展佳 孙兰

注：本文系苏州市“十四五”规划课题“基于优化学生数学思维品质的任务设计实践研究”（项目编号：2022/LX/02/154/03）的研究成果。

作者简介：展佳（1994—），女，汉族，江苏太仓人，本科，中学二级，研究方向：高中数学。

孙兰（1979—），女，汉族，江苏太仓人，本科，中学高级，研究方向：高中数学。

在传统的数学课堂教学中，教学过程多是由教师讲解，学生被动接受信息。但从反馈回来的结果可以看到，课堂教学被局限在固定的模式中，学生的成绩“不增反减”，思维品质“停滞不前”，学生彻底成为课堂中的“木偶人”。针对这种情况，笔者尝试将任务型教学融入课堂环境中，包括情境导学任务、驱动任务、作业任务等，不同任务的形式虽然有所差别，但核心依旧是围绕学生，通过师生交流、生生交流，让学生切实参与课堂，感受知识的发生、发展过程，最终使学生的思维品质得到良好发展，为他们的成长打好基础。

“数列的概念”是2019人教A版高中数学选择性必修二第四章“数列”第一节第1课时内容。作为章首课，“数列的概念”和“通项公式”在学习中起着承上启下的作用。一方面，在数列概念的归纳、提炼过程中蕴含着函数思想，通过学习数列，深化完善函数模型。另一方面，本节课也是学习后面等差、等比数列的基础。但是在实际教学中，教师和学生往往忽视数列概念的形成过程及对概念内涵的理解，更关注于后面的实际应用，使得学生对数列的本质“知其然而不知其所以然”。本节课，笔者设计了三个学习任务，围绕数列概念的教学进行了精心设计与实践，获得了一定成效。

一、导入任务，创设情境，经历数学概念的形成过程，培养思维的创造性

请根据下面4个情境，回答问题。

情境1：传说古希腊毕达哥斯拉学派的数学家在研究数的时候，喜欢用沙滩上的小石子表示数。石子能够摆成不同的几何形状，就产生了一系列有形状的数，如三角形数、正方形数、五边形数等。请从小到大依次写出沙滩上的三角形数。

情境2：古语有云，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。若将起始长度理解为一个单位，那么每天所剩的长度依次为■，■，■，■……

情境3：从1984年至今，我国参加奥运会各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32，51，38，26，38。

情境4：-■的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排列成一列数：-■，■，-■，■……

问题1：上面4个例子中的数据，在排列上具有怎样的共同特征？

学生经过自主探究，还不能解决这个问题。这时教师可以顺势引导，抛出问题：如果任意改变数据的位置，还能不能表示相同含义？

此时学生一致认为，这四列数的排序都是有顺序的，不能随意改变位置，此时教师给出数列的概念，板书并强调有序性。

问题2：（1）情境1中数列1，3，6，10与数列1，6，

3，10一样吗？

（2）小明在高一阶段的4次大型考试中成绩排名分别为1，1，1，1，请问这组数据是数列吗？你还能结合生活实际，给出一些数列的例子吗？

（3）数列的概念与我们之前学习的集合概念有何区别与联系？

随着学生的思考交流，以上问题接连解决。学生能从有序性和互异性两个角度厘清数列和集合的区别，充分认识到数列是按照一定顺序排列的一列数，这些数可以相同，也可以不同，只要具备明确的意义。

师：数列中的每个数都称为数列的项，排在第一个位置上的数，我们称它为该数列的第一项（或首项），记作a1，排在第二个位置上的数，我们称它为该数列的第二项，记作a2，以此类推，第n个位置上的数，我们称它为该数列的第n项，记作an。由此，大家能发现什么规律？

生1：一个数列中的每项都有一个位置序号与它一一对应。

师：非常好，根据这种对应关系，我们可以把数列写成a1，a2，a3，…，an，简写为an。

学习和创造都离不开思维，思维是发展智力和能力的核心。因此，在课堂教学中培养学生的思维能力、优化学生的思维品质是课堂教学的重要任务之一。在教学过程中，教师对教学策略的自控能对数学思维品质的培养起到积极作用，通过创设合适的教学情境，引导学生往正确的思路上走，帮助学生解决思维冲突，及时总结规律、方法和技能。任务一中的四个情境不仅涉及历史悠久的问题，还贴近我们的生活实际，在激发学生学习兴趣的同时，更容易引起学生的共鸣，引导学生共同观察、分析、总结归纳出数列的概念，从而提升学生数学抽象、数学建模的核心素养。

二、驱动任务，探索新知，感受数学概念的内涵与外延，培养思维的严谨性

请同学们将刚刚的几组数列分别填入表1，并思考下面几个问题：

问题3：对于这些丰富的数列，如何进行分类？

问题4：项数与项之间的“一一对应”与之前哪个概念是一致的？

表1

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起初，学生的分类五花八门，缺乏整体性和科学性，但在教师的引导下，很快能联想到从项数和单调性两方面来分类，并顺利得到表2。

表2

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通过完成表1，学生可以发现项数n和项an之间存在一一对应关系，联想到之前学习的函数概念，发现数列是一种特殊的函数。

问题5：数列是一种特殊的函数，我们可以借助函数的研究路径研究数列。一起回忆一下，我們研究了函数的哪些方面？

生2：定义域、值域、单调性。

生3：表示方法，最值，一些特殊函数的性质。

师：数列的定义域，值域是什么？

生4：正整数集和实数集。

师：非常好！我们可以将数列理解为从正整数集N或其有限子集到实数集R的函数。

问题6：函数有三种表示方法——列表法、图象法、解析式法。请同学们尝试用三种表示方法表示情境2中的数列。

学生很快完成列表，但在作图过程中，部分学生先描点再连线，此时教师可以适时追问：数列的定义域是什么？可以连线吗？学生恍然大悟，数列的图象是由一些孤立的点构成。所谓的函数解析式，在数列中称为通项公式，用来刻画数列中第n项an与它的序号n之间的关系，如情境2：an=■■

问题7：你能用3种表示方法来表示情境3、情境4中的数列吗？

学生梳理知识点，数列是一种特殊的函数，其图象具有离散型，以及不是所有的数列都有通项公式。

教师在课堂中要根据学生层次设置问题串，搭建思维阶梯，引导学生思考、感受知识的内涵与外延，从而培养学生的思维品质。任务二就是通过问题串形式，引导学生联系函数概念，揭示数列是一种特殊函数，从而类比函数，构建数列的研究路径：事实—概念—表示—性质—特殊数列。在独立探究和小组合作中感受数列的三种表示方法，让学生从表和图中观察该数列的图象特征，数列的项随序号变化出现的特点，引导学生发现数列图象的离散以及它的单调性。

三、检测任务，评价反馈，重视数学概念与其他相关知识的联系，培养思维的灵活性与发散性

练习一：已知情境2通项公式an=■■

（1）求第5天的剩余量是多少？

（2）是否存在■的剩余量？为什么？

练习二：已知情境1沙滩上的三角形数前4项为1，3，6，10。

（1）写出第5项、第6项、第100项。

（2）写出该数列的通项公式。

（3）你觉得我们还能研究哪些问题？

学生思维品质的培养还需要教师在课堂上给予时间和空间。尤其是课上的习题处理，应该给予学生充分的时间和话语权进行数学表达。练习一将情境2中的数列通项公式直接展示给学生，求解关于项的问题，直接而强有力地让学生感受到通项公式对数列取值规律的精确刻画。练习二的设计不仅是将数学史融入丰富的课堂内容中，更是借鉴与重构，从历史背景中抽象出具体问题，引导学生自主探究、合作交流，通过开展观察、猜想、验证、归纳、推理等数学活动，感受数列间的递推关系，推导通项公式，提升思维的灵活性和深刻性。

四、总结与感悟

学生完成以上几个任务，并不意味着他们已经完全掌握了数列概念。概念教学是一个循序渐进的过程，学生认知发展具有连续性、发展性、差异性等特点。因此，教师在设计教学任务时要注重教学环节的环环相扣，不断夯实基础，巩固提升。

从某种程度上讲，数学教学实质上就是学生在教师的指导下，通过思维活动，学习数学家思维活动的成果，同时发展个体的数学思维。高中生数学思维能力的培养是数学教师教学研究的中心，而数学思维发展的规律对数学教学具有重要的指导意义。

相比传统教学，任务导向不仅注重培养学生对知识的掌握，还注重学生的学习方法与能力及数学思维品质的发展，在一定程度上影响了“教”和“学”的方式，主要体现在以下三點。

第一，学生的学习方式发生了改变，改变了传统教学中以教师讲为主，学生听、做笔记的状态。教师创设的情境，使学生对概念的生成有一个分析、归纳、概括、数学表达和辨析的过程，在过程中建立对概念清晰、准确的认识，感受概念的发生、发展过程，促进学生主动地学习数学知识。

第二，提升学生解决问题的能力，通过任务驱动学生循序渐进的发展，思考任务，完成任务，完成预定教学目标的学习，层层递进式推进教学，也符合学生的认知发展规律。

第三，对教师提出更高要求，转变教的方法。教师教学前要做好充分的准备，以便课堂上更好地给学生传授知识，避免出现“满堂灌”的现象，教师在课中、课后要及时对学生进行学习追踪。

（作者单位：江苏省沙溪高级中学）

编辑：赵文静