王渊

［摘  要］ 波利亚认为，解题训练是中学数学教学的首要任务，掌握数学的本质就体现在解题上. 文章认为，习题教学类型主要有示范引导型、补充延伸型、强化补救型与深化提高型. 文章以“解析几何初步”的习题课教学为例，通过“学生先行—交流展示—教师断后”的模式应用展开阐述.

［关键词］ 习题教学；主体；预设

习题教学是指教师结合新课标的要求与学生的实际情况，以范例的研究、讲解与变式训练等方式组成的一类课型. 此类课型主要包含教材中所呈现的经典例题教学与结合学生实际情况教师自主编拟的习题教学，不论哪种类型的教学方式，都以提高学生的数学核心素养为教学宗旨.

习题教学类型

1. 示范引导型

随着新知的导入，学生对基础知识有了一定了解后，进入示范引导型的习题教学阶段. 该类型的习题教学，一般选择典型例题为示范，引导学生从应用的角度来认识新知，为进一步理解并掌握新知奠定基础. 示范引导型习题教学的目的，在于让学生规范掌握如何利用新知进行解题的一般步骤与表达方式.

2. 补充延伸型

有些公式、定理或法则等，在课程标准中并没有过多要求，但实际解题时却常常用得上，而这些内容学生自己又很难自主推导出来. 对此，一般教材就将这部分内容以习题的形式进行延伸与补充，让学生有所了解. 高考试题的综合性很强，常涉及这部分拓展的知识. 鉴于此，教师在日常习题教学中，就应重视这部分拓展的内容，做到有备无患.

3. 强化补救型

作业、小练等都是学生学习情况的反馈. 当教师在阅卷或作业批改中，发现不少学生存在共性或典型性的错误时，则会有针对性地采取补救型的习题教学，以矫正学生认知上的偏差，避免类似问题再次发生. 这对学生思维的漏洞有较好的弥补作用.

4. 深化提高型

当面临单元复习或高考复习时，就需要对学生的基础知识与技能、各项能力等进行深化，以提高学生的解題能力. 这里所谓的深化，不仅表现在对知识的理解程度上，还表现在数学运算、逻辑推理、抽象、建模等核心素养的诸多要素中.

从以上几个类型来看，数学习题教学的实质是结合学生的实际需求，运用恰当的教学方式，发挥学生的主体性作用.

习题教学的基本模式

从教学观和教学方式来看，习题课以学生为主，教师为辅，帮助学生学习.

习题课所涉及的知识，学生一般都有所了解，其教学目标在于帮助学生深层次理解这些知识，并熟练应用这些知识. 基于原有认知结构而进行的习题教学，学生具备自主探索解题思路和方法的条件. 因此一些课堂目标，鼓励学生自主完成是可行与必要的.

然而，若完全放手让学生自主探索，在有些方面，学生并不能达到全面、深刻的理解程度，这就需要教师给予点拨与引导. 在教师的帮助下，结合学生自主探索过程中所产生的资源，对于课堂有效生成具有较好的促进作用.

新课标一再强调学生在课堂中的主体地位. 课上，以问题为主线，引导学生积极主动地参与教学活动，不仅能发挥学生的主体作用，还能增进师生感情，形成“学生先行—交流展示—教师断后”的基本模式，为促进数学核心素养的提升奠定基础.

1. 以问题为主线

习题教学的目标是促进学生理解并掌握基础知识的用法，形成相应的技能，促进思维的发展. 对于以问题为主线的教学模式，首要因素是教师对问题的选择. 实践证明，问题的选择应基于章节的核心知识，立足通法，以问题唤醒学生认知，激活思维，形成良好的解题能力.

以“解析几何初步”的习题教学为例，基于本章节的核心知识，以问题为主线，笔者做了以下章节解构.

本章节涵盖“直线与方程”“圆与方程”等知识，两个章节是不同对象（直线与圆）分别与方程建立联系. 虽然两个章节的对象、方程都不一样，但两者建构方程的方法却具有一致性，均在平面直角坐标系中，利用解析法建立方程.

当图形与方程建立相关联系后，再分别研究它们的具体性质，虽然研究的具体内容有所差异，但研究都以“坐标法”着手实施. 由此可以看出，“解析几何初步”的学习，不仅能让学生增长知识储备量，还能体现研究方法的沿用过程. 研究此类问题，可始终保持以下三点：①代数与几何相结合；②数形结合思想的应用；③解析法的应用. 这三点贯穿解析几何学习始终.

为了凸显以问题为主线的习题教学，本节课笔者针对学生的实际情况与教学内容，安排了以下两个问题.

问题1：已知直线kx－y－4k=－3与圆C：x2－6x+y2－8y+21=0，求证：无论k取何值，该圆与直线都有两个不同的交点.

设计意图 引导学生自主分析本题，通过思维过程的总结，获得解决此类问题的通性通法，帮助学生分别从代数与几何的角度分析问题、认识问题，理解待定系数具有怎样的几何意义.

问题2：如图1所示，已知r为圆Q的半径，AQ=m，∠BAQ=α（r，m为常数，α为变量），求圆Q与直线AB具有怎样的位置关系.

设计意图 引导学生对问题产生自己独特的想法，让学生通过对解题思路的比较，体验习题教学活动，对问题产生完整的认识. 对于坐标法在解题中的应用产生深刻理解，从真正意义上领悟解析几何的特征与基本思想方法.

以上两个问题的关键在于能凸显本章节习题的核心，暴露解析几何初步的主要思想方法. 学生在解决以上两个问题的过程中，积极发挥主动性，以自身已有的认知结构为基础，通过探究，激发思维，达成对习题所涉及知识的全方位理解，为后续习题教学的开展奠定基础.

2. 基本模式结构

想要突出学生在习题教学中的地位，不能将目光紧紧锁定在教师身上，还应研究习题教学需要的且又缺乏的教学模式. 教师应通过对自身教学能力的完善，促进学生从真正意义上突出其主体地位. 经实践，习题教学的基本教学模式可归结为：学生先行—交流展示—教师断后.

“学生先行”是指教师提出问题，要求学生独立完成，其他成员不要给予提示与干扰.

“交流展示”即客观展示学生的思维. 当学生解决完问题后，教师鼓励学生将自己的解题方法呈现给大家，可以是口述，也可以是板书，不论其对错，教师都不予评判. 可在展示完成后，追问其他学生有没有不同想法.

“教师断后”是指教师根据学生板书进行讲解，讲解时要注意扬正解惑、总结、归纳，并概括问题的共性特征与通用解法，揭露本质，增进学生对核心知识的理解.

3. 预设与生成

（1）学生先行

对于学生先行阶段，课堂可能出现以下三种情况：①毫无收获；②学生的思维展示，有对有错；③学生完全获得教师预设的成果.

学生出现毫无收获的情况，有可能是教师选择的问题难度过大，与学生认知不相符，此时需要教师及时调整问题难度或铺设台阶. 换个角度来看，学生也不可能颗粒无收，至少学生的思维“预热”，为接下来的习题教学奠定了基础.

学生解题有对有错，能充分暴露学生的思维过程. 对于正确的解题思路，教师可在肯定的基础上进行概括、总结；对于错误的解题思路，教师可给予适当的点拨、分析与引导.

第三种情况可以说是最好的结果，教师可鼓励学生通过交流、探索，抽象出问题的结论.

（2）交流展示

交流展示的目的就是暴露学生所思所想. 班级人数众多，确实不好调控，而交流展示却能有效发挥人多的优势. 学生代表可将不同学生的解题思路展示出来，让学生结合自己与他人的思维，通过类比分析，扩大思考范围，补充思维容量，得到新的理解.

当教师没有圈定明确的解题思路和方法时，学生先行过程中的思维是自由的、自主的，学生基于原有的认知结构与对解题方法的理解，通过不同的角度与思维方式来分析，可形成不一样的解题思路［1］. 而教师需要做的是关注每个学生，通过学生交流过程中所呈现的思维，进行科学、合理的引导，让学生的思维成为教学再生资源.

针对问题1，笔者预设以下三种情况发生：

预设1（从代数角度思考）：将直线方程y=kx－4k+3代入圆方程x2－6x+y2－8y+21=0，得x2+（kx－4k+3）2－6x－8（kx+3－4k）+21=0①.

预设2（从几何角度思考），将圆方程转化为（x－3）2+（y－4）2=4，圆心与直線的距离为d==②.

预设3（从待定系数的几何意义出发）：将直线方程转化为y－3=k（x－4）③，可知直线过定点P（4，3）.因为点P到圆心的距离为（小于圆的半径2），所以圆与直线总存在两个不同的交点.

针对问题2，笔者预设以下三种情况发生：

预设1：用几何法解题——通过构造直角三角形解题. 即将问题转化为直线AB与点Q的位置关系进行研究，作QH⊥AB，H为垂足，则QH=msinα；再比较QH与r的大小，分类讨论直线AB与圆Q的位置关系.

预设2：用代数法解题，即以A为原点，AQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. 圆心Q与直线AB的距离d==msinα，比较d与r的大小，分类讨论直线AB和圆Q的位置关系.

预设3：用代数法解题，即Q为原点，AQ所在直线为x轴建立平面直角坐标系，假设直线AB：y=（m+x）·tanα，圆Q：x2+y2=r2（后略）.

若以上预设在课堂教学活动过程中并未呈现，教师可在活动结束前，将相应的方法展示给学生.

教师设计的问题应具有科学性和合理性，能促使学生形成新的思维，为建构模型奠定基础，同时能让学生查漏补缺，反思自己的不足，产生自省驱动的心理行为.

本节课教学，若笔者只是主讲以上两个问题，则课堂是“线性模式”，学生在理解、消化上需要大量的时间，而“学生先行—交流展示—教师断后”模式的应用，将课堂交给学生，能充分发挥学生的主体作用.

（3）教师断后

学生先行的过程中，会产生各种解题思路. 交流展示的过程则将学生的各种思维过程，有效暴露在师生面前，如此就给大家的再次思考提供了契机. 思考其实就是思维碰撞的过程，学生经过交流、反思、扩充，再次提升自己的能力. 值得注意的是，教师在整个过程中，具有无可替代的导向作用.

教师在习题教学中的导向作用，主要体现在两个方面，一是体现在问题的设计上，二是体现在教师断后中，其关键就在于如何把握住问题的核心，既完成教学需求，又完成学生难以自主完成的事［2］.

针对问题1可能出现的三种解题思路，教师可做如下预设，而后根据学生的实际表现进行引导.

第一，预设1中的式①该如何化简？不少学生虽然写出了该式，但并未化简. 针对这个问题，教师可提问：式①展开后能得到什么结构？有哪几项？

x2项的系数为k2+1，x项的系数为2k（3－4k）－8k－6=－8k2－2k－6，常数项为（3－4k）2－8（3－4k）+21=16k2+8k+6，综上可得（k2+1）x2－2（4k2+k+3）x+16k2+8k+6=0，由Δ=［2（4k2+k+3）］2－8（k2+1）（8k2+4k+3）为正，可得结论.

第二，如何处理预设2中的式②？大部分学生选择基本不等式来处理该式，教师可在此基础上与学生进行交流.

设＜2，即（k+1）2＜4（k2+1），即3k2－2k+3＞0，即2k2+（k－1）2+2＞0. 将以上计算过程倒过来书写，即可完成本题的解答.

第三，如何完成预设3？调查发现，一些学生几乎不会想到从几何的角度去分析，因为之前类似的范例中，教师并未应用预设3中的方法. 针对这个问题，教师可通过提醒引导学生完成预设3.

师：想要确定一条直线，必须知道几个条件？

生1：两个.

师：如方程y－3=k（x－4）中有一个待定系数k，这表示什么？

生2：表示确定这条直线的两个条件中有一个还未确定.

此时教师可顺势引导学生发现获得式③的依据和方法.

第四，解决问题的各种方法的主要依据是什么？要求学生对此进行归纳、总结.

针对问题2，教师断后可从以下几点出发：①从两个角度进行处理，（代数）坐标法与（几何）构造三角形法；②比较这两种处理方法，可发现这是解析几何的共同点；③比较建系的各种方法，发现它们之间具有怎样的关系.

教师断后不是就题论题那么简单，更重要的是解释问题的本质，阐明知识间的联系以及涉透数学思想方法，为总结与概括解题思路奠定基础.

总之，习题教学并不是简单地解决几个问题，而是引导学生体验解题方法的获取过程. “学生先行—交流展示—教师断后”模式的应用，不仅彰显出了学生的主体地位，而且使学生的思维得到了补充，为促进个体的全面发展奠定了基础.

参考文献：

［1］ 吴志鹏. 论数学例、习题变式问题在课堂教学中的有效性［J］. 中学数学研究，2009（02）：8-10.

［2］ 马复. 设计合理的数学教学［M］. 北京：高等教育出版社，2003.