胡柳青

［摘  要］ 好的概念教学应该关注知识形成过程，激活数学思维. 文章以“方差与标准差”教学为例，谈谈在“三个理解”下如何利用问题链进行概念教学，进而提升学生的核心素养.

［关键词］ 方差；概念形成；问题链；核心素养

章建跃先生强调数学教学应注重“三个理解”：“理解数学”是教学本质，“理解学生”是教学前提，“理解教学”是教学保障. 教学着眼点如果不在教学内容与学生现实，只是关注结果与操练，生动课堂就成为死板训练场，学生难以真正获取知识、发展思维和提升素养. 本文以浙教版八年级下册“方差与标准差”一课为例，谈谈在“三个理解”下如何利用问题链进行概念教学的探索及反思，望大家批评指正.

实录与评析

1. 创设情境，提出问题

师：数据收集后，我们会用统计图表进行整理、描述、分析、判断，为决策提供依据，请看如下问题：

问题1：第19届亚运会将在杭州举行，国家射击队想从甲、乙两人中挑选一人参加比赛，你认为该如何挑选？

教师出示甲、乙第一次射击命中环数如表1，提问能否根据数据挑选.

众生：不能，数据太少，无法反映甲、乙水平，乙第一次命中10环，第二次却可能是0环了.

师：如果两人射击命中环数如表2，你觉得挑选哪位比较适合？

众生计算得出表3，选择参赛人员并说明理由.

生1：选择乙，乙有两次命中10 环，比赛中很有可能得高分.

生2：选择甲，甲成绩比较平稳，有三次命中8 环，心理素质好，比赛中应该不容易出错.

生3：我觉得平均数、中位数一致，众数相差不大，甲的极差稍小一些，是不是说明选甲应该更好一点？

评析  课堂教学从一个有趣而开放的问题出发，让学生直观感受数据可以反映现实生活，理解运用样本估计总体的可能性与必要性. 通过复习已学知识，对数据有效处理，运用数据推理，使学生理解只凭集中趋势的统计量无法做出合理决策，感悟统计量的不足，形成认知冲突，体会寻找新的统计量表示数据离散程度的必要性，进一步发展他们的数据分析观念.

2. 多维探究，寻求突破

问题2：刚才某同学说，甲成绩更加稳定，你是如何看出来的，有没有更加直观的方法反映数据波动情况？

生2：可以将表2数据绘制成折线统计图1，甲基本成一条直线，乙的高低不平，甲应该更稳定.

生3：甲每次成绩都比较接近平均数8，乙的成绩偏离平均数8较多，所以甲的成绩更加稳定.

师：很好，我们从图形上得出甲更为稳定，那么从数量上是不是也可以用某个特征数来表示？

学生小组合作，教师巡视指导，选择代表发言.

生4：我们将数据与平均数的差进行累加，想用甲、乙偏差和来描述，不过发现和为0，应该是正负刚好抵消了，所以不能直接用偏差和来表示波动程度.

师：那么，你有办法不抵消吗？

生4：我们又试着用数据与平均数偏差的绝对值之和，甲、乙分别为2 环和8 环，这样就可以表示波动程度.

师：如何判断？

生4：偏差绝对值之和大的不稳定，小的更稳定.

师：有没有其他方法，也可以不抵消呢？

生5：可以通过求偏差平方和，甲、乙偏差平方和为2和16，同样得到大的不稳定，小的更稳定.

生6：能否用偏差立方和？（学生指出不可以，正负又会抵消）

生7：是不是可以用偏差4次方，或者更高的偶次方？（学生认为次数太高，计算太困难，用平方就可以）

师：很好，通过研究我们发现可以利用偏差绝对值和偏差平方来衡量稳定性（如表4），你觉得用哪一个更好些？

经学生讨论，教师指出对偏差进行平方使得离散程度更加明显；平方和相对便于计算，绝对值则需进行变号处理，程序复杂度增加，因此通常选择偏差平方和.

问题3：为更好地反映两人水平，教练组织两人重新比赛一次. 但是乙只打4枪，甲打了8枪，成绩如表5，上述偏差平方和还能真实反映两人成绩稳定性吗？可以如何改进？

生8：从数据看明显是甲稳定，但计算偏差平方和却都是18. 次数不同，比较起来不公平，次数多的和相对会大一些，我觉得可以求偏差平方和的平均数.

师：非常不错. 我们把数据偏差平方和的平均数叫作这组数据的方差，作为衡量数据波动程度的特征数：s2=，其中是平均数，n是数据个数.

师：“方差”由罗纳德·费雪提出，并由此创设方差分析等理论，旨在更深入、更准确地剖析物种的变异原因. 如果一组数据方差为0，你能解释是什么意思吗？方差可以为负数吗？

生9：这些数都等于平均数，比如：5，5，5，5，5，5，就没有波动了. 方差也不能为负数.

问题4：丙、丁某次射击成绩如表6，计算平均数与方差，你会选择谁参加比赛.

师：丙、丁方差是4.25和1，应该选丁参加比赛吗？

众生：不對，丁平均成绩只有3环，丙平均成绩是6 环，应选择丙.

评析  直接观察会有局限，教师引导学生利用折线统计图反映波动情况，结合图像选择平均数作为波动的参照对象，为方差形成做铺垫. 通过问题2、3，教师引导学生讨论从偏差和到偏差绝对值和到偏差平方和，最后到偏差平方和的平均数，借助实例比较优劣，精心建构方差概念与公式，充分经历方差形成过程，感受到学习方差的必要性. 教师适时引入数学史，由一组相同数据的方差特例对公式进行解释，体现方差公式的科学性与正确性，并紧密联系生活. 通过问题4熟悉方差运算过程，明确方差作用，平均数相等（接近）时，考虑运用方差来刻画离散程度，不偏颇不扩大，进而明晰统计量区别与联系.

3. 变式练习，巩固提升

师：下面我们可以利用方差公式解决实际问题5，哪位同学愿意上黑板写解答过程？

问题5：为观察甲、乙两块地的小麦长势，从中分别抽取10株苗，测得苗高如下（单位 cm）：

甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；

乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.

哪块地的小麦长得比较整齐？

生9板演：平均数甲=13（cm），平均数乙=13（cm），方差甲=3.6（cm2），方差乙= 15.8（cm2），方差甲<方差乙，所以甲地小麦长得比较整齐.

师：你计算的是10株苗的方差，为什么可以判断甲比乙长得整齐？

生9：利用样本可以估计总体，不过样本选取要合理，例如要在不同区域选取.

师：还有个小问题，方差单位是cm2，有什么办法将单位统一成cm？

生10：可以开平方，使单位变成cm.

师：用方差来描述离散程度时，平方可能“夸大”离散程度，并且与原数据单位不一致，通常可以求算术平方根，将其称为数据的标准差：即s==. 用标准差来刻画数据离散程度可以更加精确、客观，当然计算上会相对麻烦些.

问题6：将甲中每个数都减去平均数13（或扩大2倍）如表7，得到一组新的数据，并画出折线统计图（如图2），你发现哪些有趣的结论？

生11：将每个数减去平均数，新数据平均数为0，偏差程度相同，折线图形状相同，新数据与原数据的方差相同.

生12：将每个数扩大2倍，新数据平均数扩大2倍，折线图偏差更加明显，新数据比原数据的方差应该变大，会不会也是扩大2倍？

师：你能通过计算加以说明吗，一般地，若x，x，…，x的方差为s2，则ax+b，ax+b，…，ax+b的方差会是多少？

学生计算后得出：加上（减去）相同的数，方差不变；扩大（缩小）a倍，方差为原方差的a2倍.

评析  学习是一个不断生疑、质疑、释疑、解疑的过程，教师提出富有价值的问题引发学生持续探究，是有效教学的重要保证. 利用问题“10株苗的方差，如何判断甲、乙两块地小麦的整齐度”体会统计研究以样本为依据，统计结果具有随机性，渗透学法指导，能加深学生对统计思想的理解. 利用问题“如何将单位统一”自然得到标准差，将学生思维引向深入，这也是求新、求简意识的体现. 问题6从形的角度得到稳定性，再从量的角度计算得出方差情况，体会方差的实际应用，最后从特殊到一般得出方差变化规律，从而提升学生对方差的理解程度，增强其思维深度.

4. 归纳小结，建立体系

师出示“问题清单”，进行课堂回顾与反思：

（1）本节课研究了哪些内容？我们是如何研究的？

（2）方差和标准差在数据分析中的作用是什么？

（3）计算方差和标准差需要经历哪几个步骤，方差有什么主要特征？

学生合作交流，教师倾听、评价并进行总结性讲解.

问题7：甲、乙射击10次成绩统计如图3，填写表8，并从以下角度结合不同统计量对结果进行分析：

（1）谁的成绩更稳定（平均数+方差）？

（2）谁的总体成绩更好（平均数+中位数）？

（3）谁得高分机会更大（9环以上频数）？

（4）谁更加有潜力（折线统计图的趋势）？

评析  通过问题清单引导课堂小结，问题（1）指向“学什么与怎么学”，问题（2）关注“有什么用”，问题（3）明确“如何运用”. 教师引导学生总结学习过程，再次整体建构，既总结知识形成体系，又对方差研究的基本方法和基本路径再次回顾，为后续学习提供了路径和方法. 问题7综合运用所学知识，从不同角度分析问题，让学生更好地理解各类统计量的作用，明晰数学源于生活、服务于生活.

几点思考

1. 基于“三个理解”的课堂主线

“理解数学”，要把握数学内容本质，对其中蕴含的思想和方法深入理解；“理解学生”，要全面了解思维规律，把握认知特点；“理解教学”，要把握教学基本规律，按规律办事［1］. “方差和标准差”是浙教版八年级下册“数据分析初步”第三节内容，用方差来反映数据离散程度，在初中统计知识体系中占有重要位置. 此时，学生初步具有统计思想，能理解并运用“三数”反映数据集中程度，对衡量数据离散程度的必要性及合理性的理解有待提升. 此外，方差公式冗长、逻辑性强，不易记忆理解，学生计算上也有困难. 基于此，教师确定教学目标如下：（1）通过问题情境，经历方差产生过程，建构方差（标准差）概念；（2）借助实际问题，掌握方差（标准差）计算公式，体会方差（标准差）能反映数据的“离散程度”；（3）结合实际情境，体会借助方差（标准差）量化波动程度，积累统计经验并提高应用意识. 教学重点：理解方差概念以及算法、统计意义，应用方差解决实际问题. 教学难点：理解数据离散程度的含义，对方差意义理解，体会方差算法的合理性. 形成以目标导学的思维课堂主线，以学为中心，以思维为核心，以问题串形式引领教学流程，学生在自主、交互、体验学习中完成知识建构、方法提炼、统计思想体验. 具体设计如图4.

2. 基于问题链的重难点突破

课堂教学既要力求“自然”，又要保证“效率”，在“取”“舍”之间做好“度”的把控. 方差是用“先平均再求差，后平方再平均”表示数据偏离情况，合理性何在，必要性为何？正是本节课的重难点，需要花较多时间、花较多功夫对概念解释引导，展示形成过程. 教师要通过设计问题链，不断营造认知冲突，让学生在思考、探究、讨论、表达过程中，充分体验概念的产生、形成、发展. 问题 1从生活到数学，在平均数相等情况下无法反映两组数据的不同情况，造成第一次认知冲突，让学生感受统计量不够用，需引进新的统计量进行决策. 问题2从形到数，让学生直观感受数据波动不同分布不均，偏差确实存在：稳定在平均数周围，波动较小；与平均数偏离较多，波动较大. 这样学生自然想到利用偏差和，但得到和为0，出现第二次认知冲突：如何确保偏差和不被抵消，以反映数据波动的事实存在. 学生想到给偏差取绝对值，出现偏差绝对值和，这合乎数学逻辑，也合情合理，但绝对值运算需判断正负，不方便也更不经济，出现第三次认知冲突：如何寻求与绝对值相同效能的简便方法. 对偏差取平方，求得平方和，初步形成概念. 问题3从特殊到一般，通过积少成多，体会数据个数对偏差平方和的影响，出现第四次认知冲突：如何减少个数影响. 利用偏差平方和的平均数衡量波动，从而得到方差，进一步精确概念. 问题4从一般到特殊，让学生明晰方差运用场景，强调统计量的相互联系. 问题 5通过实例熟悉方差计算公式，进行决策，从而发现问题：一是数据单位不同，如原数据为个、分钟等，方差则为平方个、平方分钟，这是何等怪物；二是数据结果伸缩，原數据1和3相差2，经平方后1与 9 相差8，又如 0.1 与 0.3 相差0.2，经平方后0.01 与0. 09相差成0.08. 此时出现第五次认知冲突：如何使单位得以正常，数据得以还原. 学生自然得出标准差，在跌宕起伏的过程中理解概念形成是必然的，知识学习是自然的. 问题6从形到数，进行规律性变化，学生观察图形得到方差的变与不变的猜想，通过计算对猜想进行验证，从而更深入地理解方差. 问题7从方差到其他统计量，学生综合运用统计量进行决策，复习数据集中与离散的相关知识，整体形成知识结构.

3. 基于过程教育的素养养成

史宁中说过：对于数学教育，所说的过程，不是数学知识产生的过程，也不是数学家所描述的数学思维过程，而是学生自己理解数学的思维过程［2］. 培养统计观念最有效的方法就是在数据收集、整理、描述、分析过程中，学会用数据说话，认识统计对决策的作用，体现数学素养以及培养应用意识. 本节课以典型的、有趣的问题为载体，教师引导与学生建构相结合的适度开放教学，充分体现“过程教育”思想. 方差概念形成时，既有合作解答“选拔问题”的认知过程，认识平均数不足以解决问题，需寻求衡量数据稳定性的特征数，也有观察、归纳特征数算式，定义方差的探究过程；方差概念建构后，有不断反思的认知过程，明确方差的意义与作用，与“三数”的区别与联系；标准差概念精确时，既有与方差比较的认知过程，以巩固概念和发展计算技能，也有问题解决后的变式提升过程，综合运用统计量形成决策，加深学生对方差等统计量的理解与运用. 课堂教学中，既有学生充分思考、探究、计算的活动过程，也有教师准确、清晰、富有启发性的讲解过程. 为什么要衡量离散程度？“三数”等衡量集中统计量无法决策时，只有选择新的特征数. 为什么选择平均数为基准？极差只能反映两个极端值的离散程度，中位数、众数只用到部分数据，均没有充分利用所有数据，不具有普遍性. 为什么还要出现标准差？方差（标准差）都可以反映数据的离散趋势，方差运算最为方便，标准差更为客观……通过问题串，实现学生对方差知识的习得过程，对方法经验的习得过程，思维从低阶到高阶的培育过程. 教学中，教师唤醒学生探究意识，引发学生深度思考. 学生多层次思维参与其中，各思维层次能力交互作用，螺旋上升，由此发展了自身的高阶思维.

总之，数学教学不应只是知识呈现与解题操练，要在“理解数学”“理解学生”“理解教学”的基础上，让学生经历知识产生、发展与应用过程，获得“四基”“四能”的有效发展，培养学会观察、学会思考、学会表达的数学核心素养，这样的课堂才有我们所追求的高效教学和深度学习.

参考文献：

［1］章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［2］史宁中. 数学基本思想18讲［M］. 北京：北京师范大学出版社，2016.