邵夏燕

［摘  要］ 在教学活动中融入数学文化有利于开阔学生的视野，落实学生的数学核心素养． 本节课利用曼哈顿距离引入课题，让学生经历“猜想—验证—证明”的过程得出定理，最后解决课前提出的实际问题． 数学史帮助学生了解三角不等式的起源，古今联系的策略将历史上三角不等式的证明方法与学生的证明方法联系起来，让学生感悟数学文化的价值，激发学生的学习兴趣，增强学生的学习信心．

［关键词］ 数学文化；三角不等式；案例研究

三角不等式是上海教育出版社出版的数学必修第一册第二章第三节“基本不等式及其应用”中的第二讲内容，是基本不等式中的一个． 本节是新教材新增的内容，目前关于三角不等式的课例研究还较少． 三角不等式不仅是一个经常使用的恒不等式，而且在向量、复数教学以及高等数学教学中也经常出现，具有十分重要的意义．理解和证明三角不等式并不困难，但对它的认识和应用有个逐步进行的过程． 在教学中，如何让学生更好地理解三角不等式及其作用值得广大一线教师思考．

数学史可以帮助学生了解三角不等式概念产生的来龙去脉，加深对三角不等式概念的理解． 历史素材能提供问题和方法，给予学生更多的探究机会． 借助数学史让学生主动参与“做数学”的创造性活动，从而提升学生的数学素养，促使学生更好地理解数学活动的本质． 证明三角不等式时采用古今联系的方式可以激发学生的学习兴趣，学生在惊叹古人智慧的同时能获得学习动力． 鉴于此，笔者设计了一堂将数学史融入三角不等式教学的数学课．

本节课的教学目标是：（1）引导学生理解三角不等式定理，使学生能用三角不等式证明一些简单的不等式，并求解一些简单的最大值和最小值问题；（2）引导学生利用分类讨论、数形结合等方法探究、抽象三角不等式，提升学生的数学抽象、逻辑推理等素养；（3）让学生通过定理的证明和简单应用，感受三角不等式的地位与作用，能用联系发展的眼光看待数学问题．

数学史料及应用

1. 三角不等式的起源

三角不等式在我国可以追溯到成于公元一世纪左右的《九章算术》中的正负术：同名相除，异名相益，正无人负之，负无人正之；其异名相除，同名相益，正无人正之，负无人负之［1］． 前四句说的是有理数运算的减法法则，后四句说的是有理数运算的加法法则． 如果将有理数的运算法则用数学符号表示，就可以得出三角不等式；将多种情况总结成一个不等式，就能充分体现数学的求简思维．

三角不等式在西方可以追溯到公元前300年左右的古希腊时期，著名数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷命题20）中提出“三角形中任意两条边之和大于第三边，即a+b>c”，这成为后期三角不等式名称的由来［2］．

2. 三角不等式的证明

虽然三角不等式可以追溯到《九章算术》与《几何原本》，但实际上在20世纪初提出关于范数的三角不等式后，三角不等式这个名称才真正得以沿用. 并且英美也只有少部分早期教科书在20世纪五六十年代提到了三角不等式这一概念和式子，而且主要是运用向量三角形或复数三角形来进行说明和论证的． 其中有两种代数证明方法可以引进高一数学课堂：

学生反馈

课后收到学生问卷33份． 关于求x－3+x－5的最小值的问题，所有学生都成功使用三角不等式解出了最小值，甚至有42%的学生能使用两种或两种以上的方法解出最小值． 说明通过这节课的学习，学生较好地掌握了三角不等式，并且能够运用三角不等式解决简单的最值问题. 有58%的学生表示印象最深刻的是使用多种方法证明三角不等式，33%的学生表示印象最深刻的是“利用数形结合、分类讨论来验证三角不等式”，这达到了本节课的第二个教学目标.

谈到本节课的收获与感悟，学生反馈道：“以前三角不等式需要用许多文字语言才能描述出来，现在只需要简简单单一两个代数式就可以表达了.”“三角不等式应用在日常生活中，让日常生活变得更便捷.”“应当尝试不同方法、不同角度的学习，尽力找到最简洁方便的推导方案.”“学习不是背公式，而是学会推导.”可以看到学生对三角不等式及其推导方法有了更加深刻的理解，课堂活动让他们对数学学习有了更多感悟.

总的来说，本节课激发了学生的学习兴趣，课堂留白的方式给学生提供了充分表达的机会，在交流展示中加深了学生对知识的理解，增强了学生的学习信心． 本节课很好地达成了预设的教学目标．

结语

数学文化可以从知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐、多元文化五个维度融入数学教学． 本节课涉及其中的三个维度，一是知识源流. 三角不等式的源流是数的运算，从等式到不等式，而《九章算术》又是中国古代数的运算的起源，是古人智慧的结晶． 二是社会角色. 本节课利用曼哈顿距离引入课题——三角不等式的教学，最后回到这一问题并运用三角不等式解决了这一问题，突出了数学在实际生活中的运用． 三是多元文化. 三角不等式起源于中国古代的《九章算术》和古希腊的《几何原本》，而且历史上不同时空的数学家对三角不等式的发现和证明都有贡献，是多元文化的体现．

本节課将学生给出的验证方法和两种证明方法与历史上数学家使用的方法对应起来，引导学生穿越时空与数学家对话，想数学家之所想，做数学家之所做，不仅激发了学生的学习兴趣，而且增强了学生的学习信心．

参考文献：

［1］ 郭书春. 汇校《九章算术》［M］. 沈阳：辽宁教育出版社，1990.

［2］ J.L.Heiberg.The Thirteen Books of Euclid′s Elements［M］. The University Press，1908.

［3］ N.B.Haaser. A Course In Mathematical Analysis［M］. Boston：Ginn，1959.

［4］ B.A.Frank.School Mathematics Study Group. Mathematics for High School：Intermediate Mathematics［M］. New Haven：Yale University Press，1961.

［5］ 汪晓勤，邹佳晨． 高中数学教学中实施课程思政的路径［J］． 数学教学，2021（08）：1-6.