殷木森

(深圳市龙华区教育科学研究院 518010)

新课标提出“三会”,其中一会是“会用数学的思维去思考现实世界[1]”,还指出“高考命题中应特别关注数学学习过程中思维品质的形成,关注学生会学数学的能力[1]”.那么,何为数学思维?数学学习过程中的思维品质又是如何形成的?这是每位教师都应该弄清楚的问题.数学是思维的体操,数学学习的本质就是要培养学生的数学思维,而数学思维主要包括逻辑思维、形象思维和直觉思维,其中最核心的是逻辑思维,它是培养创新意识和创造能力的源泉.新课标中,数学思维就是数学学科核心素养的综合体现,它实质上是人的数学思维品质的个性特征,不同的人经过数学学习后,数学思维品质是有个性差异的.

衡量一个人的思维品质主要包括批判性、独创性、深刻性、广阔性、灵活性和敏捷性等六个维度,它体现在解决一个具体问题的过程当中.其中,批判性与独创性是衡量思考问题层面的维度,深刻性与广阔性是衡量分析问题层面的维度,灵活性与敏捷性是衡量解决问题层面的维度,如下图所示:

显然,日常教学中要选择恰当的问题载体,在思考、分析与解决问题的过程中有意识地从这六个维度出发去培养学生的数学思维,逐渐提升学生的数学思维品质.

1 问题的选择

典型问题的选择是先决条件,它决定了思维品质的培养深度,也体现了教师发现问题、提出问题的能力.笔者认为,问题的选择应该主要包括以下两个特点:

(1)易于发散

发现和提出的初始问题,不一定是最难的,但一定是典型的、易于拓展和延伸的,通过它能由浅到深地发现和提出一系列问题,形成问题串、构建思维块.在这个过程中,学生不断地经历思考、分析和解决问题的过程.下面以2021年新高考一卷第7题(单选题)为例.

题1若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则.

A.eb

C.0

分析已知过曲线y=ex上一点可以作它的一条切线,现在能作两条,那这个点能在哪呢?单是解决这道题来说,有几种方法,但不能就此算数,应该进一步深入地思考:

(1)对于一般的指数函数曲线y=ax(a>0且a≠1)呢?

(2)把指数函数换成对数函数、三次函数、正余弦函数会怎样呢?特别是三次函数,还会出现三条切线的情况,可以从特殊到一般进行研究.

(3)相切其实是相交的一种特殊情况,如果改成探究“指数函数与幂函数的交点情况”,或者“指数函数与对数函数的交点情况”呢?

(4)再往下思考,还可以考虑两条曲线的公切线问题.

过程中要不断地经历由猜想、质疑,到归纳、总结,再到反思、提升的全过程,并且在过程中不断地经历发现错误、修正错误,找到正确的解决思路.

(2)易于总结

通过解决一个、一类问题,让学生发现一般的认知规律,以后再碰到类似的问题,就能从这个角度进行深入思考,通过不断试误,找到解决问题的一般方法.如从2022年新高考一卷第7题(单选题)开始,去总结解决“指、对、幂比较大小”问题的一般处理办法.

A.a

C.c

分析要解决这个问题,可以从最简单的方法入手:0,1是它们的“中间量”吗?但很快发现,三数均在(0,1)之间.再细看,感觉能用作差法或作商法,先比较哪两个呢?先从简单能比较的入手,显然a,b与b,c容易比较一些.

第一步,比较a,b,作差还是作商呢?因为两者没有公因式,试试作商.

构造函数f(x)=(1-x)ex,

因为当0

所以f(x)在(0,1)上单调递减,

即f(0.1)

第二步,比较b,c,看不出作差与作商哪个好,先尝试作差.

因为当0

所以g(x)在(0,1)上单调递增,

第三步,前两步只能排除A,B,看来命题人是执意要比较a,c的大小.因为作商后构造的函数会更复杂一些,还是先尝试作差吧.

由a-c=0.1e0.1+ln0.9=0.1e0.1+ln(1-0.1)构造函数h(x)=xex+ln(1-x),令0

显然无法求解出h′(x)>0的解集,再次求导也不行,需要及时转换思路.稍为仔细一点会发现,只需要比较(x2-1)ex+1的正负就行,x所在的范围只要能包含0.1就行了.

设p(x)=(x2-1)ex+1,

则p′(x)=(x2+2x-1)ex,

而h′(x)>0,

即h(0.1)>h(0)=0,即a>c,排除D选C.

细细观察还发现,其实用不着比较b,c,因为比较a,b后能排除B,比较a,c后能排除A、D,当然这是后话,要解决“指、对、幂比较大小”的问题,就应该先从找中间量入手,作差与作商法是其最基本的方法,然后通过构造函数与0进行比较.本题之所以难,是因为构造函数后,通过求导判断单调性比较大小时不能一蹴而就,特别是比较a,c时.当然,此题还有很多解决方法,但这是最直接和一般的方法.也有老师认为,学生一开始就应该想到把b,c转化成跟0.1相关的表达式,然后直接构造函数解决,其实就是上面解法中的第一、三步.

2 养成思考问题的良好习惯

思考是分析和解决问题的前提,站在思维的最前端.对数学学习而言,思考问题最需要的思维品质是批判性与独创性,即一个人首先要能够独立思考问题,并且善于质疑、及时发现错误、纠正错误,这是批判性,是思维过程中自我意识作用的结果;其次,要能够求同存异,有区别于常人思考问题的方法,这就是独创性,是摆脱了一般意义上的学习后体现出来的思维的个性化特征.这就是人们常说的批判性思维与创造性思维.日常教学中,教师要有意识地培养学生的批判精神和独创意识,并逐渐形成良好的思考习惯.

2.1 通过质疑性问答培养批判性思维

一线教学中,很多教师采用题型教学法,方法先行、题型在后,学生一看课题就能明白本节课用这种方法解题肯定没错,殊不知高考考场上,是不会有人告诉你哪道题用哪种方法的,学生要通过思考、尝试,才能得出正确的思路.因此,教学中教师要经常用到质疑性的问答,在解答过程中不断进行反思、及时调整策略,这样才能培养好批判性思维.下面以2022年全国乙卷理科第11题为例.

首先,要求学生根据题意绘出示意图(如下),教师可以提出质疑“为什么M在左,N在右”,因为cos ∠F1NF2>0,否则会有两种情况.

上述解决问题的过程中,师生间的质疑性问答起到很关键作用,不仅让学生更全面地了解直线与双曲线的相交问题,而且更清楚地认识到了思考问题需要严谨、细密,避免了就题解题带来的尴尬.

2.2 重视过程性教学才能发现学生思维的闪光点

有些教师不够重视问题解决的过程,要知道过程中学生的思维闪光点,就是那种超出了预设的生成,才是课堂中最宝贵的财富,也是思维独特性的表现.下面以2021年全国乙卷理科第12题(单选题)为例,此题与题2一脉相承,甚至难度更大.

A.a

C.b

想一想构造函数的目的是什么?是为了跟0比较,而f1(0)=0,而f2(x)与f3(x)是很难找到零点比较的.所以,过程中学会比较是很重要的.还有别的方法吗?因为a,c的值非常接近,可以采用放缩法进行估算,估算也是一种能力.

放缩法是估算的一个重要方法,但是放缩的不等式有很多,有时未必能马上成功,需要不断尝试才行,相信还会有其它的方法.

3 分析问题必须全面与透彻

有了思考问题的能力,还要学会分析问题.人们常说,要透过问题看本质,这是思维的深刻性;还说要全面考虑和分析问题,这是思维的广阔性.因此,分析问题不能仅停留在表层,而是要全面与透彻.下面通过解答2022年新高考二卷第12题(多选题)去说明问题.

题5若x,y满足x2+y2-xy=1,则.

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析已知x,y的关系,要求x+y与x2+y2的取值范围,从式子的构造来说,运用基本不等式即可解决.

由上可见,若不能通过一道题去发现它的本质,或者分析得不够全面,学生能吸取到的营养是有限的.其实,此题若由x+y=μ得y=μ-x,由x2+y2=ν2得x=νcosθ,y=νsinθ,分别代入原式也可求得μ,ν2的取值范围,只是参数方程已不作要求.

4 拓宽解决问题的视野

分析问题是为了解决问题,解决问题是思维的最末端.评判一个人解决问题能力的高低,常用灵活性与敏捷性.这个不难理解,灵活性是指能根据具体情况及时转向,变通思路以克服思维定势;而敏捷性是指能迅速地发现和解决问题.下面还是通过两道比较大小的问题进行说明,先是2022年全国甲卷理科第12题(单选题).

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

以上我们发现,若学生碰到不熟悉的背景就放弃解答是十分可惜的.此时,应该灵活地调动所学知识,拓宽解决问题的视野,多方尝试,不轻言放弃,相信一定能找到解决问题的路径.再看2020年全国丙卷理科第12题(单选题):

题7已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则.

A.a

C.b

显然,要培养学生的灵活性与敏捷性,日常教学中一定要对问题进行深入的挖掘,并在其本质特征上进行“一题多变”与“一题多解”.学生只有积累了足够多的经验,才会有足够多的信心去解决那种看似并不那么常规的问题.

5 反思与建议

要提升学生的数学思维品质,课堂教学仍是主阵地.

5.1 要有适当的教学容量

对数学课而言,教学容量不是指知识容量,而是通过教学活动体现出来的思维含量,课堂容量太小,教学效率就低;课堂容量太大,学生就会吃不消.只有针对学情,设置适量的思维活动,遵循学生的认知规律,才能使学生的本事一天天见长.

5.2 要注重整体性教学

没有人告诉你,解决哪个问题要用哪个方法,方法要靠学生自己去寻找.如果课堂上教师没有注重整体性教学,学生的认知就会很片面,很容易造成思维定势.上述几个比较大小的问题中,可能用到的方法包括:寻找中间量、作差作商、构造函数判断单调性,借用基本不等式等,但不同的问题要用到的方法是有区别的.对于学有余力的学生而言,适当拓宽知识面是有利于学生更全面地认识问题的,如泰勒展开式,不等式放缩技巧等.

5.3 要注重规范化表达

规范表达,也是思维能力的一种体现.课堂上,有些教师只注重思考与分析,不重视学生的规范表达,这就没有发挥问题教学的最大价值.学生通过规范表达,真正地把所思所想写出来,进一步厘清为什么与怎么样,才能更大程度上提升学生的数学思维品质.