孟军辉，刘清洋，金泽华

（1.北京理工大学 宇航学院，北京 100081；2.北京理工大学重庆创新中心，重庆 401135）

超材料设计是指通过设计材料的内部结构，从而人为控制材料的各种属性以获得自然界没有的新材料[1].负泊松比超材料是一种具有拉胀特性(负泊松比)的力学超材料，由某一特定的结构(胞元)进行周期性地排列构成，其等效泊松比和等效弹性模量主要由构成该结构的基质材料和胞元的几何参数决定.自LAKES 等[2]成功制备出泊松比值为−0.7 的聚氨酯泡沫以来，负泊松比材料的研究进入到快速发展的阶段，现有的负泊松比材料设计通常是基于已有的负泊松比材料的胞元构型，通过理论公式来对所设计材料的力学性能进行预测.或通过经验，对现有的胞元构型进行改进.宫晓博[3]提出了一种改进的四角星形蜂窝结构，对该结构的弹性模量和剪切模量进行了理论分析，并应用于飞行器蒙皮结构.丛琳[4]提出了一种改进的二维圆形负泊松比结构，将圆形结构的内部用圆柱进行填充，并采用基本梁理论对其力学性质进行了预测，通过改变填充情况实现了对材料泊松比的调节.基于理论分析的设计方法计算方便，并能够满足设计需求，但通常并非“最优”的结果，同时难以设计出全新的胞元拓扑构型.

负泊松比材料设计除了基于理论分析拓展自然界现有的材料之外，可以引入拓扑优化设计来发现新型满足设计需求的负泊松比材料.拓扑优化的方法在传统的结构设计领域已经有了比较成熟的应用[5−7].对于负泊松比材料的优化设计，现有拓扑优化方法通常包括微观尺度拓扑优化方法和宏观−微观一体化拓扑优化方法.图1(a)示意了微观尺度的超材料拓扑优化设计，整个结构在宏观上的材料分布事先确定，对微观尺度的材料胞元构型进行拓扑优化设计，该方法着重于材料局部的拓扑构型设计，而不注重材料在宏观路径上的分布.虽然能够得到性能较为优异的负泊松比材料，但该方法存在微观尺度超材料难以制造的问题.图1(b)所示是“微观−宏观尺度一体化”的拓扑优化设计方法，该方法通过拓扑优化得到微观上材料的拓扑构型，同时用该微观材料均匀化后的力学性质作为输入，用于设计该超材料在宏观尺度上的材料路径分布，实现微观和宏观两种尺度上设计优化.SIGMUND[8]将胞元微结构设计转化为了胞元结构的拓扑优化设计问题，用具有相同微结构的胞元进行周期性排列，形成宏观上具有特殊力学性质的超材料.刘岭等[9]以最小柔度为目标实现了承载结构的微观、宏观一体化拓扑优化设计.张会凯[10]在宏观、微观两个尺度上建立了两套设计变量进行了分层梯度超材料的两尺度一体化的拓扑优化设计.“微观−宏观尺度一体化”的拓扑优化设计方法的计算量相对较大，设计出的结构一般没有周期性.

图1 不同尺度的超材料设计方法Fig.1 Topology optimization method of metamaterial in different scales

变形飞行器需要根据飞行高度和速度的变化而自适应地调整机翼构型，从而显著地提高飞行器的各项性能，以拓展飞行包线.若考虑增大翼面积的情况，机翼展向和弦向同步变化，传统的硬壳式蒙皮材料无法同时满足以上要求.蜂窝结构设计灵感来源于大自然蜂窝，具有轻质和力学性能优异的特点，将其与负泊松比效应相结合，应用于飞行器蒙皮材料，可通过胞壁的弯曲变形以实现蒙皮的面内变形，同时满足一定的面外承载的需求.刘凯宇[11]针对展向变形机翼，基于传统内凹蜂窝的缺陷，提出了一种面内柔性好、面外刚度高的蒙皮改进方案.陈以金[12]设计和研究了反四手性负泊松比蜂窝结构和基于剪纸的零泊松比蜂窝结构作为变形机翼的内部支撑.SPADONI 等[13]将三韧带圆节点手性蜂窝应用于机翼的填充芯才，通过实验对比分析了三种不同节点半径的手性超材料制成的填充机翼，结果证明手性蜂窝结构填充材料可以承受大挠度的变形.LIU 等[14]提出一种余弦波纹形零泊松比超材料，并将其成功应用于变弯度机翼.上述工作将已有的蜂窝构型进行改进并应用于变形飞行器，取得了较好的效果.

由于前文所述“微观尺度拓扑优化”和“微观−宏观一体化拓扑优化”对负泊松比蜂窝结构进行设计时，需要对不同蜂窝单元进行拓扑优化以满足面内变形和面外承载的需求，分别存在微观尺度难以加工和优化过程计算量庞大等问题.实际上通过宏观蜂窝单元的周期性排列也可实现负泊松比蜂窝结构的力学性能表征，利用这一特点可有效减小拓扑优化迭代过程的计算量，以提升柔性蒙皮材料的结构优化效率.

超材料拓扑优化设计在数值算法上通常有优化准则法(optimality criteria，OC)、移动渐近线法(method of moving asymptotes，MMA)等.OC 法是从某初始的密度分布开始，按照某一迭代公式，迭代获得一个更优的密度分布.该迭代公式是由具体的优化问题的所对应的准则来决定的.其最大的特点是收敛速度快、迭代次数少，要求重分析的次数一般同结构变量多少和复杂程度无关[15].OC 法易于处理单约束的优化问题.XIA 等[16]应用OC 法进行了负泊松比胞元的拓扑优化设计，使用泊松比与杨氏模量混合函数作为目标，难以控制优化结果的负泊松比值.ZHANG 等[17]通过改进的目标函数来指定超材料的理想弹性张量，用OC 法实现了超材料泊松比的定量设计，但优化结果的实际泊松比与其指定的泊松比仍有较大程度的差距.MMA 方法是一种能够解决多约束优化问题的高效数值算法.对于超材料的拓扑优化设计，此方法可以同时对体积比和泊松比进行精确的约束.崔宇红[18]应用MMA 法设计得到了一种泊松比接近–1 的负泊松比初始结构，并对该结构进行了参数化建模，实现了对该材料泊松比的精确控制.ANDREASSEN 等[19]用MMA 法进行了二维和三维超材料的泊松比最小化设计，并对设计得到的三维负泊松比超材料进行了实验验证.WANG[20]用MMA 算法设计得到了具有面对称结构和中心对称结构的三维拉胀材料.ZONG 等[21]提出了一种两步拓扑优化方法，用MMA 算法实现了三维手性负泊松比超材料的拓扑优化设计.但是现有基于MMA 法的优化设计未考虑材料的等效弹性模量.事实上从工程角度，柔性蒙皮材料设计，往往对蒙皮整体的变形量提出要求，这就使材料在具有一定的泊松比的同时也需要关注弹性模量等力学性能.

本文以应用于变体飞行器蒙皮材料的负泊松比结构为研究对象，针对现阶段负泊松比超材料设计中存在的制造性差和不具备周期性的问题，进行了宏观尺度的负泊松比超材料拓扑优化设计研究.通过对比分析优化准则法、移动渐近线法等优化方法，提出适用于具有周期性的超材料设计的宏观尺度拓扑优化方法，以实现复杂约束下的负泊松比超材料拓扑构型的优化设计；并基于材料力学和结构力学的基本理论提出一种通用的超材料杆系结构理论模型，对优化所得结构拉胀效应进行工程估算；通过对比分析验证了宏观尺度拓扑优化方法的有效性，为变体飞行器蒙皮超材料的拓扑优化设计提供了参考.

1 宏观尺度拓扑优化方法

为了解决微观尺度和微观−宏观一体化的拓扑优化设计方法在变形飞行器蒙皮超材料设计上的问题，本文提出一种宏观尺度下的负泊松比超材料的拓扑优化设计方法，充分利用蜂窝结构表征单元具有周期性重复的特点，将负泊松比超材料的拓扑优化问题转化为材料单个胞元的拓扑优化问题.在设计出易于制造的超材料的同时，充分节省计算量.其步骤是：

①将宏观结构离散为由宏观尺度的胞元组成的离散结构，以实现结构的初始周期性序构；

②根据整体结构载荷及边界条件确定代表性胞元承受的载荷及边界条件，之后用拓扑优化设计单个胞元的最优拓扑构型；

③对优化得到的最优胞元构型依照初始离散结构进行周期性排序形成满足要求的负泊松比超材料.

该方法的示意图如图2 所示.

图2 宏观尺度拓扑优化方法Fig.2 Macro scale optimization method

2 基于复杂约束的负泊松比超材料拓扑优化设计

基于上述的宏观尺度拓扑优化方法，对于负泊松比超材料的设计，主要在于单个胞元的拓扑优化.可将单个胞元作为设计域，离散为有限单元，以每个单元的密度作为设计变量，以整个胞元的总体积作为约束条件，根据不同的设计要求合理地选择目标函数进行拓扑优化设计.与一般承载结构拓扑优化不同的是，单个胞元的边界条件需要重新确定.承载结构有限元模型的边界条件一般是支座和集中力的形式，只要在固定相应的节点或对节点施加力即可，而具有周期性排列的超材料，每一个胞元都受到与之相邻的胞元力的作用，胞元边界上的位移需要相互协调，而每个胞元产生的变形又相同，最终表现为胞元相对的边的位移需要满足某种协调关系，即周期性边界条件.此外，与承载结构拓扑优化中常见的柔度、刚度等易求得的目标函数不同，超材料胞元的拓扑优化的目标函数一般是其等效的超材料的杨氏模量、泊松比等力学性能指标，这些性能指标还需要利用渐进均匀化方法从离散的密度分布中求得.以下就优化程序中应用的渐进均匀化方法和周期性边界条件进行讨论.

2.1 渐进均匀化方法

均匀化理论最早应用于复合材料领域.20 世纪70 年代，BABUSKA[22]提出了具有严格理论基础的渐进均匀化方法.这种方法将材料的微观特性和宏观的力学行为联系起来.在超材料的拓扑优化设计当中，渐进均匀化方法可以从离散的密度分布中提取出超材料的杨氏模量和泊松比作为优化问题的目标函数或约束函数.

在线弹性范围内，可以使用均匀化方法评估周期性结构在宏观上所表现出的等效本构行为.对于三维空间的单胞Y，均匀化的弹性张量是对单胞Y内每一点弹性张量的积分的平均.为了适应数值算法，本文采用了基于能量的均匀化方法，该方法采用了平均应力和应变定理，均匀化的弹性张量可以写成应变互能的形式

在有限元模型中，式(1)可以写为求和的形式

其中Qij为

通过渐进均匀化方法，优化程序就可以从胞元的有限元模型中求解出材料宏观上的等效弹性张量.设计时，可以根据不同的要求，将渐进均匀化得到的弹性张量的其中一些分量进行组合，构成目标函数或约束函数，如方向1 的泊松比，从而优化出均有某些特殊力学性能的超材料.

2.2 周期性边界条件

考虑到胞元在整个结构中分布具有的周期性，因而在优化程序中，胞元设计域被离散为固定有限元网格之后，其有限元模型还需要满足周期性边界条件.对于具有周期性结构分布的超材料，假设每个胞元都处于同样的变形状态，其中每一个胞元的边界上的位移都与相邻的胞元相关，其边界上的位移和力都必须满足一定的协调关系.在周期性假设之下，胞元在给定应变的作用下，其位移场ui可以写成宏观的位移场及周期性的波动位移场之和：

对于二维正方形胞元，周期性边界条件可以表述为胞元相对2 条边上的位移关系，需满足：

“k+”和“k–”分别表示1 个胞元中的一对平行且相对的胞元边界(2 条边界垂直于第k方向)，两式相减则可消去周期性波动的未知量 ，得：

2.3 基于OC 法的超材料拓扑优化设计

优化准则法是从某一初始的设计出发，按照一定的迭代公式，来得到一个改进的设计.相应迭代公式可以由目标函数与约束函数组成的拉格朗日函数进行推导，拉格朗日函数应满足数学上的Kuhn-Tucker条件.对于优化问题：

式中：f(x)为目标函数；fj为约束条件；xi为设计变量.对于上述优化问题可以引入Lagrange 乘子，建立如下的拉格朗日函数：

Kuhn-Tucker 条件可以写为：

基于上述理论可以推导出优化准则法的迭代方式：

式中：m为正移动极限；η为阻尼系数；Bi为从最优条件当中获得的.OC 法对多变量单约束的优化设计问题具有很高的优化效率.

本文对于一个正方形胞元设计域离散为100×100 的固定有限元网格，以每个单元的密度为设计变量，使用SIMP 法和OC 法进行拓扑优化设计.OC 法一般要求优化问题具有单个约束，对于负泊松比材料胞元的优化设计，则不能同时约束胞元的总体积比和泊松比.文献[16]中采用总体积比作为单个约束条件，而将泊松比和刚度作为优化目标.构造目标函数：

式中：E1122、E1111、E2222都是均匀化之后的弹性张量中的分量；E1111、E2222分别为方向1 和方向2 上的杨氏模量，泊松比μ=E1122/E1111；目标函数中β∈(0，1)为自定义的固定参数；指数l为迭代次数.使用此目标函数，优化器倾向于在初始迭代时最大化材料方向1和方向2 上的杨氏模量.当优化过程进展，即l增加时，优化器倾向于最小化E1122的值，从而使泊松比μ=E1122/E1111变小直至为负.综上所述，该负泊松比材料胞元的拓扑优化模型为：

式中：n为设计域离散为有限元后的单元数量；V(x)和V0分别为材料体积和设计域体积；f为约束体积比；U和F分别为位移矢量和力矢量；K为全局刚度矩阵.取基质材料的杨氏模量为1，泊松比为0.3，体积约束取为0.5，初始猜测密度分布如图3 所示，编写程序进行拓扑优化.迭代80 步后，得到的胞元密度分布如图4 所示.渐进均匀化理论显示，该胞元的泊松比为−0.498.

图3 初始猜测密度分布Fig.3 Initial density distribution

图4 OC 法优化负泊松比材料设计结果Fig.4 Design result of auxetic metamaterial by OC method

上述优化方法通过合理的构造目标函数使设计结果实现了负泊松比，然而这种方法设计的负泊松比值是无法指定的.为了实现指定负泊松比超材料的设计，构造目标函数：

µ∗指定泊松比值 =−0.5，给定不同的初始密度分布，可以得到不同的胞元构型，如表1 所示.

表1 给定不同的初始密度分布得到的指定泊松比超材料胞元拓扑优化结果Tab.1 Topology optimization result of metamaterials with prescribed Poisson’s ratio by given different initial density distributions

从以上优化结果可以看出，指定泊松比的效果和初始密度有较大关系.3 种不同的初始密度分别优化出了反四手性、内凹六边形和一种复杂的混合星形的拓扑构型.对于第一种和第三种构型，胞元的泊松比在指定的泊松比−0.5 附近，而第二种初始密度优化出的胞元构型，方向1、2 的泊松比相差较远，且都与指定泊松比−0.5 相差较远.

为了进一步验证该方法指定泊松比的效果，分别指定不同的泊松比，对同一初始密度分布(表1 中第三种)进行优化，得到结果如表2 所示.

表2 MMA 法和OC 法指定泊松比超材料胞元设计结果的对比Tab.2 Comparison of design results of metamaterials with prescribed Poisson's ratio by MMA and OC

分析表2 的设计结果可以得出，优化结果的泊松比值与指定的泊松比值之差均小于0.03，说明了该方法构造目标函数指定泊松比的有效性.

2.4 基于MMA 法的超材料复杂约束拓扑优化设计

在上一节的优化设计当中，材料的拉胀效应都是通过构造目标函数来实现的，而将泊松比作为约束条件也能够实现指定泊松比材料的设计.为了使优化结果具有对称的结构，需要对优化模型在横向和纵向上的泊松比都施加约束.在约束条件中加入泊松比，再加上体积约束，总共将产生3 个约束函数，使该拓扑优化问题变成了一种复杂的多约束的优化问题.OC 法对大量设计变量和少量约束的优化问题具有较高的优化效率，但对于多约束拓扑优化问题，由于式(2)中要依次引入相应约束的Lagrange乘子，每个Lagrange 乘子要采用不同的准则，优化的求解效率将大大降低[23].OC 法由于算法本身的局限性，难以处理这种多约束的优化问题，此时已不再适用.

移动渐近线法通过对结构的响应函数在当前设计点处进行一阶倒变量泰勒展开，用线性化的方法来近似地描述原非线性的优化问题，将隐式非凸的优化问题转化为一系列显式的凸子问题来求解，每一个子问题都是对原问题的凸近似[24].MMA 法适用于求解具有复杂目标函数和具有多个约束条件的拓扑优化问题.

本文应用MMA 法进行了负泊松比超材料胞元的多约束拓扑优化.当泊松比成为约束条件之后，目标函数则不需要再考虑泊松比，此时可以将目标函数设定为其他力学性能指标，使材料在满足指定的负泊松比和体积比的情况下，在其他的某些力学性能上达到最优.变形飞行器蒙皮超材料的设计往往对材料在受力后的变形量提出要求，这就需要对超材料的弹性模量进行考虑.本文以弹性模量为目标函数，约束材料的总体积比和该材料在1、2两个方向上的泊松比，使超材料在1、2 两个方向上的弹性模量E1111、E2222最大化.该方法的优化模型如下：

图5 初始猜测密度分布Fig.5 Initial density distribution

图6 MMA 法优化负泊松比材料设计结果Fig.6 Design result of auxetic metamaterial by MMA method

观察表2 中MMA 法优化结果的胞元拓扑构型，发现MMA 法的结果具有稳定性，指定从−0.1～−0.5的泊松比，MMA 法优化得到的胞元结果具备相似的星形混合四边形的构型，只是在每根杆的粗细和角度上进行了微调.对比OC 法和MMA 的优化结果，可以发现MMA 法优化结果的泊松比距离约束的泊松比 µ∗的偏差更小，不超过0.006.由此可以看出把泊松比作为约束条件指定超材料的泊松比可以达到更好的效果.此外，由于本算例中的MMA 法将胞元1、2 方向上杨氏模量的和作为目标函数，优化结果的杨氏模量显著高于OC 法的结果.综上所述，用MMA法进行胞元指定泊松比的拓扑优化设计，能够在较为精确地约束泊松比的情况下，使超材料的某些力学属性最大化.

2.5 优化结果的提取和序构

对优化程序得到的最优拓扑构型密度分布的提取，既要保留原密度分布的主要构型，又要使提取出的二维胞元的几何特征尽量简单，易于后续的分析与制造.为了使提取之后的胞元尽量具有规则的几何外形，本文对胞元的优化结果建立了100 mm×100 mm的坐标，便于对其几何特征的测量，胞元的边界尽量以直折线表示，以表3 中MMA 法指定泊松比为−0.5的超材料胞元设计结果为例，提取之后的胞元构型如图7 所示，提取后的胞元二维结构形式能基本反应优化结果的拓扑构型.

表3 超材料杨氏模量和泊松比的有限元结果和理论值Tab.3 FE results and theoretical values of Young's modulus and Poisson's ratio of metamaterials

图7 提取胞元拓扑形式Fig.7 Extraction of cell topology

3 优化设计结果的力学性能验证

为了验证第二节中设计的胞元构成的超材料的力学性能，对设计出的超材料构建有限元模型，分析其在单向拉压下的变形情况.为了验证宏观尺度拓扑优化设计结果的有效性，应根据有限元分析得到的变形量，分别考察超材料在单个胞元上的泊松比和超材料整体的泊松比，将两种泊松比值进行对比，对优化结果的力学性能进行验证.

3.1 有限元验证

等厚二维负泊松比超材料的泊松比与其厚度无关.为了节省计算量，对MMA 法指定泊松比为−0.5、−0.4、−0.3、−0.2 的超材料胞元设计结果序构得到的5×5 超材料划分壳单元，再施加强制位移下，用有限元软件对其进行仿真.用MMA 法指定泊松比为−0.5、−0.4、−0.3、−0.2 的超材料胞元设计结果序构而成的超材料静力学分析应力云图如图8 所示.

图8 超材料在位移载荷下的应力云图Fig.8 Stress contour of metamaterials under displacement load

为了验证上面几种超材料的泊松比，本文在超材料中选取一些参考点，通过测量评价参考点横向和纵向的位移得到超材料的泊松比值.为了避免边界效应的影响，选取5×5 超材料中心处的胞元进行泊松比的计算，选取参考点如图9 所示.

图9 单元泊松比计算参考点的选取Fig.9 Selection of reference points for calculation of Poisson,s ratio of cell

在工程实际应用中，往往更关心超材料在宏观尺度下的整体泊松比，以考察超材料在2 个方向上的变形量是否满足设计要求.计算超材料整体的泊松比，则需要把参考点取在材料的边界上，如图10 所示.

图10 计算超材料整体的泊松比参考点的选取Fig.10 Selection of reference points for calculating Poisson,s ratio of metamaterials as a whole

根据泊松比的定义μ=−ε2/ε1即可得到负泊松比材料的胞元泊松比和超材料在宏观上的整体泊松比值，分别对MMA 法指定泊松比为−0.5、−0.4、−0.3、−0.2 的设计结果的胞元泊松比及整体泊松比进行计算，得到的泊松比值如表3 所示.

观察表3 可以得出，由有限元模型计算得到的胞元泊松比基本符合渐进均匀化的结果，偏差在0.053 以内.由指定泊松比优化设计得到的胞元拓扑形式进行序构，得到的超材料宏观上的整体泊松比仍能满足指定泊松比的要求.

3.2 杆系结构理论模型的验证

理论模型是负泊松比超材料的重要研究领域，针对不同的胞元构型，国内外的研究已经获得了一系列较为完整的理论公式.针对内凹六边形构型，比较有代表性的有GIBSON 等[25−26]及EVANS[27]理论模型.PRALL 等[28]首次详细地推导了六韧带手性结构超材料的理论公式；MENG 等[29]推导得到了星形结构超材料的等效杨氏模量和泊松比的理论公式；QI 等[30]对现有的各种超材料拓扑构型的理论公式进行了较为完整的综述.目前，对于上一节设计出的较为复杂星形混合四边形的胞元构型，尚无相对应的理论公式，本文借鉴了现有的理论公式的推导方法，对该胞元泊松比的理论值进行了推导.

对于MMA 法优化出的星形和四角形混杂的胞元拓扑构型，可以抽象为图11 所示的钢架模型.对该钢架的上下边界施加均布力来模拟胞元受到单向应力的情况.

图11 胞元拓扑构型抽象为刚架模型Fig.11 Topology of cell abstracted as rigid frame model

模型中所有胞元壁的连接点为刚性连接，将胞元壁视为欧拉梁模型，受力时发生拉压和弯曲变形.考虑到载荷和结构的对称性、结构的内力也必然具有对称性，在计算时可以仅计算整个结构的1/4，如图12 所示.

图12 1/4 胞元结构Fig.12 1/4 Structure of cell

为了简化计算，可以将作用在EF杆上的垂直于杆轴向向上的均布力简化为F点的集中力.考虑到胞元在发生横向和纵向变形的时候，上图中水平和竖直的杆件(分别为EF杆、GH杆、AB杆、AD杆)只受到拉力或压力，不发生弯曲变形，因此可以在F点和G点施加转角约束，同时分别约束E点和H点的水平和竖直位移，这样就可以保证EF杆和GH杆在应力分析时不发生弯曲.在B点和D点施加滑动铰支座，A点施加固定铰支座，可以约束AB杆和AD杆不发生弯曲.此时EF杆上的均布力就可以简化为F点处的集中力，大大减少了结构求解的计算量.上述钢架的结构的求解仍是一个高度静不定的结构力学问题.参考结构力学中通用的求解静不定问题的方法，解除支座约束，以未知力代替，得到结构的静定相当系统如图13 所示.

图13 结构的静定相当系统Fig.13 Statically equivalent system of the structure

求解以上的静不定系统，构建如下正则方程组，共10 个方程10 个未知力.

式中：δijXj表示在第j个未知力单独作用下i处的位移；ΔiF表示在外力F的单独作用下i处的位移.因为支座处约束方向上的位移为0，所以所有力和未知力在i处产生的位移应为0，即等式的右端为0.求解该正则方程组即可得到所有支座处的约束力X1、X2、···、X10的值.再利用单位载荷法得到F点和G点横向和纵向的位移ΔFy、ΔGx.进而得到胞元的横向及纵向等效应变：

式中e为胞元的边长.再根据泊松比和杨氏模量的定义，即可得到该种胞元构型的负泊松比超材料的杨氏模量和泊松比的理论值.

式中b为胞元的厚度，2F/（eb）即为纵向应力的大小.

对MMA 法指定泊松比为−0.5、−0.4、−0.3、−0.2的设计结果的杨氏模量和泊松比用以上的理论进行计算，得到表3 所示的结果.

有限元模型和理论模型都对原始的优化结果密度分布进行了提取和简化，提取过程中忽略了原始优化结果中的灰度单元和一些细小的、不易制造的几何特征，使胞元能够被一些几何参数所描述，而不是100×100 个单元的密度值，使序构后的超材料具有可制造型.胞元拓扑构型的提取造成了有限元模型和理论模型的误差，理论模型忽略的原始几何特征较多，与设计泊松比值的偏差较大，但模型简单直观.有限元模型是对原始设计结果的二维几何特征进行提取，得到的胞元模型经过仿真得到的泊松比值与设计值偏差较小，特别是胞元泊松比值.这种模型的提取方式更加能满足指定泊松比值优化设计的要求.由有限元模型计算得到的整体泊松比值与胞元泊松比值的偏差较小，这种偏差主要由边界效应引起，随着超材料中单元数量的增多，这种偏差将会越小.综上所述，由设计域划分，到胞元拓扑优化设计，再到序构的宏观尺度超材料拓扑优化设计方法能够满足设计需求.

4 结 论

① 针对超材料胞元构型的拓扑优化设计，提出了一种宏观尺度拓扑优化设计的方法，分别应用OC 法和MMA 法进行指定泊松比拓扑优化，得到了一系列具有指定泊松比的胞元构型的设计结果.

② 用有限元模型分析和验证了设计结果的力学性能.分别计算了MMA 法拓扑优化得到的4 种超材料中心胞元的泊松比和材料整体的结构泊松比，对这2 种泊松比进行了对比分析.针对拓扑优化出的胞元构型，参考现有的理论模型，推导了一种适用于星形混合四边形胞元构型的超材料的理论模型，用以解释该新型胞元构型的拉胀效应.综合了理论模型和有限元模型，对拓扑优化结果的力学性能进行了验证，证明了宏观尺度拓扑优化方法设计负泊松比超材料的有效性.