冯中芹 傅立明

［摘 要］“数学史与数学教育”（HPM）是一个重要的研究领域，基于HPM开展数学教学具有重要的意义。“斜率”发现至今有着漫长的历史，在HPM视角下教学“倾斜角与斜率”，渗透数学文化、数学情感与数学观，能起到很好的效果。

［关键词］HPM；倾斜角；斜率；同课异构

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0019-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（本文简称新课标）明确指出，高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。按照新课标的要求，传统的教学观念应该要改变，教师应以立德树人为教育教学目标，着眼数学学科核心素养培育，抓住数学本质，重视数学文化，真正实现学生发展。但是，要发挥数学文化的作用，教师自身必须要不断学习，提高自身的数学文化素养。“数学史与数学教育”（HPM）是一个重要的研究领域，基于HPM开展数学教学具有重要的意义。

“倾斜角与斜率”的教学从初中所学的“两点确定一条直线”出发，进一步阐述“倾斜角与斜率”的概念，引出两点所连成的直线斜率的计算公式。传统教学中，该课以直线斜率公式的应用为主要教学目标，忽视了概念产生的过程，部分学生不能很好地理解“倾斜角与斜率”的概念，只会记公式，对于为什么引入斜率无法理解，会认为斜率是“空降”的概念。而斜率概念本身具有很深厚的数学思想与数学文化，能够给教师的教学带来丰富的素材。教师能够利用斜率发展的历史来讲解数学思想方法，将斜率概念的历史发展过程展现给学生，让学生深入理解其背景和意义。这样数学概念教学不再“冰冷”枯燥，能提高学生的学习兴趣。

根据新课标要求，在确立该课教学目标时有几点要注意。首先是知识与技能目标，要求学生探究出直线在直角坐标系中的位置，其实倾斜角与斜率之间的关系是很好理解的。其次是過程与方法目标，要求学生了解斜率的历史发展过程，让学生完成本节课的自主学习过程。最后是情感态度与价值观目标，要求学生掌握相关数学思想。利用倾斜角与斜率来研究直线非常重要，要让学生明白它的重要性。数学概念的历史发展过程与学生对数学概念的理解过程具有相似性，教师应该让学生深刻体会到HPM的优势。

本文选取了教师Ａ和教师Ｂ就“倾斜角与斜率”这一主题进行的同课异构的教学展示。教师Ａ并未从HPM的视角进行教学设计，教师Ｂ则选择从HPM的视角进行教学设计。传统教学中，选择从HPM视角进行教学设计的教师非常少。传统教学以传授知识为主要目的，渐渐让学生感受到数学是枯燥无聊的。HPM视角下的知识传授有助于学生形成完整的知识体系，提高学生的学习兴趣。教无定法，不同的教学方法可以相互启发。本文对教师A和教师B的教学进行比较和分析，以归纳出HPM视角下高中数学课堂教学的若干特点，希望通过这种不同视角的交流，对高中数学教学有一定的启示。

一、教学流程的比较

表１给出了教师A和教师B的教学流程对照。

从表1可以看出，教师Ａ采用的教学法比较常规，通过实际数学问题引入本节课的教学内容，直接给出研究问题，引导学生探索倾斜角和斜率，接着进行习题讲练，最后进行课堂小结。教师Ｂ先通过倾斜角和斜率的形成过程呈现定义，让学生体会学习倾斜角和斜率的必要性，再让学生通过小组合作得出结论，接着进行习题演练，最后进行课堂小结，推导的过程也是倾斜角和斜率历史演变的过程。在新知应用环节，教师Ａ设计得比较好，共设计３个问题，分别涉及倾斜角和斜率的定义，倾斜角和斜率之间关系的应用，内容比较全面，由易到难，达到了知识与技能目标的基本要求。教师Ｂ在展示倾斜角和斜率历史探索过程上花费了比较长的时间，因而缺少新知应用环节。

二、新课引入环节的比较

在新课引入环节，教师Ａ借助向量工具，通过从特殊到一般的过程，引导学生层层递进地理解用点的纵、横坐标的差的商刻画直线倾斜角的方法，建立直线的斜率公式。教师Ｂ通过展现历史上对倾斜角和斜率的研究过程，引出定义。

教师A的教学片段：

师：点在平面直角坐标系中是怎样表示的？

生1：用坐标。

师：点是构成直线的基本元素，我们应该在直角坐标系中如何表示直线呢？

生2：由无数个点构成直线。

师：在平面直角坐标系中能确定的直线的要素是什么？

生3：两个点确定一条直线。

教师B的教学片段：

师：滑雪者在雪道上留下的痕迹是怎样的呢？

生1：直线。

师：很好，滑雪者滑行轨迹确实是一条直线。那么同学们回忆一下我们初中学过的什么函数图象也是直线？

生2：一次函数。

师：一次函数的表达形式，大家记得吗？

生3：记得，[y=kx+b]。

师：[k，b]是两个参数，大家知道这两个字母的意义吗？

生4：[b]是指直线在[y]轴上的截距。

师：很好，那字母[k]代表什么几何意义呢？

生5：斜率！（初中教师已补充斜率是[k]）

师：不错，[k]的确是斜率，我们还用[k]来表示山坡的坡度。（播放微视频）

在本环节，教师Ａ采用的是常规引入， 直接抛出问题，教师Ｂ则通过微视频让学生深入了解斜率的发展过程，通过生活中的实例引出教学内容。两者相比，教师Ａ的引入直接明了，教师Ｂ的引入则较为新颖，更容易激发学生的学习兴趣。

三、新知探索环节的比较

教师A的教学片段：

师：确定一条直线的几何要素是什么？

生1：两个点；一条直线还可以由一个点以及给定的方向确定。

师：在平面直角坐标系中，过点[P]能够画出直线[l1，l2，…，ln]（无数条），这么多的直线它们之间有什么区别呢？

生2：这些直线的方向不同。

师：怎样在平面直角坐标系中表示这些方向？

生3：这些直线与[x]轴的倾斜程度不同，即与[x]轴所成的角不同，因此可以用这些角来表示这些直线的方向。

师：通过观察可知，直线[l1]的倾斜角[α1]是锐角，直线[l']的倾斜角[α']是钝角，规定当直线[l]与[x]轴平行或重合时，它的倾斜角为[0°]，因此倾斜角的取值范围是什么？

生4：[α∈0°，180°]。

教师B的教学片段：

师（在几何画板中演示绕原点旋转的直线图象）：请同学们观察，[y=kx]中的字母[k]如何变化？

生1：倾斜程度越大，[k]的值越大。

师：过原点的直线上，每一个点的纵坐标与横坐标之比是定值吗？

生2：是定值（这里得到[k]的求法）。

师：对一次函数而言，[k]有什么几何意义？

生3：直线与[x]轴所成角[α]的正切值与[k]有关。

师：下面让我们来看一个微视频，追溯斜率的历史由来，看看数学家是怎么发现斜率的。

教师A从学生已掌握的知识点出发，通过逐步引导，使数学知识串联在一起，自然而然地引出倾斜角的概念。教师B制作HPM微视频，追溯斜率的历史由来，让学生通过数学史的学习更深入地理解斜率的概念。斜率的概念产生比直线方程的形成要晚很多，因此用倾斜角[α]的正切值来表示[k]理所应当，而不是教师把概念强加给学生。

四、课堂小结环节的比较

教师A的教学片段：

师：同学们，本节课你们学到了什么？

生1：刻画一条直线在平面直角坐标系中的方向有两个维度，“形”和“數”的维度。

生2：直线的倾斜角的求法和取值范围。

生3：直线的斜率的求法及斜率不存在的情况。

教师B的教学片段：

师：请同学们自由发言，总结一下本节课你体会到了什么。

生1：思路之广。斜率“走过”几百年甚至几千年的漫长旅程，体现了从不完善到完善的动态发展过程。

生2：探索之悦。在小组讨论过程中，大家都非常积极参与。

生3：能力之升。通过斜率的学习，我们分析问题、解决问题的能力得到了提升。

教师A让学生小组讨论后总结，把课堂还给学生，让学生经历总结的过程。教师B则让学生自己小结，回答的学生也非常多，大家自由发言，教师最后总结关键的几点，突出本节课探究的是斜率的历史发展过程，从而让学生感觉数学史很奇妙，自己就像数学家，由此提高了学生的学习兴趣，提升了课堂价值。

五、两种教学设计理念的分析

高中数学课堂应该体现“三教”理念，即“教思考、教体验、教表达”，培养学生的学科核心素养。“教思考”指的是培养学生的问题意识、解决问题时的线索意识、参与数学活动时领悟数学思想方法的意识、解决数学问题时的辩证和批判意识；“教体验”指的是以数学知识和技能为载体，引导学生对数学思想方法和科学研究方法进行理解，让学生获得对知识的学习体验；“教表达”指的是教会学生运用数学语言来表述数学问题。教师A和教师B两种不同的教学设计，从多个层面和方向出发，启发学生思考，体现了“教思考”，也都包含了对数学思想方法和科学研究方法的运用和对知识的学习体验，体现了“教体验”。同时，两种不同的教学设计都要求学生对斜率的发现过程进行表述，促使学生熟练切换数学的文字语言、口头语言、符号语言，体现了“教表达”。

“教思考”的重要手段就是课堂留白，教师B结合数学史设置相应的活动，让学生了解斜率的发现过程，实现发现留白，为学生自主探究做好铺垫，实现论证留白，比教师A更能体现“教思考”。教师B的数学史素材虽然有育人价值，但是教师B可以采用更加丰富的形式，如让学生编写数学话剧的剧本、让学生进行数学演讲等，带领他们穿越时空，感受斜率对数学界的影响。“教体验”的重要依据就是自然发生，设计问题，一线贯通。教师B在设计问题时注意了问题的衔接以及教学过程的流畅性，环环相扣的问题串成为教学设计的亮点。教师A更加注重知识的实际应用，在课堂的最后加入实际应用的问题，成为教学设计的亮点。“教表达”必须注重双重价值，不可偏废，这一点教师A和教师B都做得很好。几何的教育价值一方面是训练思维和培养核心素养，另一方面是实用价值。

HPM视角下的数学教学过程显得十分自然，大大改变了学生的数学观，促进了学生主动探究，增加了学生的体验机会。 虽然HPM能够让数学课堂变得更加精彩，但过多的引入必然导致学生练习时间减少，因此教师要精心选择数学史背景知识，合理设计教学过程，制订完善的教学风险防范、教学监控、教学管理制度，使HPM视角下的数学课堂常态化。因此，HPM课堂有效性模型研究显得尤为重要。如果教师根据HPM课堂有效性模型，精心选择数学史背景知识，合理设计教学环节，选择适合的现代信息技术，制订完善的教学风险防范、教学监控、教学管理制度，HPM视角下的数学课堂将有很大的教育价值。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  黄友初.数学文化教育性的诠释与教学性的缺失［J］.中学数学教学参考，2014（7）：56-58.

［3］  戴姗姗，朱哲.高中数学新教材中的数学文化研究：以新人教A版“指数函数与对数函数”为例［J］.数学教学通讯，2022（12）：19-22.

［4］  李婷.汪晓勤.HPM视角下高中数学课堂教学的特点初探：基于“任意角”的同课异构教学案例分析［J］.中小学数学（高中版），2017（4）：10-14．

（责任编辑 黄桂坚）