陈国祥

［摘  要］ 数学理性思维的发展是提升数学学习能力的基础，理性思维水平体现为数学思维的灵活性、目标性、发散性和创新性等数学品质. 初中数学教学要以培养学生的理性思维、提升学生的思维品质为目标. 文章提出，通过一题多解的习题训练，比较不同的解题思路，优化解题方法，能提升学生的思维能力.

［关键词］ 一题多解；解题方法；理性思维；思维品质

数学学习的基础是思维能力的培养. 学生通过学习数学概念、定理、公式等知识，来提升思维能力，培养思维品质.一题多解的试题训练，不仅能锻炼学生思维的灵活性，还能优化学生的思维品质.

本文选取了通过典型试题引导学生尝试多种解法的教学实践，与各位同行分享，供大家分析和研究.

呈现典型试题

如图1所示，⊙O为△ABC的外接圆，∠CAB=30°，∠CBA=45°，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 若⊙O的半径为2，求CD的长.

本题融合了圆与特殊直角三角形的相关知识，虽然比较简单，但蕴含的知识丰富，解题方法多样，是一道非常典型的一题多解试题，具有研究和探讨的价值. 教学时教师可以引导学生开展问题探究，通过不同解法的比较，探讨和优化解题方法，使学生体会数学的简洁思维，提升思維能力，培养思维品质，落实核心素养.

探讨多种解法

解法1  如图2所示，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，则可得∠E=∠B=45°. 因为CE是⊙O的直径，所以∠CAE=90°. 又⊙O的半径为2，所以AC=2. 因为∠CAB=30°，CD⊥AB，所以CD=AC=.

解法说明  解法1通过作辅助线，得到⊙O的一条直径（即CE），并构造了等腰直角三角形（即△CAE），于是运用等腰直角三角形的性质和圆的知识获得了试题的答案.

解法2  如图3所示，连接CO并延长，与⊙O相交于点E，连接BE，则∠E=∠A=30°. 因为CE为⊙O的直径，所以∠CBE=90°. 所以BC=CE=2. 因为CD⊥AB，∠CBD=45°，所以CD=BC=.

解法说明  解法2的解题思路与解法1相同，都是通过构造直角三角形来解题. 解法2通过作辅助线，构造了含30°角的直角三角形，从而求得BC的长，接着在等腰直角三角形CDB中求得CD的长.

解法3  如图4所示，连接OA，OC，则∠AOC=2∠B=90°. 又因为OA=OC=2，所以AC=2. 因为CD⊥AB，∠CAD=30°，所以CD=AC=.

解法说明  解法3通过连接OA，OC，构造了等腰三角形AOC，并利用相同的弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得到△AOC为等腰直角三角形，最后结合题干条件求解. 解法3同样是添加辅助线，但与解法1和解法2相比，涉及的知识点更少，因此解题步骤更简捷.

解法4  如图5所示，连接OC，OB，则∠COB=2∠A=60°. 又OC=OB，所以△OCB为等边三角形. 所以OC=BC=2. 因为CD⊥AB，∠CBD=45°，所以CD=BC=.

解法说明  解法4与解法3的思路和方法相同，但解法4利用学生最为熟悉的等边三角形知识，且直接应用了原题中的等腰直角三角形，因此解法4比解法3更加简捷.

合作探究

引导学生探究出多种解题方法并不是教学的终点，教师还要在课堂教学中引导学生将试题的不同解法进行比较与研究，指导学生在寻求最优解法的实践体验过程中实现思维的进阶，从一题多解过渡到一题优解，培养学生的创新思维.

师：请大家以小组为单位，结合表1比较这四种解法的区别和联系.

第一小组：解法1和解法2具有相同的解题思路，都是通过添加辅助线构造直径，从而形成特殊的直角三角形后求解.

第二小组：解法3和解法4的解题思路是相同的，都是连半径，形成特殊的三角形后求解.

第三小组：解法4在构造三角形时选择了等边三角形，于是可以直接利用题干中已知的圆的半径得到BC的长度为2，进而通过原题中的等腰直角三角形BDC获得答案.

师：大家分析得非常好，经过比较，我们发现解法4的解题过程最为简捷，属于最优解法.

教学启示

学习数学要对数学的本质进行探索和理解. 学会解决数学问题并不等同于解数学题，数学教学要引导学生探索数学的本源问题，培养学生的创新能力，使学生能够从知识的源头深入理解数学知识的本质，不仅知其然，更知其所以然.

1. 开展解题反思，比较不同解法

解题练习不仅要关注如何获得解题思路和答案，还要在解题后进行反思，回顾解题的过程，思考解题过程中那些烦冗复杂的部分能否变得更加简单，并尝试将较为复杂的部分变得更为简捷，试着通过直接的观察就知道整个解题过程. 在学生独立思考求解和开展多种解题方法交流的基础上，教师要引导学生回顾获取解题思路的过程，梳理解题过程中添加的辅助线，并且总结在解题过程中运用的数学基础知识和解题活动经验，从而有效地比较不同解题方法之间的本质区别. 这一过程旨在培养学生的深度思维，提升学生的思维能力.

2. 加强思维锻炼，引导探究学习

教师要引导学生开展自主探究活动，按照学生的认知水平将学生分成若干研究小组，指导学生从不同的角度围绕学习任务展开探究，并进行研究成果的交流和展示. 教师还要在学生合作探究的过程中进行指导，使学生能够有条理地对数学问题展开研究和分析，学会从不同的视角理解试题，掌握如何进行不同解法的比较，明晰不同解法之间的优劣，从而为学生开展进一步的数学学习奠定基础. 研究任务的创建为学生创设了自主学习和交流学习的平台，营造了轻松愉悦的学习环境，使学生在合作探究中培养了思维品质，提升了合作能力.

3. 开展深度学习，转变教学方式

随着课程改革的进行，数学试题不仅关注知识的考查，还关注问题的创新，它们以学生的思维品质为考查目标，突出考查学生思维的灵活性、深刻性和批判性. 因此，教师要主动改革与创新教学方式，摆脱单纯的题海战术、机械练习的教学方式，通过一题多解，引导学生开展合作学习，探讨最优解法，学会比较不同的解题方法，锻炼学生的思维，激发学生的学习积极性，使学生进行深度思考和深度学习. 本例中，教师引导学生合作探究，使他们在交流中迸发出思维的火花，出现不同的解法，并让他们在相互探讨中得到启发，发现不同解题思路之间的相同之处，从而抓住数学本质，让数学学习真正发生，使思维真正参与其中.