王蓉晖

［摘 要］文章结合学生“懂而不会”的现象，分析学生思维障碍的成因，并提出应对“懂而不会”现象的策略。

［关键词］懂而不会；思维障碍；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0022-03

在数学教学中，学生“懂而不会”的现象普遍存在，表现为学生在学习新知识时，听懂了教师所讲的内容，但在做习题时举步维艰。究其原因，一是教师要求的“懂知识”与学生理解的“懂知识”不是一回事，学生对知识点仅停留在表层理解，没有把握问题的本质，没有思考为什么要这样做，为什么可以这样做而不能那样做；二是学生从听懂到学会，要经历三个阶段，即套用公式、变式应用和灵活运用，而学生的“懂”只是处于套用公式阶段，属于低层次的思维模式。正是由于学生“懂”的低思维层次与解决问题的高思维层次之间存在巨大的差距，才产生了学生“懂而不会”的现象。只有深入分析学生思维障碍的成因，找到突破思维障碍的路径，才能从根本上消除“懂而不会”的现象。

一、学生思维障碍形成的原因

（一）教师的一些教学行为不恰当

1.忽视个性差异

每个学生的成长经历不同，思维方式也不同，如果教师只按自己的思维方式讲课，没有考虑学生的思维差异，没有察觉学生的思维困境，就会导致一部分学生无法理解教师所讲的内容，他们在独立处理问题时，就会出现思维障碍。

2.忽视学生参与

在课堂教学中，学生需要动手操作、交流表达、思维参与等，而其中最重要的就是思维参与。如果教师在讲课时，为了给学生多讲几道题，而不让学生参与教学活动，那么学生将不会提出问题，也不会分析、解决问题。

3.忽视教材拓展

教材是重要的载体，但不是唯一的载体。一些教师认为教材绝对完美，不可挑战，把教材中的每一课都照本宣科地讲下来，这样学生当然是兴趣索然，思维水平也难以提高。

（二）学生的一些思维方式不正确

1.思维定式

一些学生对自己的解题思路深信不疑，不能根据情况的变化做出灵活的调整，这种思维定式会产生消极作用，阻碍学生创新思维的发展。当学生抱着固有的模式学习与思考时，就缺失了类比、联想与迁移等思维，进而导致思维障碍。

2.思维离散

一些学生的学习思维不连贯，呈现间断、分散的状态，他们想到了这，就忘了那，不能把知识点串成串、形成面，进而不能构建知识体系。这种离散式思维会产生消极影响，也是导致学生产生思维障碍的原因之一。

3.思维惰性

“天才出于勤奋”，学生在面对问题时，必须静下心来思考，如果学生产生了惰情思维，也会导致思维障碍的产生。

二、学生思维障碍形成的原理

布鲁纳的认知发展理论指出，学习知识的过程需要学生利用个体内部的认知结构，对“由外到内”的输入信息进行整理加工，进而将其转化为一种易于接受的形式加以储存。即学生要吸纳新知识，必须从原有的知识结构中提取相关旧知与新知进行对接。当新知与旧知发生相互作用与联系时，学生原有的知识结构才能进行更新与完善，从而获得新知，但这个过程并非是一次就能成功的。如果教师的教学方式不恰当，学生的思维习惯不好，就会造成学生原有的知识结构与新知识不相符，使新知与旧知之间没有连接点，这样新知就会被排斥在原有认知外，或被校正后同化，进而导致学生出现认知上的不足或理解上的偏差，这时就会出现“懂而不会”的现象。

三、突破学生思维障碍，应对“懂而不会”现象的策略

（一）立足认知特点，激发学习兴趣

兴趣是最好的老师。在数学教学中，教师应把握学生的认知基础和认知规律，在尊重学生个体差异的基础上，激发学生学习数学的兴趣，激活学生的数学思维。

［案例1］“平行线的性质与判定”教学节选

不少七年级学生对平行线的性质与判定感到困惑，为此，笔者设计了如下问题，以帮助他们更好地掌握平行线的性质与判定。

问题1：平行线有哪些性质？平行线有哪些判定方法？

学生：平行线的性质有“两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”。

学生：平行线的判定方法有“同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补），两直线平行”“平行于同一直線的两条直线互相平行”“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”。

问题2：平行线的性质与平行线的判定有何区别与联系？

学生：平行线的性质是由平行线推得角之间的关系，而平行线的判定是由角之间的关系推得平行线，它们都是探究平行线与角之间的关系。

问题3：你能否根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由？

已知：如图1所示，[∠1=∠2]，[∠B+∠CDE=180°]。

求证：[AB∥CD]。

证明：∵[∠1=∠BFD]（对顶角相等），又∵[∠1=∠2]，∴[∠BFD=∠2]（等量代换），∴[BC∥DE]（）。∴[∠C+∠CDE=180°]（）。又∵[∠B+∠CDB=180°]，∴[∠B=∠C]，∴[AB∥CD]（）。

学生：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行。

问题4：如图2所示，[AD∥BC]，[E]、[F]分别在[DC]、[AB]的延长线上，[∠DCB=∠DAB]，[AE⊥EF]，[∠F=2∠EAF]。（1）试说明[DC∥AB]；（2）求[∠DEA]的度数。

学生：（1）∵[AD∥BC]，∴[∠DCB+∠D=180°]（两直线平行，同旁内角互补），又∵[∠DCB=∠DAB]，∴[∠DAB+∠D=180°]，∴[DC∥AB]（同旁内角互补，两直线平行）；

（2）∵[AE⊥EF]，∴[∠AEF=90°]，∴[∠F+∠EAF=90°]，∵[∠F=2∠EAF]，∴[∠EAF=30°]，∵[DC∥AB]，∴[∠DEA=∠EAF=30°]（两直线平行，内错角相等）。

问题1是让学生了解最基本的知识点，问题2是让学生厘清知识的易混点，问题3是让学生学会在教师的引导下应用平行线的性质与判定方法，问题4是让学生独立解决问题。四个问题层层递进，有序推进教学，使得学生的兴趣被激发、思维被激活，避免学生产生思维障碍。

（二）深度剖析概念，建构概念体系

对于同一数学概念，从各个不同的侧面去描述，有利于学生多视角认识数学概念，进而实现对数学对象本质特征的深度认识。教学中，教师可引导学生多视角理解数学概念，对数学概念全面透视，进而使学生形成完整的概念体系。

［案例2］“角平分线”教学节选

层次1：抓住定义，理解其中含义关键词，如“从一个角的顶点”“射线”“相等的角”。学生明白，一个角的平分线是一条射线，而不是线段或直线，这条射线的端点就是角的顶点，该射线把原来的角分成两个相等的角，从而深刻理解角平分线的内涵。

层次2：如何用图形与符号表示角平分线的概念呢？如图3所示，射线[OC]平分[∠AOB]，所以[∠AOC=∠BOC]，或者[∠AOC=∠BOC=12∠AOB]，或者[∠AOB=2∠AOC=2∠BOC]。这样学生对角平分线就有了直观的印象，还学会了简单的推理。

层次3：由角平分线的定义尝试定义角的三等分线、角的四等分线、角的[n]等分线。角的三等分线就是从一个角的顶点引出两条射线，把这个角分成三个相等的角；角的四等分线就是从一个角的顶点引出三条射线，把这个角分成四个相等的角；角的[n]等分线就是从一个角的顶点引出[（n-1）]条射线，把这个角分成[n]个相等的角。这是对角平分线概念的延伸与扩展。

层次4：把角平分线与轴对称、角平分线的性质有机结合，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，构成两个全等直角三角形。等腰三角形的角平分线垂直平分底边；两直线平行，一组同位角的平分线互相平行；两直线平行，一组内错角的平分线互相平行；两直线平行，一组同旁内角的平分线互相垂直。这里对与角平分线相关的知识点做了全面的总结与梳理。

学生对数学概念的理解层层深入，原有的认知结构不断得到重组与完善，突破了由于概念理解不深入而形成的思维障碍。

（三）重视生成过程，深刻理解本质

让学生亲历数学知识的生成、发展过程，有利于促进学生对数学知识的深度理解，使学生在知其所以然中实现对问题的快速解决。

［案例3］“一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用”教学节选

不解方程，写出下列方程的两根之和与两根之积。

（1）[3x2+2x-3=0]；（2）[x2+x=6x+7]；（3）[3x2-4x=0]；（4）[4y2-4y+1=0]。

学生：（1）設[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2+2x-3=0]的两根，根据根与系数的关系得[x1+x2=-23]，[x1·x2=-1]；（2）方程化为一般形式，即[x2-5x-7=0]，设[x1]、[x2]是一元二次方程[x2-5x-7=0]的两根，根据根与系数的关系得[x1+x2=5]，[x1·x2=-7]；（3）设[x1]、[x2]是一元二次方程[3x2-4x=0]的两根，根据根与系数的关系得[x1+x2=43]，[x1·x2=0]；（4）设[y1]、[y2]是一元二次方程[4y2-4y+1=0]的两根，根据根与系数的关系得[y1+y2=1]，[y1·y2=14]。

前3题是正确的，第4题是错误的，这是因为前3题都有实数根，而第4题没有实数根。一元二次方程的两根之和与两根之积成立的前提是这个方程有实数根。学生为什么会忽略这个前提条件呢？这是因为他们对于根与系数关系的来源没有深刻的理解。一元二次方程根与系数的来源：当[b2-4ac≥0]时，一元二次方程有两个实数根，分别是[x1=-b+b2-4ac2a]，[x2=-b-b2-4ac2a]，计算[x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-ba，][x1·x2=ca]，所以一元二次方程成立的前提条件是[b2-4ac≥0]，因此在计算一元二次方程两根之和与两根之积之前，应首先考查根的判别式是否大于或等于0。

教学中，教师应让学生亲历知识的生成、发展过程，使学生在过程性体验中知其所以然，从而有效地消除学生的思维障碍。

（四）暴露易错问题，消除思维定式

设置易错问题，在学生犯错后，展现学生的错误思维，剖析其成因并纠错，这是消除思维定式的良好做法。需要注意的是，由于思维定式的影响，学生不免会陷入误区，这就需要教师提醒学生，让学生在自悟中实现思维的正迁移。

［案例4］“分式方程及其解法”教学节选

请利用学习过的“分式方程及其解法”解决下列问题：

（1）已知关于[x]的方程[2mx-1x+2=]1的解为负数，求[m]的取值范围；

（2）若关于[x]的分式方程[3-2xx-3+2-nx3-x=-1]无解，求[n]的取值范围。

错解：（1）解关于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因为方程有解，且解为负数，所以[2m-1<0]，[m<12]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，因为方程无解，所以[2n-1=3]，即[n=53]。

剖析：分式方程的解是负数，说明分式方程有解，所以必须保证分式方程的根不是增根，即必须让分式方程的根不能等于-2，否则求出的分式方程的根是增根，分式方程无解。分式方程无解可能有两种情况，一是分式方程的根是增根，二是变形后的整式方程无解，而上述解答只考虑了一种情况，故错误。

正解：（1）解关于[x]的分式方程得[x=32m-1]，因为方程有解，且解为负数，所以[2m-1<0，32m-1≠-2，]

所以[m<12]且[m≠-14]。

（2）分式方程去分母得[3-2x+nx-2=3-x]，整理得[（n-1）x=2]，当[n-1=0]时，方程无解，此时[n=1]；当[n-1≠0]时，解得[x=2n-1]，要使方程无解，则有[2n-1=3]，即[n=53]。综上，[n=1]或[n=53]。

数学是思维的体操。培养学生的数学思维是数学课堂教学的重要目标，要实现这一重要目标，突破学生的思维障碍是必不可少的程序。作为数学一线教师，应从教与学两个方面研究数学学科，在完善学生的认知结构上下功夫，在培养学生的思维能力上下功夫，真正做到教学相长，破除学生思维障碍，消除学生“懂而不会”的现象。

［   参   考   文   献   ］

［1］  毛锡荣.数学教学中“懂而不会”现象的成因剖析与对策研究［J］.数学通报，2022，61（2）：31-34.

［2］  王童童.谈高中数学概念教学中“懂而不会”的应对策略［J］.数学之友，2020（6）：35，40.

［3］  李文东.利用变式教学破解高三数学复习中“懂而不会”现象［J］.福建中学数学，2020（10）：25-27.

（责任编辑 黄桂坚）