尹亚南

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》倡导教师在教学实践中重视教、学、评的一致性。“逆向教学”模式在确定教学活动之前，率先实施教学评估，此种以终为始的教学理念更关注教学过程与教学评价的相关性，将该模式应用于数学教学中，有利于教师及时反馈学生的学习情况，从而促进数学课程教、学、评的一致。在高中数学教学中应用逆向教学模式，教师应重构教学体系，将“结果是什么、学生需要什么”作为教学起点，将“预期结果→评估证据→学习体验”作为课程教学的流程，以学生为主体设置能够促进学生学习的教学活动或任务，在提升学生主体地位的基础上协调教、学、评三者之间的关系。

一、确定预期结果

（一）研读课程标准

在高中数学教学中，“函数概念”被看作一个核心概念，课标要求学生在初中学习经验的基础上应用集合语言与对应关系去描述函数，了解函数的构成要求，应用函数概念去计算函数的定义域，从而构建完善的函数概念知识体系。

（二）梳理教学内容

在高一学段，函数概念教学内容起着承上启下的作用，一方面连接了学生初中阶段所接触的函数概念知识，另一方面连接了学生学习过的集合知识，所以函数概念教学能够帮助学生构建一个完整的知识结构，并为学生后续的幂函数、指数与对数函数以及三角函数的学习做好铺垫。课程所涉及的重点知识为函数概念及其三要素，即定义域、值域以及对应法则。

（三）确定预期结果

虽然通过研读课程标准、梳理教学内容两个环节已经初步确定了预期的学习结果，但如何科学、准确地续写出来，使教师明确学生学习所要达到的程度尤为重要，这也是逆向教学模式中确定预期学习结果最重要的一环。现阶段国内教育领域在确定预期“教”与“学”结果的过程中主要以“行为目标”为主，其优点在于续写的方式清晰，更具可操作性，适用于课时的实际应用。从学生学习的角度来看，“行为目标”涵盖四个要素，分别为对象、行为、条件以及标准，通常将其简称为ABCD模式，在教学函数概念时，基于ABCD模式确定预期结果：

A——对象。课程教学的对象为学生，所以续写预期学习结果的过程中应将学生的学习行为作为切入点，在函数概念中，经历本节课程的学习，应培养学生的数学思维，帮助学生养成清晰、有条理地表述问题与解决问题的习惯，使学生的数学表达能力得到提升。B——行为。行为主要指学生完成学习任务后可以观察和评测的行为表现，即对学生学习函数概念后可以做什么的具体描述。经历本节课程的学习，学生能理解函数的定义，掌握函数的三要素，如定义域的求法、值域的求法等。C——条件。条件主要指说明上述行为在何种条件下产生。在本节课程中，学生通过回顾初中阶段的函数概念能够理解高中阶段概述的定义，从变量观转向集合观，学生通过生活化的问题理解函数概念中所存在的对应关系等。D——标准。标准主要指向对评定上述学习行为是否合格的标准进行规定。在本节课程中，学生能够分清常量与变量；学生能够正确地找出函数的定义域与值域；学生能够规范化地应用函数表达式去解决实际问题等。

若想呈现一个科学的“预期结果”，教师应从课标、内容、续写三个方面综合考虑，如此才能高效地启动函数概念的逆向教学。

二、设定评估证据

（一）成就水平划分

1.记忆

指学生能够从以往的记忆中提取知识。高一的学生在学习高中函数概念之前，在义务教育阶段已经接触了基于变量观的函数概念，但学生利用这一函数概念并不能解决部分实际问题，所以产生了对函数概念进一步学习的欲望。在学习进阶视角下“记忆”阶层更侧重学生学习经验的总结与归纳，学生通过总结以往的学习经验，并将其作为基础开展高一函数概念的学习，实现新旧函数概念的有效衔接。

2.理解

指学生能够了解和掌握某一数学知识的内涵、意义。高一学段的学生经历函数概念的学习，对函数概念的理解需要从以往的变量观过渡为集合观，即从集合与对应关系的角度去理解函数概念、三要素以及函数符号所代表的数学意义。

3.应用

指在某一特定的问题情境中学生能够应用数学程序去解决问题。在函数概念教学中，“应用”泛指学生能够判断对应关系是否为函数、同一函数，通过具体的计算求出函数的定义域、值域。

4.分析

指学生针对某一知识点所开展的具有辨析性的学习活动，在参与活动的过程中，学生通过辨析与思考能够进一步了解某一知识的内涵。在函数概念教学中，“分析”泛指学生从运动与集合的角度去思考初、高中函数概念之间的联系，通过概念对比实现逻辑思维能力的提升。

5.创造

指学生在现阶段學习成就水平的基础上完成以往无法完成的成就。在函数概念教学中，“创造”泛指学生在掌握函数概念后能够独立、正确地解决与函数概念相关的问题，并能够从集合观去思考与函数概念相关的问题。

（二）评估证据设定

将成就水平划分作为基础，以“本原→价值”的方式基于学习进阶视角构建“函数概念”的评估证据框架：①记忆：回顾初中阶段所学习的函数概念与相关知识→新旧函数概念的衔接，在学习过程中能够分清楚常量与变量。②理解：基于集合观理解函数概念的内涵→在特定的学习活动中找到变量间存在的关系。③应用：掌握“y=f（x），x∈A”中各字母所代表的数学意义，掌握定义域、值域、对应法则以及函数表达式的应用→在特定的问题情境中正确地找到函数的定义域和值域，并应用函数表达式规范地解决具体的问题。④分析：区分初、高中两个学段的函数概念，构建完整的知识体系→通过新旧知识的衔接，基于集合观分析特定问题情境中的函数关系。⑤创造：全面掌握函数概念→应用函数概念体系解决生活中或教材中除例题以外的，存在一定难度的实际问题。

三、规划学习体验

（一）记忆——问题引导知识回顾

首先，教师创设问题情境：“同学们回忆一下初中阶段我们学习过的函数概念。”“初中阶段，我们学习了哪些函数？”与学生共同回顾初中阶段学习过的函数概念，此环节中教师结合学生回答的内容做适当的板书，以此帮助学生巩固初中阶段所学习的函数知识。其次，教师板书具体的问题鼓励学生尝试解决问题，板书①：“y=2，x∈R”，教师与学生交互：“同学们请看黑板，判断板书内容是否是一个函数？”板书②：“y=x，y=■”，教师与学生交互：“你认为y=x与y=■所表达的是否为一个函数？”此环节中，教师通过设定问题情境使学生的意见产生分歧，借机评价学生是否能够区分变量与常量，同时还能为学生新旧知识的有效衔接创设良好的契机。当学生发现已经无法应用初中所学知识解决问题、证明观点时，对函数概念的认知将会得到潜移默化的转变，而此种转变能为后续教学环节中学生顺利地接受集合觀的函数概念奠定良好的基础。

（二）理解——聚焦实例引出概念

1.实例呈现

为使学生能够体会到函数概念中所存在的对应关系，教师需要借助生活实例，用以承载函数概念。“已知一枚炮弹的射程高度为845 m，炮弹发射后经过26 s后落至地面并击中目标。在这一实例中，地面的高度h随着时间t的变化规律为130 t-5 t2，求t的变化范围与h的变化范围，是否可以应用集合的方式分别表示变量h与变量t？”并给予班级学生一定的思考时间，待学生能够应用集合的方式表示两个变量A=t|0≤t≤26、B=h|0≤h≤845后，教师提出“对于集合A中的任意一个时间t在集合B中是否有唯一的高度h与其对应？”的教学问题，学生现有的知识水平很难做出回答。所以此环节中，教师可以利用几何画板为学生呈现炮弹发射时间与发射高度之间对应关系的动态视频，使学生能够直观地感知两个变量之间的对应关系，从而达成渗透集合与对应的观点，帮助学生转化思维。

2.概念引出

在动态视频演示后，教师引导学生思考、总结实例中存在的数学规律“两个数集间存在一种对应关系”，并引出本节课程的核心概念——函数。结合实例，学生能够理解“对于数集A的每一个t，按照某种对应关系f，在数集B中均有唯一确定的h与其对应，可以将其记作f：A→B”，但这一定义并非完整的函数概念，所以本环节中教师仍需引导学生“在生活实例之中的集合是否存在空集”，并将初始阶段的t与h用x与y替代，从而通过师生交互引出完整的概述概念，使学生能够感知函数概念的建立过程。

3.概念辨析

若想使学生全面理解函数概念，教师还需将函数概念的内容作为基础从四个方面指导学生明确函数概念的内涵。其一，在函数概念中定义在集合上的一个函数f所表示的是变量y与x之间的对应关系，但在实例中这种对应关系不止一种；其二，对于函数概念中的y=f（x），f与x二者之间并非属于乘积关系，所指为x对应的函数值。其三，对于函数概念中的f（x）属于一个数学符号，指的是“y是x的函数”，对于一个数学符号，同样可以应用h（x）、d（x）等表示函数，并非仅局限于f（x）。其四，函数的三要素涵盖定义域、值域以及对应关系，如果能够确定其中两个要素，那么第三个要素也能确定。为使学生深层理解函数三要素，教师可以利用多媒体设备为学生呈现初中阶段的三种函数图象，分别为一次函数、二次函数以及反比例函数，如二次函数，基于高中函数三要素视角对其分析：对应关系应为“y=ax2+bx+c（a≠0）”；定义域为“R”；值域为“当a＞0y|y≥■，当a＜0y|y≤■”。

（三）应用——例题演练知识迁移

在学生理解函数概念之后，教师应及时开展例题演练，使学生能够将函数概念内化到知识框架中，也可以优先选择教材中的例题展开教学，或者借助网络渠道中的优质课例甄选例题，并在学生解题的过程中了解学生对函数概念的掌握情况，考查学生是否能够学以致用。例如，教师呈现“g（x）=■”，要求学生利用所学知识求出函数的定义域，呈现“f（x）=■”，要求学生求出函数f（x）值域等。

（四）分析——初高概念异同对比

在函数概念教学中，对初中、高中两个学段函数概念异同的对比能够再次强化学生的新旧知识衔接效果，帮助学生进一步从变量观过渡到集合观，从而使学生建立完整、清晰的函数概念框架。初高中函数概念相同之处主要在于对应关系满足的条件相同，即唯一性和任意性，不同之处主要在于初中阶段所针对的是变量与变量之间的依赖关系，而高中阶段的函数概念是两个非空集合的对应关系。

（五）创造——布置练习促进应用

根据评估证据，在函数概念教学的最后一个阶段，教师应为学生布置与函数概念相关的、具有一定难度的练习题目，要求学生结合已有的学习经验自主完成练习题目。一方面，教师可以将练习题目作为随堂练习，利用课堂教学冗余时间结合学生的习题完成情况评价学生的知识应用能力、评价学生是否全面地掌握了函数概念。另一方面，教师可以将练习题目作为课后作业，通过批阅了解学生的函数概念知识掌握情况。

综上所述，逆向教学模式的应用关键在于立足预期的学习结果设定评估证据，将评估证据作为基础规划学生的学习体验，在评估证据设定阶段本文引用了学习进阶的一般模型，即“记忆→理解→应用→分析→创造”，在这一模型的指导下，所设定的评估证据、所规划的学习体验也将具备一定的进阶属性，能够进一步提升函数概念课程“教”与“学”的实效。

（作者单位：江苏省徐州市第一中学）

编辑：温雪莲