EHRIG Michael，甘凯轩

（北京理工大学 数学与统计学院, 北京 102488）

本文研究的是LANINI 等[1]定义的组合Fock 空间在 so2N(C) 的情况.它与标量扩张下的 so2N(C)的有限维表示范畴的Grothendieck 群同构.本文将组合Fock 空间嵌入到由某些序列定义的空间中，这些序列来自经典的charge 0 Fock 空间.在这个空间上可以定义一个仿射量子对称对作用，仿射量子对称对的定义来自于KOLB[2].本文证明了这个作用与单位根处的量子群的邻接原理是相容的，并且用与研究A型Fock 空间上的量子对称对作用相似的方法描述了D 型Weyl 模的张量积分解.

1 预备知识

为了避免Dynkin 图太小的特殊情况，固定一个整数

1.1 李代数

令g=so2N(C) 是 C 上 的DN型 李 代 数.假 定N> 3，

根据文献[1]的1.1 节，D 型的组合Fock 空间F(DN)是一个 Q(v) 向量空间，它有一个基 λ|λ ∈X+.因为X+可以分解为X1,+∪X1/2,+，所以 F(DN)有分解

1.2 量子群

这一部分的定义来自于LUSZTIG[3].令

式中x,y为 Q(v)上不交换的变量，然后对1≤i,j≤N，令aij=(αj,αi)∈Z.

量子包络代数Uv(g) 是由 {Ei,Fi,|1 ≤i≤N}生成的 Q(v)上的结合代数，它的生成元满足如下生成关系(1≤i,j≤N)：

用Uv(g) - mod 表示有限维1 型Uv(g)模的范畴，然后 用[Uv(g) -mod]表 示Uv(g)-mod 的Grothendieck 群，其上的标量从 Z 扩张到 Q(v).

与LUSZTIG[4]类似，用UA(g) 表示Uv(g)的A 形式，用Uq=UA(g)⊗AC 表示v特殊化为q∈C的情形.将Uq简单地称为一个单位根处的量子群.令Uq-mod 是有权空间分解的有限维Uq模的范畴，见TANISAKI[5]的第七章，用[Uq-mod]表示它的Grothendieck 群，其上的标量扩张到 Q(v).

根据TANISAKI[5]的第七章，对λ∈X+，定义UA(g)模DA(λ)是Uv(g) 的不可约最高权模Dv(λ)的A 形式.将v特殊化为q给出了Weyl模的定义：Dq(λ)=DA(λ)⊗AC.由ANDERSEN 等[6]的命题1.22，这三个模有相同的特征标，即

下面是张量积分解的重要结果.

命题1设λ,µ∈X+.如果在Uv(g)-mod 有

证明考虑张量积DA(λ)⊗ADA(µ).由特征标的相等得到下面的等式

而Weyl 模的等价类构成了[Uq-mod]的一组基.因此，根据特征标相等，结论成立.证毕.

特别地，下面的张量积分解对于以后的内容很重要，见HONG 等[7]的命题8.6.3.

这样的话，sα,k是以下仿射超平面的反射

并且所有这样的反射生成了仿射Weyl 群Waff.

对于两个权 λ,µ∈X+，如果存在w∈Waff使得

λ=w·µ，那么称它们是相连接的.需要注意的是，这里不是仿射外尔群的“点”作用，因为有ρ-平移.由文献[8]的定理4.3，如果Dq(λ)和Dq(µ)在同一个块，那么λ和μ是相连接的.

下面由LANINI 等[1]给出的同构将 F(DN)和[Uqmod]联系起来.

命题3F(DN) 和[Uq-mod]之间有一个 Q(v)向量空间同构，通过把基向量 λ 映射到 [Dq(λ)].

2 Fock 空间和量子对称对

由于 Z 通过加法作用于 H，考虑剩余类集合H/ℓZ.对 于p∈H （或p∈Z ），用p¯ 表 示 它 在 H/ℓZ（或Z/ℓZ ）中的轨道.考虑下面序列的集合

令 F1是基为 SZ的 Q(v) 向量空间，F1/2是基为SH的 Q(v) 向量空间.将 F1和 F1/2简称为Fock 空间.对于F1或 F1/2中的一个元素只有有限多个i≥ 0 使得≠0，只有有限多个i< 0使得=0.因此定义a的charge 为

由charge 为N的序列张成的子空间用和表示，它们被叫做chargeN的Fock 空间.

命 题4映 射 λbλ定 义 了 从 F1/2(DN) 到F1/2,+⊕F1/2,−和从 F1(DN) 到 F1,+⊕F1,−的嵌入.

2.1 基本算子和计数符号

下面的线性算子将在局部改变序列，这是整个构造的基础部分.

定义c为c(i+1/2)−c(i−1/2)=1 并且c(j)=a(j)，j≠i±1/2.然后定义

除了这些算子，为了便于书写，定义以下计数符号.

为了简化书写，令

对于a∈SZ，p¯ ∈H/ℓZ （或者a∈SH，p¯ ∈Z/ℓZ），定义

以及

读者可以尝试将ARIKI[9]定义的“杨表”上的作用改写为序列上的作用.这是一个简单的练习，只需要注意有唯一一个序列aϕ可以由aϕ(i)>aϕ(j)推出i

2.2 仿射量子对称对

定义4Z/ℓZ （或 H/ℓZ ）中的一个元素被称为

下面的定义来自于KOLB[2].

备注1需要注意的是，Bv(I,Θ)是一个比量子仿射代数复杂得多的对象.有关它的表示论和组合理论远不如量子仿射代数那么好理解.

2.3 仿射量子群

为了确定移动算子与邻接原理之间的关系，需要介绍一些关于Waff的细节.固定H ={Hβ,m|β ∈Φ+,m∈Z}是所有仿射反射超平面的集合，对于H∈H用sH表示它对应的仿射反射.令表示 H中的所有仿射超平面的补集，的一个连通分支被称为一个开壁室，一个开壁室在中的闭包称作一个壁室.

这样Waff可以作用于壁室.开壁室中的点有平凡的稳定子，而开壁室边界上的点有非平凡的稳定子.每个仿射超平面H∈H定义了两个闭的半空间.对于一个固定的壁室A，用表示包含A的半空间.对于两个壁室A和A′，如果，称超平面H∈H在A和A′之间.这样可以定义两个壁室A和A′之间的距离为

下面是关于仿射Coxeter 群的一个标准结论.

引理1设H∈H 是壁室A和A′之间的一个超平面，那么有d(A,A′) >d(sHA,A′)和d(A,A′) >d(A,sHA′).

对于一个壁室A，与A相交维数最大的仿射超平面的集合 HA被称为A的墙的集合.那么SA={sH|H∈HA}作为一个Coxeter 群，它是Waff的一个生成集.可以发现，对于壁室A和H∈HA，超平面H是A和sHA之间唯一一个超平面.这就引出了下面（最小）通道的概念.

定义6如果存在某个H∈HA使得A′ =sHA，那么这两个壁室A和A′被称为是相邻的.定义一个从A0到Ar的（壁室）通道是一个壁室序列Γ= (A0,A1,A2,···,Ar)，其中Ai和Ai+1是相邻的.如果一个通道Γ= (A0,A1,A2,···,Ar)使得r=d(A0,Ar)，那么它被叫做是一个最小通道.注意到如果Γ是一个最小通道，那么墙的集合{Hi|Hi在Ai-1和Ai之间}就是A0和Ar之间 的超平面的集合.这些超平面被通道Γ穿过.

由于权可以包含在一个超平面中，因此需要更严格的两个壁室之间的超平面的概念.

定义7对于 λ ∈，用Aλ表示包含λ的一个壁室.对于 λ,µ∈以及包含它们的壁室Aλ和Aμ，如果一个超平面H∈H在Aλ和Aμ之间且H∩{λ,μ} = ∅，那么称它严格的在Aλ和Aμ之间.

在定义7 中，当且仅当λ在Aλ的内部时，包含λ的壁室Aλ是唯一的.下面的引理经常被用来选择一个“好的”通道，它是引理1 的一个推论.

引理2令 λ,µ∈使得λ∈Waffμ.那么可以选择包含它们的壁室Aλ和Aμ，使得从Aλ到Aμ的最小通道只穿过严格的在Aλ和Aμ之间的超平面.

3 移动算子和邻接原理

本节研究了移动算子和邻接原理之间的关系.对于本节中接下来的所有内容，固定λ∈X+.

用同样的方法可以证明结论对f-算子也成立.证毕.

与ARIKI[9]中定义的作用不同的是，移动算子可以混合作用.下面引理的证明完全类似于引理3，应用引理2 选择长度为1 的最小通道即可.

接下来考虑r+1 =s的特殊情况，此时对λ ∈X1/2,+与 λ ∈X1,+的结论有所不同.

其他部分与引理5 的证明完全相同.证毕.

对于λ ∈X1/2,+的情况，还需要考虑翻转算子.

同样地，对fr版本的证明方法相同.证毕.

4 仿射量子对称对作用

回想一下第2 节定义的移动算子和计数符号，定义如下的线性算子.

引理8令∈H/ℓZ （或者∈Z/ℓZ），那么下面的等式在 F1（或者 F1/2）中成立：

下面说明定义8 中的线性算子满足仿射量子对称对的生成关系.

证明这个结论来自KOLB[2].通过引理8 写出这些算子的表达式，然后考虑KOLB[2]中一个标准量子对称Kac-Moody 对的生成元即可.证毕.

5 结 论

本节将讨论Bv(Z/ℓZ,Θ) （或者Bv(H/ℓZ,Θ)）作用与邻接原理的相容性，以及[Uq-mod]中的张量积分解.

命题6令λ∈X½,+，考虑[Uq-mod] 中的张量积分解

其中νi∈X½,+.如果νi和νj是相连接的，那么存在唯一的p¯ ∈ Z/ℓZ 使 得bνi和bνj在 ︿B中具有非0 系数，其中

证明这个结论有两部分.首先，如果[Dq(µ)]在分解式中出现，那么由命题2 可知，存在一个k使得μ=λ+σεk，其中σ∈{±}.除了两种特殊情况，这说明

两个特殊情况是k=N，λN= ±1/2 且λN= −μN，此时有bμ=τbλ.因此，在张量积分解中出现的每个μ都可视作上述算子的和，其中一定有一个算子的系数不为0.根据引理3～5 和7，通过构造，相连接的权可以以相同的算子为加法项构成.

证明利用命题6，对于分解式中出现的每一个[∆q(µ)]，bμ作为bλ在移动算子或翻转算子下的像只出现一次，它的系数是v的某个幂次.因此，令v= 1，这就给出了[Uq-mod]中的一个分解.F1/2(DN)在除了f0之外的移动算子和翻转算子下的像都是稳定的.令f0作用于bλ，如果aλ(1/2)=1，结果为0，或者对于a(−1/2)=0 结 果 会 出 现 (a,0) 或 (0,a) ，因 此f0bλ∈C1/2.证毕.

命题7令λ ∈X1,+，考虑[Uq-mod]中的张量积分解

式中νi∈X1,+.如果νi和νj是相连接的，那么存在唯一的∈H/ℓZ使得

①如果λN> 0，则和在中具有非0系数；

②如果λN< 0，则和在中具有非0系数；

③如果λN= 0，则和在中具有非0系数；

定理3令λ ∈X1,+.对于 µ∈X1,+，存在满足条件

的Laurent 多项式dλ,μ，使得