林全德

［摘  要］ 数学运算可以说是数学学习中最基本的环节，随着学生数学学习不断深入，随着学生从小学走向初中再走向高中，数学运算不断发生着深刻变化，对学生的数学运算能力要求也越来越高. 每一个高中数学教师，都应当以新高考作为教学背景，应当在新高考的视野下去理解数学运算能力的相关理论，去探究有效的数学运算能力的培养途径. 对于数学运算及其能力的认识，不能局限于传统的应试教育，而应当站在学生的角度，去梳理学生进行数学运算时的认知过程，把握学生数学运算的重要影响因素. 行之有效的数学运算能力培养的模式可以概括为：高中阶段数学运算能力的培养，应当以具体的数学运算问题或习题作为载体，立足学生数学运算过程中的知识整合、思维发展、能力提升等环节，让学生对数学运算过程有纯正式的体验，让学生在数学运算的过程中有自主发现，并且能够将这些发现上升为属于自己的数学运算理论.

［关键词］ 新高考；数学运算能力；培养

从当前高中教育的实际情况来看，考试依然发挥着指挥棒的作用，考试模式的改变对学科教学更是有着直接影响. 对于当前的高考情形，最直接的概括用语就是新高考，相对于传统的高考而言，新高考通常采用的是“3+1+2”的模式，强调对核心素养以及关键能力的考查. 那么在新高考的视野下，作为数学学科关键能力重要组成部分的数学运算，应当给予怎样的理解？又应当如何寻找有效的培养途径呢？

笔者认为这个问题是重要的，其原因在于数学运算可以说是数学学习最基本的能力，从学生接触数学的那一天开始，数学运算就发生了. 随着学生数学学习不断深入，随着学生从小学走向初中再走向高中，数学运算不断发生着深刻变化，对学生的数学运算能力要求也越来越高. 在前一阶段的课程改革中，出现过一种思潮，那就是注重数学思想方法的教学，而轻视数学知识（其中就包括数学运算）的教学. 很快人们就发现这种思潮是有问题的，数学思想方法不可能脱离数学知识而存在，学生只有在掌握并运用数学知识（其中自然也包括数学运算）的过程中，才能真正领悟数学思想方法. 因此从这个角度来看，即使是高中数学教学，也必须夯实数学知识这个基础，也必须注重数学运算能力的培养，才能让学生对数学思想方法有所领悟. 今天的新高考模式，更是强调对关键能力的考查，作为关键能力重要组成部分的数学运算能力，应当重新回归高中数学课堂教学的中央.

因此每一个高中数学教师，都应当以新高考作为教学背景，应当在新高考的视野下去理解数学运算能力的相关理论，去探究有效的数学运算能力的培养途径. 也正是基于这样的认识，笔者才明确了应以数学运算能力的培养作为教学抓手，并带动其他数学素养能力开展教学. 下面结合具体的数学运算教学实例，谈谈笔者的一些理论学习的成果认识以及探究的相关心得.

数学运算能力的理论理解

谈到数学运算能力这一概念，可以说没有一个高中数学教师是陌生的，哪怕是最简单、最直接的概念理解，也能发现数学运算能力就是关于数学运算的能力. 但是这种理解有时候容易导致教师视野狭隘，认为数学运算能力培养就是通过数学运算去培养学生的能力，容易让教师和学生都陷入题海泥淖，从可持续发展的角度来看是得不偿失的. 因此一个睿智的教师，在新高考的视野下，首先要理解关于数学运算能力最基本的理论，只有有了正确的理论理解，后续实践才能拥有正确的方向.

从宏观角度来看，运算能力是数学学习的基础能力，直接影响着学生的学习成绩，高中数学作为高考中重要的一门科目，对学生的运算能力、思维能力、空间能力等都有着较高的要求，而运算能力则是提升学生数学能力的基础. 因此，在高中阶段，数学教师如何培养和强化学生的运算能力尤为重要. 实际上，数学运算能力与思维能力以及空间想象能力同等重要——当然从学生学习历程的角度来看，数学运算能力是优于思维能力和空间想象能力的，毕竟学生从学习数学的那一刻开始发展的就是数学运算能力. 对于数学运算能力，如果从广义理解的角度来看，数学运算能力就是借助对数学运算法则的理解，在运算相关数学题的过程中所表现出来的能力. 其涉及学生对数学运算法则的记忆与理解，涉及学生将具体的运算情境与运算法则对应结合，当然还涉及最基本的数学计算.

这里必须强调的是，数学运算与数学计算是两个不同的概念，前者更为宽泛，而且与学生的思维能力以及数学建模能力等密切相关. 毕竟数学运算的过程，除了最基本的數学计算外，还包括复杂的心理过程. 这意味着对数学运算的理解必须深入微观视角，教师要认识到学生开始数学运算，大脑当中会激活与数学运算相关的诸多要素，其中既涉及原有知识和运算法则的调用，又涉及原有知识与题目情境的关系判断……只有当这些过程能够顺利进行时，数学运算才能够有效开展，学生的数学运算能力也才能在这一过程当中得以培养. 这里来看一道例题：

例1 已知一给定函数的解析式为y=f（x），其图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列｛an｝满足an+1>an（n∈N*），则该函数的图象是（  ）

当学生面对这道题目的时候，应当说解题思路存在着一定的挑战，而解题思路的挑战就可以理解为数学运算的挑战. 站在学生的角度来分析学生面对这道题目时的思维，可以发现学生加工题目给出的信息时，思维会在一定程度上发生混乱. 相当一部分学生都无法将题目给出的函数、函数解析式、函数图象与数列等概念结合起来，即使部分学生能够实现两者结合，也难以根据题目给出的“由关系式an+1=f（an）得到的数列｛an｝满足an+1>an（n∈N*）”这一条件，得到有用的信息. 如果这个环节得不到突破，那么数学运算自然就不会发生，数学运算能力的培养也就是一句空话.

事实上，突破这道题目的关键，在于建立函数、函数解析式、函数图象之间的关系后，能够根据题目给出的“由关系式an+1=f（an）得到的数列｛an｝满足an+1>an（n∈N*）”这一条件，得到f（an）>an，即f（x）>x（可以从“an+1=f（an），an+1>an”中推导出来）. 一旦得到这一结论，就可以进一步推导出f（x）=x实际上就是图中正方形的对角线，既然f（x）>x，那么曲线肯定在正方形对角线的上方. 因此正确选项就是A．

比较学生最初遇到困难与思维突破后数学运算的顺利开展，可以得出的一个基本结论就是，对于数学运算能力的认识，不能局限于传统的应试教育，而应当站在学生的角度，去梳理学生进行数学运算时的认知过程，把握学生数学运算的重要影响因素，比如旧知识的激活以及新结论的得出，等等. 理解了这一点，那么随后的教学实践就有了正确的方向，同时也有了理论保证.

数学运算能力的培养路径

既然认识到了学生数学运算是一个复杂的认知过程，那么培养学生的数学运算能力，就要从学生数学运算时的认知出发，去建立一个行之有效的数学运算能力培养的模式. 对于这样的模式，笔者将其概括为：高中阶段数学运算能力的培养，应当以具体的数学运算问题或习题作为载体，立足学生数学运算过程中的知识整合、思维发展、能力提升等环节，让学生对数学运算过程有纯正式的体验，让学生在数学运算的过程中能够自主发现，并且将这些发现上升为属于自己的数学运算理论. 尽管这种理论不一定是放之四海而皆准的，更多的只是属于学生个体的朴素理论，但是这种理论真正表征着学生个体的数学运算能力，因此应当成为高中数学教学尤其是数学运算教学的重要思路.

值得一提的是，关于数学运算能力培养的途径，如果在相关的数据库中搜索的话，可以发现丰富的文献. 这说明关于数学运算能力的培养实际上是高中数学教学的一个热门话题. 但是梳理这些文献可以发现，大多数是站在教师的角度甚至是站在应试的角度去研究的，在新高考的视角下这些思路已经不能完全使用，甚至完全不能使用，教师必须开辟新的途径，必须真正站在学生的角度尤其站在学生认知的角度，通过把握影响学生数学运算的认知要素，去寻找行之有效的培养数学运算能力的路径. 这里仍然通过一道例题来说明.

例2 函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在［a，b］上的面积. 已知函数y=sinnx在0，上的面积为（n∈N*），则

（1）函数y=sin3x在0，上的面积为________.

（2）函数y=sin（3x-π）+1在，上的面积为________.

解答这道题目，对于相当一部分学生而言是具有挑战性的，数学运算很难顺利开展，作为教师就必须想方设法带着学生去突破思维窠臼. 从题目来看，这道题目综合了文字信息与图象信息，涉及定比分点问题. 从数学运算开展的角度来看，一个重要的突破点就是数形结合——实际上，很多时候数形结合就是数学运算能力的重要组成部分，如果一个学生能够将数形结合运用得非常娴熟，那么数学运算能力就不会差到哪里去. 这道题目的优点在于，其具有一定的开放性，且包含的信息比较丰富，对学生的思维分析能力的考查非常到位. 从培养学生数学运算能力的角度来看，让学生在阅读题目的过程中发现，题目给出的信息“函数y=sinnx在0，上的面积为（n∈N*）”，说明“函数y=sinnx半个周期长度的面积为（n∈N*）”（如图1所示），于是“函数y=sin3x在0，上的面积为”.

得出这一结论后，结合图2，进一步引导学生思考，可以发现函数y=sin（3x－π）+1在，上的面积，就是y=sin（3x－π）+1与直线y=1围成的半个周期长度的面积与矩形的面积之和. 进一步分析，由第（1）问的结论可得y=sin（3x－π）+1与直线y=1围成的半个周期长度的面积为，所围的矩形的面积是－×1=π. 于是y=sin（3x－π）+1在，上的面积就是+π.

这样的教学过程对于绝大多数学生而言都是适合的，主要原因在于这样的教学过程按照具体的逻辑展开，而且过程相对详细，绝大多数学生都能够接受并理解. 当然，从数学运算能力培养的角度来看，只将这样的运算过程提供给学生还是不够的，需要引导学生认识这一过程是如何展开的，这才是数学运算能力培养的关键. 当然，这样的过程也不复杂，高中生最大的特点就是善于理性思考、善于反思，因此只要引导学生认真观察这一过程，看看其中哪些环节是自己独立思考时没有出现的，再去思考为什么自己没有想到这些环节……如此引导学生去对比、去反思，学生就能够发现自己思維的不足. 从数学运算认知心理的角度来看，这样的教学实际上就是引导学生梳理与反思数学运算心理，并在反思中发现且弥补自己的不足. 只要这一心理过程能够实现，那么数学运算能力的培养就是水到渠成的事情.

数学运算能力的教学总结

对于数学运算的理解以及数学运算能力的培养，教师常常有两种界定角度：一是现实的需要就是高考的需要，二是理想的需要就是学生可持续发展的需要. 这两种需要都必须满足，才能同时兼顾学生的当下与未来. 数学学科是一门基础学科，数学学科的学习不仅影响着学生的数学知识积累，还影响着学生学习品质的培养以及核心素养的发展. 因此教师必须抓住包括数学运算在内的每一个教学环节，真正立足能力培养去实施教学，这一点对于新高考背景下的高中数学教学来说，是一个兼具现实意义与历史意义的教学选择.

有人说，运算能力是思维能力和运算技能的结合，是高考考查的重点［1］. 简简单单的一句话却从两个角度界定了数学运算，即数学运算能力既与学生的思维能力和运算技能有关，也影响着学生参加高考. 当然，这两者并行不悖，发展学生的数学运算能力本质上既有服务高考的目的，也有在新高考的引导下发展学生核心素养的目的. 在实际教学中，以培养数学运算能力为抓手，促使教师以及学生正确理解数学教学，在课堂上形成教师与学生默契的教学关系，这可以为数学运算的展开提供一个友好环境. 应当说，这种环境也是新高考背景下高中数学教学努力的方向，毕竟数学运算作为一个复杂的心理过程，也是在具体的课堂情境中发生的，这一情境越友好，数学运算能力的培养过程就会越顺利.

参考文献：

［1］ 王海. 新高考背景下对高中生数学运算能力培养的几点思考［J］. 高考，2017（18）：36-38.