杨敏

［摘  要］ 数形结合是数学学科最重要的特征之一，也是数学学科最重要的思想体现. 在初中数学教学中，教师要想方设法地激活学生的数形结合意识，让学生在数形结合的过程中将形象思维与抽象思维的作用发挥到最大，这样不仅可以为学生的数学知识学习与运用提供内在动力，还可以为数学学科核心素养的发展提供驱动力.

［关键词］ 初中数学；数形结合；意识

数形结合是数学学科最重要的特征之一，也是数学学科最重要的思想体现. 对初中生来说，在数学学习的过程中理解数形结合的内涵，在数形结合的帮助之下进一步促进数学知识的建构，可以说是数学学习最重要的目标之一. 在传统的教学中，教师常常将数形结合当作教学内容来施教，这在一定程度上窄化了数形结合的内涵，也忽视了学生的认知基础. 实际上，对学生而言，数形结合更多的是一种本能. 在学生成长的过程中，他们的思维方式从形象思维走向抽象思维，形象思维是学生与生俱来的思维方式，很多知识在学生的头脑当中都是以图形的形式存在的，学生思维加工图形的顺利程度远超其他抽象符号. 当人们强调数学是研究数与形的学科时，应当认识到数对应着抽象思维，而形对应着形象思维（当然数学知识体系当中也存在着抽象的形，但对于相应阶段的学生而言，这些形所反映出来的数学知识及其关系依然比数所反映出来的关系形象得多），所以数形结合从思维的角度来看，就是抽象思维与形象思维的结合. 如果说学生在生活当中遇到抽象事物的时候总会尝试借助形去理解，那么在初中数学教学中进行数形结合教学时，教师就应当想方设法地激活学生已有的数形结合意识. 可以肯定的是，只要学生的数形结合意识被激活，数形结合教学就会顺利得多，学生自身产生的学习内驱力也可以让数形结合思维过程更加高效.

确定这样的教学思路，是站在学生角度做出的教学判断. 相对于将数形结合当作教学内容而言，通过激活学生数形结合意识的方式来实施教学，是站在学生的角度激活学生的内在动力，是让学生在生活当中形成的认知习惯有效地迁移到数学学习过程中，从而为数学学习提供驱动力. 下面结合苏科版初中数学教材的使用，谈谈笔者关于这一话题的思考与实践.

学生天然具有数形结合意识

上面已经提到，学生在认识这个世界的时候，原本就具有从形象思维走向抽象思维、形象思维与抽象思维相结合的特点，这就意味着从数学教学的角度看初中生的学习，可以得出一个基本结论，那就是学生天然具有数形结合意识.

这一点很容易被数学教师所忽视. 可能部分同行会提出不同的观点，因为从学术意义角度来看，数学教师对数学结合的认识通常是这样的：数形结合是数学教学中常见的教学方法，它能通过图形和内容等多种方式展现解题思路，从而引导学生更好地掌握复杂的数学知识. 这一认识本身没有问题，但这一认识是纯粹从概念的角度进行阐述的，如果将视野放得更广一点，将教学研究的出发点迁移到学生身上，就可以发现，数形结合不仅仅是一种数学思想方法，也不仅仅作为教学方法而存在，它原本就是人认识世界的一种方法.

上面已经初步提及人认识世界的基本方式就是形象思维和抽象思维. 进一步讲，如果儿童更擅长形象思维方式，那成人在遇到复杂问题的时候，其实也倾向于运用形象思维来理解并解决. 本文重点阐述初中数学教学，那不妨站在初中生的角度来看数学学习. 此时会发现，数学学习过程大致为：首先，从已有的数学知识基础及生活事物当中提取出符合初中数学学习的素材，然后在问题的驱动之下加工这些素材. 在这一过程中不难发现，数学抽象与逻辑推理会自然出现. 所谓数学抽象，就是将形象的事物转化为抽象的数学研究对象（其实就是数与形）. 而学生在面对形象事物的时候，运用的一定是形象思维；学生在面对数学学习时，一定会运用抽象思维，但只要在学生的“最近发展区”內，学生的形象思维与抽象思维就都有可能自然出现，这并不会超越学生的认知能力.

也就是说，学生其实天然具有数形结合意识. 天然具有的形象思维，加上认知世界过程中所形成的抽象思维，是植根于学生思维世界的两种思维方式，它们也是与数形结合相对应的思维方式.

既然数形结合意识是学生天然具有的，那么为什么数学教学还要特别强调要重视数形结合思想方法呢？根本原因在于，学生的形象思维与抽象思维很难自然出现，而其中一个更深层次的原因是传统的数学教学往往并不特别关注这两种思维方式的激活，因此到了初中，学生的这些思维方式往往处于被抑制的状态. 正因如此，初中数学学习才强调教师要激活学生天然具有的数形结合意识.

数形结合意识激活的有效途径

要激活学生的数形结合意识，并没有想象中简单. 因为并不是给学生提供数与形同时存在的学习对象，学生的形象思维与抽象思维就能自然被激活. 事实上，学生数形结合意识的激活具有挑战性，只有梳理其中存在的问题，才能找到数形结合被激活的有效途径. 下面结合具体教学实例进行说明.

苏科版数学八年级上册编排了“勾股定理”这一内容，这是初中数学知识体系中的重要知识点，也是教学难点之一. 站在学生的角度看这一知识的学习，首要的挑战就是勾股定理的证明. 当然，有教师认为只要借助面积关系来证明，学生还是能听懂的，这一判断笔者并不否认，但问题是，如果从数学探究的角度来实施本内容的教学，如何才能让学生想到运用面积关系来证明勾股定理呢？这才是本节课教学的难点之一. 而数形结合可以帮助学生突破这一难点.

实际上，勾股定理本身就是数形结合的重要产物. 当著名数学家毕达哥拉斯观看朋友家的地砖形状和图案时，他大脑里所加工的对象是“形”，但最终得出的结论是勾股定理，这是以等量关系来表征的，是典型的“数”的形式. 对毕达哥拉斯来说，看到让自己感兴趣的图案，并最终用数量关系来描述，这是一个自然而然的数形结合的产物. 所以，要让学生探究出勾股定理，教师就要走数形结合的探究道路，而其前提就是激活学生的数形结合意识.

如果教师不加以干预，会发现学生在探究的时候，数形结合意识很难被自主激活. 比如教学中经常出现下面这种现象：当教师将教材中所设计的内容创设成相应的情境提供给学生时，学生的反应并不符合教师的期待.

教材是这样设计的：

1955年，希腊发行了一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.

观察邮票上的图案（如图1所示），数一数图案中三个正方形内小方格的个数，你有哪些发现？

细心的教师可能会发现，这样一段简简单单的文字是通过两段内容来说明的. 就笔者的判断，第一段阐述一个事实，第二段则将学生的注意力引向数学. 教材编写者设计第二段内容时，巧妙地给定了探究方向——数三个正方形中小方格的个数. 这实际上是将学生的思维从“形”引向“数”. 最后还问了一个问题：你有哪些发现？

笔者教学过这一内容多次，发现如果教师不给予任何提示，学生的发现多种多样. 其中不乏有学生意识到两个小正方形方格的个数加起来等于大正方形方格的个数，但除此之外其他与课题无关的“发现”还有很多. 而且，即使学生发现了小正方形方格个数之间的等量关系，依然无法将自己的思维引向勾股定理的表达形式. 这就说明，学生的数形结合意识不会自动成为学习的助力. 那遇到这种情况教师应当怎么办呢？教师应注意引导与激活.

笔者在课堂上是这样做的：

首先，引导学生关注邮票上的三个正方形，让学生思考这三个正方形首尾相接的三条边所构成的三角形最接近哪种三角形. 此时学生可以基于几何直观（对应着形象思维）猜想这个三角形是直角三角形. 接着，笔者让学生探究猜想中的直角三角形三条边的长度关系. 学生很容易通过数数的方法得到三条边的长分别是3，4，5——这一步是数形结合的起始环节，意味着学生对图形的关注已经将思维的触角伸到数上了. 当然，此时学生并没有数形结合意识，教师可以适当引导，告诉学生我们不仅要关注图形的形状，还要从数量关系角度去研究图形的规律.

接下来，笔者引导学生的思维进一步深入. 此时摆在学生面前的问题实际上有两个：一是这个三角形确实是直角三角形，二是研究直角三角形三条边之间的数量关系. 这两个问题的解决依然要依靠数形结合思想. 要想在此处激活学生的数形结合意识，可以通过让学生做的方法，也就是通过数学实验来完成. 当然，这里并不是真正地让学生去做实验，而是让学生画图，因为学生动手的过程并不是加工实际物体的过程，而是画图的过程. 那让学生画什么呢？让学生在方格纸上画长度分别为3和4，且相互垂直的两条边——把它们作为直角三角形的两条直角边，再连斜边. 此时学生思维加工的对象就是这个图形，且已经确认直角三角形两条直角边的长，而下一步就是确认斜边的长了. 确认斜边的长时，学生受邮票上图案的启发，会自发地画出分别以两条直角边为边长的正方形——这是数形结合的另一个突破口，而且这个时候学生不需要教师的启发，能够自发地画出来，这说明学生的数形结合意识此时已被激活. 这一观点通过学生后续的学习也能证实. 接下来，學生会将以斜边为边长的正方形画出来，然后数这个大正方形中小方格的个数. 当学生通过拼凑的方法得出大正方形中小方格的个数之后，再与两个小正方形中小方格的个数进行对比，勾股定理也就呼之欲出了……

数形结合是核心素养培育的    基础

从上面的教学案例可以发现，当学生的数形结合意识被激活之后，他们的数学探究过程会变得很顺利，这就意味着数学知识的建构过程会变得更加高效.

数学教师已经认识到数学是一门研究空间形式与数量关系的科学，能够培养学生良好的逻辑思维能力［1］. 那么，数形结合作为数学学科最基本的特征之一，又能在核心素养背景下初中数学教学中发挥怎样的作用呢？对于这个问题，笔者的回答是：数形结合是核心素养培育的基础. 上述内容强调了一个观点——形象思维与抽象思维是人们在生活当中就可以形成的思维方式，这两种思维方式可以在数学课堂上得到强化与提升，最终又反哺于生活. 数形结合对应着这两种思维方式，因此数形结合既是学生学习数学知识的基础，又是数学学科核心素养培育的基础.

在初中数学教学中，教师要想方设法地激活学生的数形结合意识，让学生在数形结合的过程中将形象思维与抽象思维的作用发挥到最大，这样不仅可以为学生的数学知识学习与运用提供内在动力，还可以为数学学科核心素养的发展提供驱动力. 学生在数形结合的基础上能够真正做到拥有数学的眼光、数学的思维，就能灵活运用数学的语言，去观察现实世界、思考现实世界，并表达现实世界.

参考文献：

［1］高爱红. 数形结合思想在初中数学教学中的应用研究［J］. 数学教学通讯，2016（02）：37-38+62.