黄华，高艺鹏,2，王伟达,2，杨超,2

（1.北京理工大学 机械与车辆学院，北京 100081；2.北京理工大学 重庆创新中心，重庆 401120）

随着传感器、计算机、人工智能等技术的快速 发展，智能无人车辆相关技术已经成为研究的热点[1−2].路径跟踪是智能无人车辆的关键技术之一，其中，智能无人车辆具有主动转向功能是其实现路径跟踪的基础条件[3].线控转向(steer-by-wire, SBW)系统因取消方向盘与转向机之间的机械连接，更适用于自动驾驶系统，成为智能无人车辆转向系统更合理的选择[4].对SBW 系统进行精确控制，使其快速、稳定地响应智能无人车辆自动驾驶系统的方向盘转角指令，是影响智能无人车辆路径跟踪精度的一个关键因素.

滑模控制(sliding mode control, SMC)因其具有较强的鲁棒性、快速响应、物理实现简单等优点被广泛 应 用 于SBW 系 统[5−14].由 于SMC 的 开 关 特 性，状态轨迹不能严格按照滑模面向平衡点移动，因此SMC 在实际应用中往往会出现抖振现象[6].陈辛波等[7]构造了一种自适应模糊系统，可以实时观测系统扰动并减弱SMC 控制律切换信号，从而提升SMC 对转向角的跟踪性能.WU 等[8]设计结合扰动观测器的鲁棒SMC 方法，提出了一种前馈补偿的线控转向系统转角跟踪控制器，削弱抖振，提高转角跟踪性能.陈特等[9]采用非奇异终端SMC 并设计新型指数趋近律来提高转角跟踪控制效果.滑模趋近律(sliding mode reaching law, SMRL)的选择可以改变SMC 动态特性，消除SMC 因为开关特性所带来的抖振问题[10].为此，相关研究人员针对SMRL 的设计做了大量的研究工作.张庭芳等[11]基于传统指数SMRL设计一种新型SMRL，可以保持趋近速度并抑制抖振现象.SUN 等[12]设计一种基于末端趋近指数和比例趋近的组合SMRL，与传统的常数SMRL 相比，组合SMRL 能有效抑制抖振，缩短趋近时间.田甜利用模糊控制，实时调节SMRL 的滑模增益系数，系统抖振得到有效削弱，SBW 系统跟踪效果得到提升[13].邓龙泽[14]构造一种神经网络，通过车辆实时状态来对SMRL 进行调节，优化了SMC 方法，削弱了系统抖振.

为提升SMC 在SBW 系统中的动态响应性能，进一步削弱未知扰动的影响，提高路径跟踪精度，文中基于一种新型SMRL 设计了改进SMC 方法并应用于SBW 系统.文中的创新点有：①在分析SMRL设计原理的基础上，结合滑模面幂次项和饱和函数，设计了参数调节函数；②基于参数调节函数设计新型SMRL，并在离散化条件下对比分析其性能；③基于新型SMRL 设计了改进SMC 方法，并应用于带有扰动的SBW 系统，通过仿真和试验验证了改进SMC方法对SBW 系统的良好控制性能.

1 SBW 系统

1.1 SBW 系统工作原理

SBW 系统如图1(a)所示，智能无人车辆自动驾驶系统利用道路信息、车辆状态等信息规划车辆的行驶路径，并将方向盘转角指令 θref传递至SBW 系统控制单元，或者方向盘转角指令 θref由方向盘总成发出.SBW 系统的控制单元从转角转矩传感器采集实际的方向盘转角信号 θact，通过控制算法计算出电流指令iq−ref.执行电机接收电流指令iq−ref，实现转向功能.SBW 系统对方向盘转角指令的精确响应是获得良好路径跟踪效果的关键因素之一.

图1 SBW 系统Fig.1 The SBW system

1.2 SBW 系统数学模型

为设计SBW 系统控制算法，需要建立SBW 系统的数学模型.简化建模过程，不考虑次要因素，假设：①将车辆SBW 系统视为刚体；②忽略模型的高阶部分，采用降阶建模方法；③将转向系统各部分的惯性和阻尼等效至转向柱[15].根据上述假设和图1(b)，可以得到如下SBW 系统数学模型：

式中：J、B分别为SBW 系统的等效惯量和阻尼；Jc1、Jm分别为转向柱和执行电机的转动惯量；Mrp为齿轮齿条机构的质量；Bc1、Bm、Brp分别为转向柱、执行电机和齿轮齿条机构的阻尼系数；Grc为齿轮齿条机构到转向柱的广义传动比；Gmc为电机到转向柱的传动比；Tmu为模型不确定性；Tf为系统摩擦力矩；Fr为齿 条 力；Te为 执 行 电 机 电 磁 转 矩；θ¨act和 θ˙act分 别 为 方向盘角加速度和角速度.

SBW 系统的动力源是执行电机.永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)因具有效率高、输出转矩脉动小等优点经常作为执行电机.采用矢量控制方法，PMSM 电压平衡方程和电磁转矩方程如下[4]：

式 中：ud和uq分 别 为 d 轴 和 q 轴 的 定 子 电 压；id和iq分别为 d 轴 和 q 轴 的定子电流；Rs为定子绕组的电阻；ωe为转子的电角速度；pn为表面贴PMSM 的磁极对数；ψf为永磁体磁链；Ls为d 轴 和 q轴的电感，对于表面贴装式PMSM 来说，d 轴 和 q轴电感相等.

为进一步简化模型，将模型不确定性Tmu、系统摩擦力矩Tf和等效至方向盘的齿条力Grc·Fr视为广义扰动Td.同时，将式(6)代入式(3)，整理后，可将SBW系统数学模型改写为

2 改进SMC 方法设计

SMC 方法具有鲁棒性，在趋近运动阶段扰动不敏感.同时，在趋近运动阶段，选择合适的SMRL 可以改变SMC 的动态特性，使系统状态在远离滑模面时有较大的趋近速度，加速系统的动态响应.本节在对传统SMRL 的设计原理和趋近速度进行分析的基础上，构造了一种新型SMRL.该新型SMRL 通过滑模面方程的幂函数和饱和函数构造参数调整函数，可以实现趋近速度的动态调节.然后，通过理论分析证明了新型SMRL 在离散系统中的良好性能.最后，基于新型SMRL 设计了改进SMC 方法并应用于SBW系统，如图2 所示.

图2 基于新型SMRL 的SBW 系统改进SMC 方法Fig.2 Improved SMC method with new SMRL for SBW system

2.1 SMRL 分析

GAO 等方法[16]首次提出基于SMRL 的SMC，并设计了如下SMRL

式中：ε和k为SMRL 调整系数；s为滑模面函数.

在式(8)中，ds/dt=−k·s为指数趋近项，其解为

由式(9)可知，仅仅基于指数趋近项ds/dt=−k·s的SMC 方法，系统状态不能在有限时间内趋近滑模面.因此，需增加等速趋近项 −ε·sgn(s)，因此可以得到

即当s达到0 时，趋近速度为 −ε而不是0.

等速趋近项可以实现趋近阶段的可达性问题.ε为系统状态趋近滑动面时的趋近速率.ε的值越大，趋近速度越快，SMC 引起的抖振越多.

当s>0时，可以得到

设s(t)=0 ，积分区间为 [0,t].对式(11)进行积分，得到趋近时间如下

由式(12)可知，当k增大时，趋近时间明显缩短.同时，由于指数函数特性，对于指数趋近项，在到达滑模面之前，趋近速度从一个较大的值逐渐减小到零.这不仅缩短了趋近时间，而且使系统状态到达滑模面的速度非常小.随着k的增加，趋近速度的降低程度变慢.

通过以上分析，可以得到以下SMRL 的设计要点：①可达性.为了系统状态成功到达滑模面，在到达滑模面之前，趋近速度不能为0.②可控性.为防止趋近速度过快引起的系统抖振，可根据与滑模面之间的距离来控制达到速度.对于式(8) 中的传统SMRL，为了保证快速趋近和减少抖振，当系统处于趋近状态时，应增大k，减小 ε.

2.2 新型SMRL 设计

设计参数调整函数如下

其中，a1、a2、b1、b2、c1、c2为调整系数，sat(s)为 饱和函数，如式(15)所示

式中：∆为边界层.在式(13)和(14)中，c1、c2的选择与 ∆有关.

设 ∆=1 ，在参数值范围内，调整系数对f1(s)、f2(s) 曲线的影响如图3 所示.可以看出，当 |s|趋于0时，f1(s)和f2(s) 先保持不变，然后f1(s) 逐渐减小，f2(s)逐渐增大.

图3 调整系数对f1(s) 和 f2(s)曲线的影响Fig.3 The effects of parameters on the curves off1(s) andf2(s)

根据式(13)～(15)，构造新型SMRL 如下

由式(16)可以看出，在传统SMRL 的基础上，新型SMRL 通过增加参数调整函数f1(s)和f2(s)来调整ε和k的 值.参 数调节函数f1(s)和f2(s)采用滑 模 面函数的功率项，在趋近过程的不同阶段可以以不同的形式表示，从而调节趋近速度.同时，用饱和函数sat(s) 代替符号函数 sgn(s)来削弱由于滑模快速切换而产生的抖振.

设s>0 ，∆=1,c1=1,c2=1，分析新型SMRL 如下：如果系统状态远离滑模面，此时认为s>1 ，则|sat(s)|−c1=0 ，|sat(s)|−c2=0.达到速度由 −ε·a1和 −k·a2·s决定.这与式(8)所示传统SMRL 相似，且滑模可达性存在.随着s的减小，直到s=1，由于加入了饱和函数，新型SMRL 变化前后的表达式相同，避免了符号函数切换带来的抖动.当s继续减小，即s<1时，系统状态接近滑模面.此时，达到速度由 −ε·a1·s−b1·(s−1)·s和−k·a2·sb2·(s−1)·s决定.可以看出，由于滑模面幂项的存在，新型SMRL 有不同的表达式，从而可以进一步调节趋近速度.同时，在趋近过程中，由于参数调整函数f1(s)和f2(s) 的 值是变 化的，所以 ε和k是可 变的.当s<1 时，存在k·a2·sb2·(s−1)·s>k·a2·s和ε·a1·s−b1·(s−1)·s<ε·a1.在这种情况下，当系统状态趋近滑模面时，ε减小，k增大，提高了趋近速度，减小了系统的抖振.

2.3 离散化分析

在实际工程应用中，控制系统是离散系统.由于离散系统的固有特性，离散滑模系统的滑模存在性、可达性和稳定性都不同于连续系统，SMC 只能产生准滑动模态.因此，本节给出新型SMRL 的离散形式，并与传统SMRL 在离散状态下的性能进行了分析和比较.

根据离散SMC 的设计原理，离散系统的切换函数可以设计如下

其中，C=[c1,c2,···,cn],cn=1.0.

该滑模面切换带的带宽定义为

根据式(17)，选取s(k)=x(k)的离散系统.将式(16)离散化可得

假设系统能在有限步内到达滑模面s，当s(n)=0+时，可得

当s(n)=0−时，可得

所以，对于新型SMRL，其切换带的带宽为

同理，当切换曲面s趋近于零时，传统SMRL 的离散形式为

切换带的带宽 σ2为

传统SMRL 和新型SMRL 的切换带带宽如图4所示.由式(24)和图4(a)分析可知，传统SMRL 的切换带宽为固定值，使得系统状态在趋近过程中无法稳定到达平衡点，在 (−εT,εT)范围内抖动.如图4(b)所示，由于在新型SMRL 中加入了功率项，系统状态能够稳定趋近平衡点.

图4 SMRL 的切换带带宽Fig.4 The switching band of SMRL

2.4 SBW 系统改进SMC 设计

方向盘转角误差定义如下

式中，θref为方向盘转角的参考值.

方向盘转角误差的速度变化和加速度变化可由下式得到

设eθ为自变量，微分滑模面函数为

式(28)求导可以得到

将式(7)等式变化后代入式(29)，可得

将式(16)代入式(30)，可得改进SMC 输出信号，即q轴电流参考值如下

3 稳定性分析

为了证明所提出的改进SMC 方法的稳定性，根据Lyapunov 稳定性判据，设置函数如下

对上式(32)进行求导，可得

将式(30)代入式(33)，可得

将式(31)代入式(34)，可得

根据Lyapunov 稳定性判据，如果V˙ ≤0，则系统稳定.由式(35)及上述分析可知，当相关控制参数满足ε>0、k>0 、0

因此，根据Lyapunov 稳定性判据，系统具有稳定性.

4 仿真与试验验证

本节通过仿真和试验，验证了在SBW 系统中，基于新型SMRL 的改进SMC 比基于传统SMRL 的传统SMC 更好的性能.在仿真条件下，利用阶跃信号和斜坡信号，对比分析了传统SMC 和改进SMC在信号响应时间和响应误差方面的动态响应效果.然后以正弦信号为例，对比分析了传统SMC 和改进SMC 对方向盘转角跟随效果和抗扰能力.在硬件在环试验中，利用双移线工况，对比分析了传统SMC和改进SMC 在路径跟踪下的控制效果.

4.1 仿真验证

在MATLAB/Simulink 平台搭建SBW 系统仿真模型，其中，等效转动惯量J=0.15 kg·m2，等效阻尼系数B=0.9 N·s，电机到转向柱的传动比Gmc=25.5，齿轮齿条机构到转向柱的广义传动比Grc=0.005 m/rad，即转向柱每转动1rad，转向机齿条移动0.005 m，系统摩擦力矩Tf=2 N·m，不确定性Tmu和等效至方向盘的齿条力Grc·Fr设计为方向盘转角的正比例函数关系.PMSM的 磁极 对 数pn=4 ，永 磁 体 磁 链 ψf=0.135 Wb.表1 为仿真模型中所用的控制参数.

表1 仿真模型控制参数设计Tab.1 The design of control parameters for simulation model

采用阶跃信号和斜坡信号验证传统SMC 和改进SMC 对方向盘转角的响应时间和响应误差.阶跃信号下，在1s 时方向盘转角指令由0°变为100°，如图5(a)所示.斜坡信号下，方向盘角度指令在1 s 内以180°/s 的速度线性增加，如图5(c)所示.

图5 SBW 系统方向盘转角响应效果Fig.5 The response effect of steering wheel angle for SBW system

根据控制工程原理，可以从响应时间和响应误差两个方面评价SBW 系统的动态响应效果.由图5(a)可以看出，在阶跃信号下，传统SMC 和改进SMC 都发生了超调，但改进SMC 的超调量小于传统SMC的超调量，且没有先下降后略有上升的抖动，改进SMC 中新型SMRL 可以降低系统趋近稳态时的速度，减少不必要的抖振.由图5(b) 可以看出，改进SMC的稳态误差明显小于传统SMC.在斜坡信号下，改进SMC 在整个响应过程中的误差小于传统SMC，如图5(d)所示.由图5(c)可以看出，当系统到达稳定的目标角时，改进SMC 相对于传统SMC，没有表现出过度的响应.在新型SMRL 的作用下，可以抑制系统通过滑模面的速度，减少不必要的冲击.阶跃信号和斜坡信号下各指标统计数据如表2 所示.

表2 SBW 系统对转角的响应性能Tab.2 Response performance of SBW system to angle

采用正弦信号验证SBW 系统对方向盘转角的连续跟踪响应效果.正弦信号下，方向盘转角指令振幅为100°，频率为20 rad/s，即10/ πHz，如图6(a)所示.在仿真系统中，可以手动定义广义扰动Td.将广义扰动Td增大至正常扰动的2 倍，采用上述正弦信号进行抗扰验证，如图6(c)所示.

图6 SBW 系统对方向盘转角正弦信号的跟踪效果（对比传统SMC）Fig.6 The tracking effect of SBW system on steering wheel angle sine signal (compared with traditional SMC)

由图6 所示SBW 系统对正弦信号的跟踪结果可以看出，传统SMC 的方向盘转角平均误差为0.65°，大于改进SMC 的0.24°.新型SMRL 进一步提高了趋近速度，减少了抖振，提高了改进SMC 对方向盘转角的跟踪性能.在增大广义扰动的情况下，传统SMC的平均误差增大0.39°，增加60.0%.改进SMC 的平均误差增大0.13°，增加54.2%.改进SMC 在新型SMRL的作用下提升了抗扰能力.正弦信号下各指标统计数据如表2 所示.

为进一步验证文中所提出的新型趋近律的优越性，选择文献[12] 中所提出的改进滑模趋近律进行对比仿真试验.文献[12]中滑模趋近律如式(37)所示

其中，a>0，m>0，b>0 ，0q.

基于式(16) 和式(37) 分别构造改进SMC 方法，其中，式(37)中参数设置如下：a=0.2，m=3，b>1，k=0.5，p=3，q=1.利 用 正 弦 信号 验 证SBW 系 统 对 方向盘转角的连续跟踪响应效果.正弦信号下，方向盘转角指令振幅为100°，频率为20 rad/s，即10/ πHz，如图7(a)所示.将广义扰动Td扩大2 倍，采用上述正弦信号进行抗扰验证，如图7(c)所示.

图7 SBW 系统对方向盘转角正弦信号的跟踪效果（对比其他改进SMC）Fig.7 The tracking effect of SBW system on steering wheel angle sine signal (compared with other improved SMC)

由图7 所示SBW 系统对正弦信号的跟踪结果可以看出，在文献[12]中新型滑模趋近律构造的改进SMC 的控制下，方向盘转角平均误差为0.33°，大于文中改进SMC 的0.24°.在增大广义扰动的情况下，基于文献[12]的改进SMC 的平均误差增大0.16°，文中改进SMC 的平均误差增大0.13°，平均误差及其增加量小于文献[12]，抗扰能力优于文献[12]中新型滑模趋近律构造的改进SMC.正弦信号下各指标统计数据如表2 所示.

此外，对比文献[12] 中的新型趋近律式(37)与文中新型趋近律式(16)，在需要调节参数个数相同的情况，式(16)中可先对参数调节函数进行设计，然后再对趋近律进行设计，大大简化了参数调节的过程，因此，式(16)中的新型滑模趋近律更具有一定的实用价值.

4.2 试验验证

试验采用车辆SBW 系统硬件在环试验平台进行，硬件在环试验平台系统参数如表3 所示.车辆SBW 系统采用齿轮齿条式转向机组件，系统相关参数与仿真模型中相同.使用12 V 电池为助力电机为SBW 系统提供动力.负载电机及其配套伺服控制器形成负载模拟系统对负载进行仿真.齿条力可以被力传感器测量，并通过PXI 工控机和模拟采集卡对齿条力数据进行采集和处理.硬件在环试验平台模拟智能无人车辆自动驾驶系统向SBW 系统发送方向盘转角指令，之后由控制系统计算电流指令，并使电机输出转矩.

表3 硬件在环试验平台系统参数Tab.3 System parameters of hardware-in-the-loop testbench

车辆SBW 系统是实现智能无人车辆路径跟踪的基础.为了验证文中提出的改进SMC 在路径跟踪的动态性能，采用双移线工况进行硬件在环测试.路径跟踪的方向盘转角指令由实时仿真平台发出，SBW 系统对其进行响应.车辆模型采用以后桥中心为原点的车辆运动学模型，路径跟踪算法采用纯跟踪算法.相关结果如图8 所示.

图8 基于双移线工况的路径跟踪测试Fig.8 Path tracking test based on double line cycle

路径跟踪试验统计结果如表4 所示.路径跟踪试验中，改进SMC 方向盘角指令的动态响应性能优于传统SMC，如图8(a) 所示.改进SMC 主动转向角的平均跟踪误差分别为1.18°，比传统SMC 的2.53°降低了53.36%.从图8(d)可以看出，与传统SMC 相比，改进SMC 的路径跟踪更加准确和稳定.双移线工况下，车辆路径跟踪的横向和纵向的运动轨迹如图8(c)所示，横向偏差如图8(d)所示的.根据图8(c)和图(d)，对于路径跟踪轨迹横向偏差改进SMC 小于传统SMC.在双移线工况下，改进SMC 的最大横向偏差为0.35 m，与传统SMC 相比减小了38.60%.改进SMC 的平均横向偏差为0.14 m，比传统SMC 低54.84%.

表4 双移线工况试验结果Tab.4 The result of double line cycle

5 结 论

文中提出了一种基于新型SMRL 的车辆SBW 系统改进SMC 方法.所提出的改进SMC 方法包含一种新型SMRL.该新型SMRL 结合参数调节函数和传统SMRL，通过滑模面方程的幂函数和饱和函数对趋近速度进行动态平滑调节，提高了系统响应速度，减少了系统抖振.通过理论分析、仿真和实验，对改进SMC 在SBW 系统上的控制效果进行了分析和验证.采用新型SMRL 可以较好地削弱系统的抖振，缩短趋近时间.改进SMC 改善了SBW 系统的动态性能，加快了转角的响应速度，减小了转角的响应误差.通过纯路径跟踪硬件在环试验，改进SMC 可以有效减小路径跟踪的横向误差，提高了路径跟踪精度，Y坐标最大误差减小39.60%，Y坐标平均误差减小54.84%.