钱德春 张杰

【摘 要】 以2022年泰州数学中考题为例，阐述数学教学中“运算”与“思维”、“巧解”与“通法”的辩证关系，提出了“‘少算多思的核心要义是数学思维，‘巧解特法的前提是掌握通性通法，‘数学观念是数学教学的上位目标”的观点.

【关键词】 少算多思;通性通法;数学思维;数学素养;数学观念

2022年泰州数学学业水平考试试卷（以下简称“2022年泰州卷”）面世后，许多师生觉得试卷运算量大、过程繁杂，究其原因，是缺少对数学本质的关注与通性通法的认识，没有以正确的观念理解数学，而是以机械的操作代替数学的思维.人们在数学学习中希望少一点繁杂的运算与推理，多一点快捷的方法与技巧，这是正常的心理现象.然而多思方能少算，巧解源于通法.思维是数学的灵魂，数学问题的解决需要必备的知识、技能与方法，更需要科学的思维方式、数学的通性通法与正确的数学观念.因此，数学教学目标要实现从知识到观念的进阶.本文以“2022年泰州卷”试题为例，谈谈对培养学生数学思维与数学观念的思考.

2 关于数学教学目标进阶的思考

纵观上述案例发现：多思方能少算，巧解源于通法.“少算多思”的核心要义是数学思维，“巧解特法”的前提是掌握通性通法.在数学教学的诸多目标中，数学观念是数学教学的上位目标.数学教学目标要实现从数学知识到数学观念的进阶.

2.1 “少算多思”的核心要义是数学思维

4个案例说明：数学思维的缺位可能导致运算或推理过程复杂化，有时甚至问题无法解决；反之，思维量的增加可能带来运算量的减少、解题方法的简化、解题正确率的提高.由此可见，“少算多思”的核心要义是数学思维.

以案例1，2为例.作为填空题，案例1不需要写出过程.如果不假思索地直接套用加权平均公式，就需要分两次运算；如果理解“权”的本质，并观察表格的数据特征，就能迅速作出正确的判断，两种方法孰优孰劣一目了然.案例2两种方法的目标都是得到不等式（m+n-1）（p-1）<0，但解题途径和心理体验完全不同.方法1将“组合函数”整理成一次函数的标准形式y=（m-n）x-mp+3np-2m，将x=2p+1代入标准形式再进行整理，这是一种“思维定势”，运算过程重复而又繁杂；方法2在整体上把握“组合函数”的结构特征，将x=2p+1直接代入，发现m、n的系数都是p-1，提取p-1后立即得到目标不等式.显然方法2更胜一筹.两个案例说明了一个道理：数学思维是决定运算量大小的重要因素.“教师在教学中应引领学生体验和感受数学思维的简洁美，在通性通法的基础上尽可能提炼优法简解，践行少算多思理念的关键在于梳理条件和规划思维.”［1］

需要说明的是：提倡“多思”并非不需要代数运算，“多思”不只是为“少算”，运算量大小不是衡量数学思维的唯一标准，科学的思维、合理的方法还能给人以愉悦的心理体验.数学的研究除了解决现实问题、促进数学自身发展外，还有一个重要的作用，就是让研究者“享受精神优雅，促进精神愉悦”.如计算（3x2－6xy）（5xy+10y2）时，观察算式发现：乘积中的第一个因式3x2－6xy变为3x（x－2y），第二个因式5xy+10y2变为5y（x+2y），而x－2y与x+2y的积恰好可运用平方差公式.故原式=3x（x－2y）·5y（x+2y）=15xy（x2－4y2）=15x3y－60xy3.若直接用多项式乘法法则计算：原式=15x3y+30x2y2－30x2y2－60xy3=15x3y－60xy3.比较发现，就运算步骤和书写量而言，前一种方法比后一种方法多.但从解题心理上看，前一种方法更具有思维性，更能让人体验到思维的愉悦与快乐.正如林崇德先生所说，“与数学学科有关的能力，应首先是运算（数）的能力和空间（形）的想象力，同时，数学是人类的思维体操，数学的逻辑思维能力也明显地表现为数学学科的能力.”［2］

2．2 “巧解特法”的前提是掌握通性通法

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标（2022年版）”）提出了初中数学“坚持素养立意，凸显育人导向”的命题原则，要求“以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查‘四基‘四能与核心素养”［3］.

“‘通性就是概念所反映的数学基本性质；‘通法就是概念所蕴含的思想方法.在解题教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是追求数学教学的‘长期利益.”［4］数学教师都有这样的经历：每当看到学生的“巧解特法”时，会情不自禁地拍案叫绝，甚至在同事中传阅、欣赏.然而，所谓的“巧解特法”并不是教出来的，而是学生在夯实“四基”“四能”基础上的思维迸发，是理解数学本质、掌握通性通法后的顿悟，得到“巧解”的过程是数学知识与方法的联想、联系、综合的过程，也是数学探究活动经验激活与积累的过程，更是不断尝试、从失败到成功的过程，这才是数学教学的“长期利益”.因此，数学教学要引导学生关注数学本质、关注通性通法.

在案例3的3种方法中，方法1的代数运算不仅过程复杂，还极易导致错误；方法2运用的一元二次方程根与系数的关系是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的选学内容［5］，不作考试要求；方法3将函数问题转化为图象问题研究，利用抛物线的轴对称性解决问题，这是基于对二次函数及图象性质的本质理解，也是研究函数的通性通法.

在案例4中，方法1利用直角三角形、相似三角形边的关系建立二元二次方程组，计算求得CD的长，这种方法运算量大、耗费时间长；方法2通过“一般到特殊”的动态探究，直观得到其中一个结论，再利用“角平分线轴对称性”得到另一结论，基本路徑是“操作探究→几何直观→反思优化”，是研究问题的一般路径与策略，同样体现了数学的通性通法.当然，在教学中，教师可以适当引导学生用代数运算或演绎推理的方式验证几何直观的结论，“通过对知识、方法、思想的溯源，让数学贴近学生认知、回归自然思路、体现数学本质；通过对现象、过程、结果的反思，培养学生思维的缜密性、逻辑性，从而提升其思维品质、发展其理性精神.”［6］

2.3 数学观念是数学教学的上位目标

数学教学目标包括数学知识的理解与运用、数学方法的提炼与掌握、数学能力的发展与提高、数学思维的进阶与优化、数学素养的蕴育与提升，最终形成正确的数学观念.

将“课标（2022年版）”的15个核心素养主要表现［3］按“素养”和“学段”两个维度分类得到表1.

表格中横向为“学段”维度，纵向为“素养”维度.在15个素养主要表现中，除“几何直观”外，其他14个表现分别用“感”“意识”“能力”和“观念”表述.其中“几何直观”“运算能力”“空间观念”“应用意识”和“创新意识”等5个素养表现为小学与初中共同要求，而小学侧重“感”和“意识”，初中侧重“能力”和“观念”.

那么，什么是“意识”与“观念”，它们之间有何关系呢？“意识”是指人脑对于客观世界的反映，是感觉、思维等心理过程的总和，具有一定的客观性、不稳定性；“观念”是人对事物的主观与客观认识的系统化之集合体，具有较强的主观性与稳定性.“观念”基于“意识”，处于“意识”的上位，是“意识”的升华.因此，形成正确的数学观念应是初中数学教学的重要目标.宏观上说初中阶段的数学观念包括整体的观念、变化的观念、联系的观念和系统的观念等.

上述4个案例中，案例1的方法2从整体、系统的角度观察表格、分析数据，寻找数据之间的联系，这是“从孤立到联系”；在案例2中，不少学生看到y=m（x-p-2）+n（-x+3p）便不假思索地整理成标准形式，这是“只见树木，不见森林”的短视行为；案例3由面积关系得到的CE=DE表面上看是两条线段相等，本质上是点C，D关于点E对称，是抛物线的重要特征，这是“从表象到本质”；案例4在未确定“过△ABC内心O的直线”的确定位置时，可将直线DE看成“绕点O旋转的直线”，这种运动的观念为通过“操作探究”与“几何直观”解决问题提供了可能；案例4中的各个条件看似相互独立，但联系起来思考就得到解决问题的新思路、新策略.如由“O为内心”“直角三角形”联想到内切圆半径，由“O为内心”与“DE=DC+EB”联想到教材结论“DE∥BC（即DE⊥AC）”进而解决问题，体现了“从零碎到系统”.所有这些都说明数学观念在数学学习中的重要性.

学生数学观念的培养并非高不可攀，也不能停留在口头上.教师首先必须要有培养学生“数学观念”的意识与观念，并落实在日常教学之中，以具体教学内容为载体，以课堂教学为抓手，设计合理的教学活动，选择有效的教学途径.如案例1与案例2，让学生在方法的比较中体验“少算多思”的心理愉悦，形成整体与系统的观念；在案例3的代数法与图象法的比较中感受“形”与“数”的联系，“形”的本质是“数”的可视化，形成本质与联系的观念；案例4中，通过“代数运算、演绎推理”与“动态探究、几何直观”的比较，形成运动与系统的观念.因此，教师要将教学目标从知识、能力向意识、观念进阶作为教学行为自觉.李树臣老师归纳了培养学生数学观念的六个途径：一是加强“四基”教学，二是注重过程教学，三是实施问题解决的策略，四是重视推理能力的训练，五是强化数学思想方法的渗透与训练，六是重视数学建模教学［7］.这值得初中数学教师学习借鉴并付诸实施.

参考文献

［1］温晶晶，苏斌．速解源于深思少算回归本真［J］．中学数学教学参考（中旬），2022（07）：34-36.

［2］林崇德．培养思维品质是发展智能的突破口［J］．国家教育行政学院学报，2005（09）：21-27.

［3］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：91，7-11.

［4］章建跃．注重通性通法才是好数学教学［J］．中小学数学（高中版），2011（11）：封底.

［5］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2011：29.

［6］钱德春．初中数学教师的深度研究与适度教学［J］．中学数学教学参考（中旬），2022（07）：52-56.

［7］李树臣．培养学生数学观念的主要途径［J］．中学数学杂志，2014（08）：9-12作者简介 钱德春（1963—），男，江苏泰州人，中学高级教师;江苏省泰州市教研室数学教研员、省中学数学专业委员会理事、省初中数学名师共同体导师、泰州学院特聘教授、人大复印报刊资料中心《初中数学教与学》编委、《中学数学》特约编委、《教育研究与评论》专家库研究员;江苏大学国培专家、江苏省及泰州市初中数学乡村骨干教师培育站导师、泰州市初中数学名师工作室导师;主要从事初中数学教学、命题与教师专业发展等研究;，连续13年任泰州中考数学命题组长，8次主持江苏省教学新时空·名师课堂活动，主持省规划、教研课题5个，分别获得省基础教育教学成果一、二等奖，发表论文近140余篇，主编《初中数学趣味读本》全6册，开设教学、命题讲座200多场，提出了“价值引领、问题驱动、整体关联、经验助力”的教学主张，形成了“源于教材、立足基础、关注本质、简中求道”的命題风格.

张杰（1980—），男，中学高级教师;泰州市教学能手、泰兴市先进教育工作者、泰兴市青年岗位能手、泰州市朱金祥数学名师工作室成员、泰兴市数学研究核心共同体成员、济川中学政教处副主任;主要从事解题和命题研究;两次在泰州市青年教师解题大赛中荣获一等奖，主持或参加省、市级研究课题3个，发表论文10篇.