作者简介：方天佑（1976—），男，汉族，甘肃庆阳人，大学学历，一级教师，研究方向：高中数学教育。

相较于其他学科，高中数学知识抽象性显著，尤其三角函数知识点是高考重点内容，不仅需要学生扎实掌握基础知识，还要灵活运用解题技巧，切实提升教学成效。

下面以“三角函数”为例，阐述深度学习理念下高效课堂的建设，培养学生核心素养的同时提高学生综合实践能力。

一、教材分析

高中三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质、图象和应用。其中，正弦函数和余弦函数主要讨论周期性、最值、对称性等方面，而正切函数则主要讨论定义域、值域、单调性等方面。从代数、几何两个角度分析函数，可将三角函数内容分为运算主线和函数主线，并将两个主线整理如下，见图1。

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图1

二、学情分析

学生在三角函数之前已经学习了一些基本的函数知识，对函数的概念、性质和图象有一定的了解。同时，学生也掌握了一些基本的数学思想和方法，如数形结合、转化和归纳等。部分学生对三角函数感到新鲜和陌生，但也有一些学生可能对三角函数有所了解，因此不同的学生学习态度和兴趣可能会有所不同。

三、教学目标

1.通过学习三角函数的概念和性质，培养学生创新意识和实践能力，并使其在实践中应用所学知识。

2.使學生掌握三角函数的计算方法，包括角度转换、三角函数值的计算、三角函数的图象表示等，并能够解决一些实际问题，锻炼问题解决能力。

3.培养学生逻辑思维能力，包括观察、分析、综合、抽象、概括等能力，并使其解决一些实际问题。

四、教学重点、难点

教学重点：（1）理解三角函数的概念和基本性质。（2）掌握三角函数的值域和解析式。（3）能够应用三角函数解决实际问题。

教学难点：（1）理解和应用正弦函数和余弦函数的图象和性质，如周期性、最值、对称性等。（2）正确地掌握正切函数的图象和性质，并能够将其应用到具体的解题中。（3）正确地掌握三角恒等式和三角不等式，并能够将其应用到具体的题目中。

五、基于深度学习的高中数学课堂教学设计——以“三角函数”为例

（一）情境导入

教师：大家好，你们坐过摩天轮吗？摩天轮上的缆车是如何运动的？（播放摩天轮视频，让学生观察摩天轮并思考。）

学生A：摩天轮是一个圆，而缆车则是圆上的一个点，缆车的运动轨迹就是圆周。

教师：这位同学回答得很好，但请同学们再深入思考，缆车在摩天轮上的具体位置该怎样确定呢？

问题探究：如何理解“具体的位置”？

教师：将摩天轮比作圆，并假设圆的半径为r，某一点（缆车）以角速度ω（度/min）运动了t（min）的位置为“具体的位置”。采用何种方法可以将“位置”清晰表示出来？

学生A：基于以往数学知识，可以利用直角坐标系表示位置，水平方向为x轴，垂直方向为y轴。

学生B：将圆的圆心与原点O重合，假设圆的半径r=1，点的起始位置为圆与x轴正半轴的交点是（1，0）。

学生C：圆的半径为1，起始位置P（1，0），点围绕原点进行逆时针匀速圆周运动后达到P（x，y）点，角速度ω、时间t、位置P（x，y）又存在什么关系呢？

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图2 摩天轮简化模型

教师：如果我们仅考察x轴、y轴，又该如何用函数表示呢？

学生A：在x轴上，可以设计函数f（0+ωt）=f（ωt）=x。

学生B：在y轴上，可以设计函数g（0+ωt）=g（ωt）=y。

教师：对于ωt，同学们有什么想法呢？

学生A：随着时间t的增大，ωt也会随之增大，但会超出0～360°的范围。

教师：同学们可以尝试着从旋转方向、旋转角度两个方面定义角。（任意角定义的教学）

教师：对于f（ωt）=x，各位同学有什么想法呢？（弧度制教学）

学生A：ω为度，圆周为弧度，度和弧度两者该怎么转化呢？

学生B：我们可以利用初中经验完成度和弧度的转化，利用初中经验得到■=■，再利用不变量思想实现弧度制的定义。

教师：那我们来重新认识一下f（ωt）=x。设ωt=α，则会得到函数关系f（α）=x，g（α）=y。同学们可以回忆一下初中锐角三角函数，高中f（α）=x，g（α）=y与初中锐角三角函数有什么异同之处？

学生A：在第一象限中，f（α）、g（α）和初中三角函数表达式一致。

学生B：自变量的范围不一样了。

（设计意图：都是关于“角”的函数，在学习过程中使学生学会运用类比思想。）

（二）探究新知

教师：设α为弧度制，若处于锐角范围内，同学们思考一下f（α）=x与cosα=■是一致的吗？怎么辨析两者？

学生：两者是一样的。可以从函数的三要素着手思考，自变量α和对应关系一致就可以。可以运用数形结合的方法分析两个函数，明确两个函数的关系。假设角α与单位圆相交于A（x1，y1），作A点垂直于x轴相交于B点，构成三角形OAB；在角α终边上取一点，记为P（x，y），作点P垂直于x轴相交于M点，构成三角形OPM。运用相似三角形性质，可得cosα=■=x1，说明对应关系一致。

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图3 探究三角函数定义

（设计意图：三角函数是函数领域的重要主题，认真学习三角函数，可由浅入深地理解函数性质，帮助学生树立辩证思维，明晰三角函数的辩证关系。）

教师：刚刚研究的是在锐角内两个函数是一样的，那在钝角内，同学们思考一下f（α）=x与cosα=■是一致的吗？怎么辨析两者？

学生A：可能是一样的吧。

学生B：两者不一样。f（α）在第二象限内的值为“-”，而在初中函数知识中，cosα的值为比值，始终为正数。

教师：有了不同的想法，这说明了什么？

教师：我们要清楚初中的三角函数知识是低阶的，是“三角比”，根据已知角求边。如果斜边固定为1，在0～90°内，两者一致，得到f（α）=cosx=x。其中的cos与初中cos则是不同的。

（设计意图：在任意角、弧度制的定义教学中，使学生对f（α）、g（α）两个函数表达式有更加深入的认识。）

教师：设角α是任意角，在角α终边上取一点，记为P（x，y），该点不与原点O重合，P点与原点的距离为r。请同学们求证：cosα=■，sinα=■，tanα=■，并总结任意角三角函数实质。

学生：实质为“R→［1，1］”的对应，即角与角终边与单位圆焦点的坐标的对应。

（三）总结回顾

学习了新的知识点后，教师要加强学生对知识点的理解，为学生布置课堂练习题，可在PPT上将三角函数练习题呈现出来。

教师：请同学们运用刚刚课堂上学习的新知识点计算PPT上的练习题，求得三角函数值。

PPT上呈现的练习题：计算sin150°的三角函数值。

（四）作业设计

作业一：求■的正弦值、余弦值与正切值。

作业二：求证：角θ为第三象限角的充要条件是sinθ<0tanθ>0。

作业三：若sinα=-■，求α值。

（设计意图：帮助学生理解、掌握三角函数定义，并灵活运用诱导公式求得三角函数值。）

六、“深度学习”评价体系的多元

在三角函数深度学习课堂中，可采用过程性三角函数单元学习评价模式，具体如表1（见文末）。

七、教学反思

（一）因材施教，感知数学知识本质

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修訂）》鼓励教师创新教学方法，以学生实际学情作为基准，践行因材施教原则。高中数学教师要全面了解学生，为学生制订个性化学习方式，提升学生学习质量。因数学知识较为抽象，学习难度较高，教师需斟酌问题的提出方式，既包含课程教学要点，又蕴含趣味性，让学生产生自主探究的欲望，并付诸行动。深度学习教学活动的设计，有助于锻炼学生独立自主解决问题的能力，对学生综合实践能力提升有重要意义。

（二）层层递进，实现高阶思维发展

深度学习不是一蹴而就的，而是层层递进的学习过程，由浅入深，实现学生高阶思维的发展。高中数学教师要通过深度学习教学活动提高学生认知水平，实现学生创新能力的培养，让学生扎实掌握知识，利用知识点层层解析问题，抽丝剥茧，直至问题核心，快速解决问题。这样，学生对高中数学基础知识的掌握愈加扎实，能了解知识本质，灵活运用数学知识解决问题，对自身高阶思维的培养具有重要意义。

（三）深化问题，掌握问题解决办法

深度学习教学模式能引导学生了解知识来源，在深挖知识来源过程中强化学生自我批判意识，使其不断自省，积累丰富的学习经验。处于高中阶段的学生，思维发展较为成熟，但水平不一，高中数学教师设计问题时要遵循学生这一特点，设计难度不同的问题，学生可依据自身情况选取问题并予以解决，也可鼓励学生挑战高难度数学问题，锻炼学生问题解决能力。

（作者单位：甘肃省庆阳市庆阳第四中学）

编辑：赵飞飞