【摘要】本文针对小学数学运算教学短板，提出深度理解数学运算本质、深度融通运算关系、深度建构运算规律等促进学生深度学习的小学数学运算教学实施策略。

【关键词】小学数学 深度学习 计算教学

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）07-0087-04

运算是小学数学教学的核心内容之一，运算能力是解决实际问题和进一步学习数学的重要基础。但是，占有相当比重的运算教学在教学研究中常常被边缘化，许多教师对运算教学研究不够，认为数学运算是程序性知识，对发展数学思维作用不大，只要掌握正确的运算方法，配合一定量的训练，便能达到教学目标。因此，运算教学往往演变为技能操练，学生在机械重复的练习中慢慢变得思维僵化，部分学生会因运算能力未能达到基本要求，从而对后续的数学学习产生了厌倦情绪。

其实，数学运算虽然是程序性知识，但同样承载着培育学生数学核心素养的功能。也就是说，运算教学应更多地关注学生思维的发展，促进学生由低阶思维向高阶思维进阶发展。教师对运算教学不应简单化处理，而应带领学生由浅层学习走向深度学习。深度学习的主要价值在于通过对学科核心内容的深度探究，使学生在掌握学科核心知识的同时，培养高阶思维能力和问题解决能力。数学思维主要表现为运算能力、推理意识和推理能力，运算教学理应伴随数学思维而展开，通过数学运算促进学生深度学习和数学思维的发展。

一、自主表征，深度理解数学运算本质

对小学生而言，数学运算是抽象烦琐的，学生进行数学运算时通常会按照一套程式化的步骤实施，心理和情感上较多地表现为被动学习与接受。数学运算的深度学习，需要让学生正确认识各种数学运算的本质，体悟数学运算的“趣”和“理”，构建相应的算理、算法。

（一）故事表征含义，让运算具象鲜活

数学是对现实世界的抽象，小学数学概念及模型通常可以在生活中找到原型。数学运算同样也是对现实的概括与抽象。运算教学可以遵循数学学习的一般规律，让学生在现实生活体验中逐步经历由抽象到具象的过程。将数学运算的意义镶嵌到数学故事中，使数学算式有情节，有助于学生充分调动生活经验理解数学运算的本质。

如在教学加法时，教师可以根据卡通情境编制数学小故事，将加法含义与故事场景紧密联系，从数学小故事中抽取数量的变化过程形成算式，帮助学生在数学小故事和算式之间建立联系，同时帮助学生用多种方式得到加法的结果。

师：花丛中有2只蝴蝶，又飞来3只蝴蝶，这些蝴蝶合并在一起，现在花丛中有几只蝴蝶？

生：3+2=5，有5只蝴蝶。

师：你们是怎样得到结果的？

生1：先数3只，再接着数2只，就是5只。

生2：将两部分蝴蝶合并后从头再数一遍，就是5只。

师：两种数法得出的结果都是对的。生1的数法体现了加法在原有基础上累加的原始含义，生2的数法较好地体现了加法结果是两部分合并后新的整体。那么根据算式4+1=5，你们能编出不同的数学故事吗？

除了根据故事场景抽取数学算式，让学生认识到加法是把两部分合并起来，教师还可以引导学生根据算式想象故事场景，赋予数学算式丰富的现实意义，基于多样的故事背景让学生体悟算式的概括性。同样，减法的意义建构也可以结合数学小故事进行，使学生体会到减法是从已知的数量中去掉一部分，求另一部分是多少。减法的故事情节与加法恰恰相反，结合故事发展的情境，学生对减法得数的认识也会出现多种方式：从原有的数倒着往前数可以得到减法的结果，或者根据加法倒推另一部分的数量。

（二）操作表征算理，让运算有理有据

算法直接解决“如何算”的问题。学生按照既定的算法，虽然能够正确进行运算，但是按照既定程序机械呆板地进行运算是没有生命力的，不能体现认知过程的生长性。数学运算的深度学习应该更多地关注算理体悟，算理解决的是“为何这样算”的问题，提供了算法的根源和依据。在算理之上抽象概括算法是学生思维数学化的过程，是数学运算的应然样态。教师可以带领学生经历多种操作活动，以动态直观的实践对操作活动进行数学化梳理，明晰思维路径，将操作过程进行数学化表达，建构算法，通过理法融通发展学生的数学推理能力。

实践操作是学生理解算理的方式之一。数学是对现实世界的概括与抽象，让学生真正理解数学，教师需要带领学生回到数学发生的原点，以自己的方式体验数学原型的抽象过程。如在教学“两位数除以一位数笔算”算式46÷2时，教师可以带领学生用小棒分一分，把46根小棒平均分成2份：先将每捆10根的4捆小棒平均分成2份，每份2捆共20根；再将6根小棒平均分成2份，每份3根；20根和3根合在一起是23根。实践操作使学生无意识地经歷了操作运算，教师需要引导学生由操作运算走向数学运算。回顾操作过程，梳理出先分整捆再分单根，用算式记录则是先算40÷2=20、再算6÷2=3，最后讨论怎样在竖式计算中把操作的过程记录下来、每次分得的结果记在哪里、分别表示多少等，从而使笔算的计算过程与实践操作的过程一一对应起来。算法的生成与操作过程的反思融合在一起，学生无须刻意学习算法，基于动手操作，学生在原有认知基础上经历用数学的方式表征实践操作的过程，便可自主构建笔算除法的算法。

画图操作是学生理解算理的另一种方式。当运算教学不方便用实践操作表征算理时，可以通过画图表征，让学生借助直观图的帮助理解运算的推理过程。如在教学分数乘法[23×][15]时，教师可以引导学生通过画图表征[23][的][15]是多少，如图1所示。

从图中可以看出，[23]的[15]是[215]。为什么[23]的分数单位变成了[115]？学生不难从画图的过程中找到缘由：表示[23]时是把单位“1”横向平均分成了3份，表示[15]时又把单位“1”纵向平均分成了5份，即单位“1”被平均分成了3×5=15（份），所以分数单位就变成了[115]。于是[23]的[15]是2个[115]，即涂色部分[215]。由此可见，画图的操作过程可以帮助学生理解[215]的产生。而在算式中，分母相乘便得到平均分的份数，分子相乘得到涂色的份数，即[13]×[15]=[2×13×5]=[215]。对直观图进行分析、推理，可以使分数乘法的算理算法相伴生成。

二、融通联结，深度理解运算关系

小学数学教材将加、减、乘、除的运算安排在不同的年级、册次，容易使学生对不同运算产生割裂感。然而，学生对数学运算的深度学习不应停留在对不同运算的分类认知上，而应基于对数学运算本质的认识，体悟不同数学运算间的内隐关系，在更广的认知背景下实现对不同运算的深度融通。

（一）深刻理解运算的一致性

由于数的外在形式和特点不同，整数、小数、分数、百分数的四则运算的算法会有不同的体现。如果孤立地理解不同数的运算，难以达成对数和运算的本质理解。在计算教学中，教师应该引导学生打通不同数的运算间的壁垒，挖掘出数的运算内在的一致性，帮助学生领悟数学运算复杂外表下的简单。

认识整数和小数时，教师要引导学生深刻理解十进制计数法，体悟十进制计数法是如何按“群”计数的，在“一”的基础上如何产生“十”“百”“千”等不同的“群”。根据位值制原则，理解计数便是相同计数单位个数的累加与不同计数单位的组合。理解计数规则是学习计算的基础，如：学习382+56与615-72，计算后思考整数加减法为什么需要相同数位对齐；学习2.5+17.4与28.3-4.9时，追问小数加减法为什么需要小数点对齐；学习[13]+[14]与[23]-[25]时，探究分数加减法为什么要把异分母分数转化为同分母分数……将以上“为什么”联系起来，可进一步思考“整数、小数、分数加减法的算法不同，它们之间相通吗”，从而让学生认识到无论是在计数还是运算中，计数单位很重要，计数单位是数的运算的“灵魂”。无论什么数相加减，相同单位的数才能直接相加减，任何数的加减运算都是相同计数单位个数的增加或减少。勾连不同数的运算，可以渗透融会贯通的数学思想，让学生从中感受繁杂数学知识中其实蕴藏着简单的数学规律。

（二）深层感受运算的整体性

学生学习数学运算不能仅仅停留在实施运算，教师需要引导学生结合运算的意义将不同运算间隐性的关系显性化，感受运算的整体性，并能够灵活地进行运算转化，体会运算的多样性和丰富性。运算教学中让学生认识运算的整体性，有利于帮助学生厘清运算中的潜在关系，形成结构化的数学认知，并能在解决实际问题时灵活运用多种方法解决问题，在多种方法的关联中深度理解数学运算的本质。

如在教学中，教师让学生观察直观图后判断：有4束花，每束花有3朵，一共有多少朵花？学生判断这是4个3相加，列成加法算式是3+3+3+3=12（朵）。教師接着引导4个3相加还可以列成乘法3×4=12（朵）。通过类似的多幅直观图与加法、乘法的对应，将乘法算式的含义链接在连加之上，基于加法生长出乘法，让学生感受到乘法是几个几相加的简便形式。学生在学习乘法口诀时，如果对乘法与加法关系认识深刻，就会水到渠成地根据加法含义推算出乘法结果，避免机械记忆乘法口诀。除法是乘法的逆运算，教师也要让学生观察比较除法与对应乘法之间的关系，明确被除数、除数、商分别对应着乘法中的什么数。由一道乘法可以想到哪两道除法，反之，由一道除法可以想到哪道乘法，理解乘法和除法相伴相生。乘除法的互逆关系既可以在问题情境中认识，也可以在具体的运算中体现。

三、追问反思，深度建构运算规律

运算规律是数的意义和运算意义结合起来产生的规律性现象。数学运算中蕴藏着一些规律，但是运算规律通常不是可以一眼看出的，需要对同类运算进行归纳总结，再概括提炼为一般化的结论。教师应该引导学生沉浸到数学运算当中，自主探索其中的奇妙规律，在深度学习中体验数学运算的理趣和魅力。

（一）深度探索运算规律

在熟练进行数学运算的基础上，教师可以创设问题情境，让学生探索某一类运算中隐藏的规律，再通过规律的发现与运用，深化学生的理解，培养学生运用规律进行推理分析的能力。如学习小数乘除法运算后，教师可以设计如图2所示的题组让学生练习，引导学生在完成运算后，再观察每一组算式有什么特点。

师：乘法中每一组的积与乘数相比，你们发现了什么？

生：一个数乘比1小的数，积比原数小；一个数乘比1大的数，积比原数大。

师：除法中每一组的商和被除数相比，你们发现了什么？

生：一个数除以比1小的数，商比被除数大；一个数除以比1大的数，商比被除数小。

学生通过运算、观察、讨论和进一步的举例验证，最终概括出规律性认识，得出相关结论。深度学习不应终止于运算规律的发现，对结论的进一步追问才是开启深度思考的新起点。教师可以顺应学生的结论追问：“为什么这两个运算规律正好相反呢？”具有挑战性的问题可以激发学生的探究欲望。学生通过分组讨论、追本溯源，会结合乘法和除法的含义进行说理。自我发现运算规律并能解释为什么存在这样的规律，学生的学习就这样由浅层走向深入。

（二）拓展变通运算规律

运用运算规律能让学生更加便捷而灵活地进行运算，但是运用运算规律并非照搬规律，有时需要将发现的规律进行拓展变通。教师需要根据学习内容适时提供学习素材，引发学生基于运算的推理转化，让学生在转化中产生新发现、新思考。小数乘除法积或商的大小规律应用较多，教师可以在运用规律进行推理判断的基础上设计如图3所示的练习。

这些平时看似普通的乘除法，当把它们放在一起时，便不再普通了。为什么1.8除以0.1会和1.8乘10的结果相同呢？会是巧合吗？随着对现象背后规律的挖掘，有的学生用算式的意义说明，有的学生将算式进行转化变形，从不同角度分析出理由。学生从这两组算式拓展开来，纷纷找出一个数除以0.5等于这个数乘2，一个数除以0.25等于这个数乘4等等。乘除法之间的灵活转化为学生开启了运算规律学习的另一扇窗。

（三）深度反思运算规律

学生在运算规律的学习中往往会遇到一些似是而非的问题。面对这些问题，不同学生思维的深刻性存在客观差异，部分学生不能独立释疑解惑。在这种情况下，教师要将学生遇到的疑惑作为重要的学习资源充分利用起来，组织学生共同反思，形成学习共同体，引导学生在相互合作与启发中不断拓展思维的宽度和深度，达成对运算规律的深刻理解。

在除法运算中，根据商不变规律可以由简单除法推算出较为复杂的除法算式的商。于是有的学生根据7÷3=2……1得出70÷30=2……1，当有学生指出计算结果错误时，他们胸有成竹地解释说被除数和除数同时乘10，商不变。其他学生明明知道计算结果是错的，却对这样的推算无法反驳。这是怎么回事呢？教师适时指导学生展开反思。

师：为什么根据商不变的规律会得到错误的结果呢？

生：结果不是全部错误，是余数错了，70÷30=2……10。被除数和除数同时乘10，商不变，余数变了。

师：余数属于商吗？

生1：余数属于商，因为余数也是除法计算的结果。

生2：余数不属于商，是被除数除以除数后不够除剩下的数。

此时，教师引导学生赋予这个除法算式以现实情境，再来想想余数究竟属于哪一部分：做一朵绸花需要30厘米绸带，70厘米绸带可以做几朵绸花？学生发现70÷30=2（朵）……10（厘米），显然商是2朵，余數10厘米是70厘米中的一部分。看来，把余数看成商的一部分是不对的。既然余数从属于被除数，那么当被除数乘10时余数自然也会跟着乘10了。一次错误的推算引发了学生对有余数除法的深度反思，让学生在反思中纠正了原有的经验性错误。这时，教师还可以补充介绍有余数除法中的商是不完全商，而除法中商不变规律中的商是指完全商，使学生对商的认识更加丰富、全面。

总之，小学数学教师实施运算教学应着力引领学生沉浸于数学运算当中，探索其中的奇妙规律，在深度学习中体验数学运算的理趣和魅力。运算教学要更多地关注学生思维的发展，促进学生由模仿应用型的低阶思维向分析与批判型的高阶思维进阶，使学生的运算学习不断走向深入，从而强化数学核心素养的落实，促进学生的全面发展。

参考文献

［1］马云鹏.深度学习视域下的课堂变革［J］.全球教育展望，2018（10）：53.

［2］杨子舟.从浅层学习走向深度学习［J］.教育探索，2016（7）：34.

［3］顾万全，陈静.基于深度学习的小学数学课堂教学样态探究及实践［J］.中小学课堂教学研究，2022（1）：13.

注：本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“促进小学生数学深度学习的实践研究”（B-a/2018/02/26）的阶段研究成果。

作者简介：郜晓定（1976— ），江苏扬州人，本科，高级教师，江苏省特级教师，研究方向为小学数学教学。

（责编 韦榕峰）