习材料。

数学知识之间存在着各种“看得见”与“看不见”的联系，设计开放性的动态研究材料可以极大地促进学生的思维从静止孤立走向多元开放。对于图7，教师可以引导学生运用运动变化的视角观察图形之间的关系：表面上看，四边形与三角形、平行四边形与梯形不存在任何关系，但当图形的顶点运动时，图形也就通过点的移动“变成”三角形、平行四边形或者梯形。这样知识“联网”的过程开阔了学生的学习视野，让学生对图形结构的理解逐渐深入。

综上所述，要让学生的学习真正发生，需要教师精心设计适合学生的学习材料，同时在课堂教学中引导学生进行深度学习，使得学生的数學思维能力得到充分发展，这样，学生的数学核心素养才能真正得到培养。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 缪建平.小学生数学探究学习导引 [M].南京：南京大学出版社，2015.

[2] 吕林海.数学理解性学习与教学：文化的视角[M].北京：教育科学出版社，2013.

（责编 金 铃）