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“排队问题”教学尝试与拓展

2022-12-23陈方勇刘静方佳雯

中学数学杂志(初中版) 2022年6期
关键词:综合与实践等待时间思政教育

陈方勇 刘静 方佳雯

【摘 要】 《义务教育数学课程标准(2022年版)》将综合与实践作为数学学习的一个重要组成部分,这是初中生积累数学活动经验,发展数学应用意识的重要载体.本文利用数学等式和不等式,结合問题假设,通过列表、逻辑推理、公式演算等数学方法,得出排队问题中关于“等待时间”的一般性结论.尝试在教学过程中融入数学核心素养、展现中华民族文化自信、树立家国情怀等思政内容,帮助中学生树立正确的世界观、人生观和价值观.

【关键词】 综合与实践;排队问题;等待时间;思政教育

0 引言

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,数学课程要培养的学生核心素养,主要包括:会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界.排队是我们生活中常见的一种行为秩序,自觉排队是个人素质修养和社会文明的体现,例如排队就餐、排队买票、排队核酸检测等.排队现象中“等待时间”的长短是服务机构和服务对象(顾客)都关注的问题.数学家华罗庚曾经说过,“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学.”本文将利用数学的符号和语言,通过列表,构建等式与不等式等方式探讨生活实际问题——排队问题.我们先来看沪科版义务教育教科书(数学,七年级下册,2013年版)中的2个问题.

问题1 某服务机构开设了一个窗口办理业务,并按顾客“先到达,先服务”的方式服务,该窗口每2min服务一名顾客.已知当窗口开始工作时,已经有6位顾客在等待,在窗口开始工作1min后,又有一位“新顾客”到达,且预计以后每5min都有一位“新顾客”到达.

(1)设e1,e2,…,e6表示当窗口开始工作时已经在等待的6位顾客,c1,c2,…,cn表示在窗口开始工作以后,按先后顺序到达的“新顾客”,请将下面表1补充完整(这里假设e1,e2,…,e6的到达时间为0).

(2)下面表示每一位顾客得到服务之前所需要等待的时间,试将该表2补充完整.

(3)根据上述两个表格,能否知道“新顾客”中,哪一位是第一位到达服务机构而不需要排队的?求出他的到达时间.

(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前,该窗口已经服务了多少位顾客?为这些顾客服务共花费了多少时间?

(5)平均等待时间是一个重要的服务质量指标,为考察服务质量,问排队现象消失之前,所有顾客的平均等待时间是多少?

问题2 在问题1的条件中,当服务机构的窗口开始工作时,如果已经有10位顾客在等待(其他条件不变),且当“新顾客”Cn离去时,排队现象就此消失了,即Cn+1为第一位到达后不需要排队的“新顾客”,问:

(1)用关于n的代数式来表示,在第一位不需要排队的“新顾客”Cn+1到达之前,该窗口已经服务了多少位顾客?为这些顾客服务共花费了多长时间?

(2)用关于n的代数式来表示Cn+1的到达时间.

(3)根据(1)和(2)得到的代数式以及它们的数量关系,求n+1的值.

李庆银[1]对以上两个问题进行了探究,借助字母,利用几个变量之间的关系,虽然得到核心不等式:第n人服务结束时间≤第(n+1)人到达时间,但是没有进行深层次的分析与推广.本文将从实际背景出发,通过抽象问题具体化、具体问题一般化、一般问题系统化三个递进过程对排队问题进行分析并推广,以期对同学们后续课程学习、数学方法指导方面提供必要的帮助.

1 抽象问题具体化

排队问题实际背景虽然来源于生活实践,但是假设条件多,具体时间概念之间关系紧密且抽象复杂.问题1直接通过表格形式利用“抽象问题具体化”方法,让学生对抽象复杂问题有直观的感知,从递推关系中找到彼此的联系,从而降低了题目的难度,简化了解决问题的步骤.表格中可以发现“到达时间”“服务开始时间”“服务结束时间”“等待时间”的具体数值及数量关系,其中“等待时间”=“服务开始时间”-“到达时间”.特别地,因为窗口每2min服务一位顾客,而每5min才有一位“新顾客”到达,因此必然会出现窗口服务完某位顾客后等待新顾客到来的情况,并且在第一位无需等待的“幸运”“新顾客”之前,“服务开始时间”=前一个顾客“服务结束时间”,而在这位“幸运”顾客之后,每位顾客“服务开始时间”=“到达时间”.因此,利用表格将抽象问题具体化,理清各个时间概念之间的数量关系是解决问题的关键.

根据以上分析,容易补充(阴影部分)完成表3,解决问题1(1),问题1(2).

由上述表格,不难得出如下答案:

问题1(3)顾客C5是第一位到达服务机构而不需要排队的顾客,他到达的时间是21min.

问题1(4)在第一位不需要排队的顾客到达之前,即C5之前,窗口已经服务了10位顾客,为这些顾客服务共花费了10×2=20(min).

问题1(5)所有顾客平均等待的时间是(2+4+6+8+10+11+8+5+2)÷10=5.6(min).

以上解决问题过程中,通过表格使用“抽象问题具体化”方法,帮助学生理清众多时间之间的数量关系,清晰呈现彼此逻辑关系,可以让一系列困难问题依次迎刃而解.下面将问题进一步深化,将到达时间、结束时间等概念进行字母化、模型化,进入问题2的分析与解决.

在问题2中,当服务机构的窗口开始工作时,已经有10位顾客在等待.于是,第一位不需要排队的“新顾客”Cn+1到达之前,该窗口已经服务了(10+n)位顾客,服务这些顾客共花费2(10+n)min,即顾客Cn服务结束时间是2(10+n)min.根据题设和问题1表格中的结论,不难发现“新顾客”Cn到达时间是(5n-4)min,于是“新顾客”Cn+1到达时间为[5(n+1)-4]=(5n+1)min.Cn+1是第一位不需要排队等待的顾客,说明Cn+1“等待时间”为0,即前一个顾客Cn的服务结束时间2(10+n)小于或等于Cn+1到达时间(5n+1).通过构建一元一次不等式2(10+n)≤5n+1,解不等式得n≥193.所以n+1≥223,因为n+1为正整数,且Cn+1是第一位不需要排队等待的顾客,所以n+1=8.因此,C8就是第一位到达后不需要排队的“新顾客”,并且之后的每一位“新顾客”都无需排队.

通过以上分析,不难得出问题2的所有答案,在此不作赘述.

2 具体问题一般化

结合问题1,问题2,为了得到更一般性的结论,提出问题3.

问题3 在问题1的条件下,假设当服务机构的窗口开始工作时,已经有m(m是正整数)位顾客在等待(其他条件不变),且当“新顾客”Cn离去时,排队现象就此消失了,即Cn+1为第一位到达不需要排队的“新顾客”,试分析m与n的关系式并求“新顾客”Cn等待的时间t.

分析 由于Cn+1是第一位不需要排队等待的顾客,说明Cn+1到达时间大于或等于其前一个顾客Cn的服务结束时间.又因为Cn+1到达时间是(5n+1)min,Cn的服务结束时间是2(m+n)min.构建二元一次不等式,即为5n+1≥2(m+n),解不等式得,n≥2m-13,因为m,n都是正整数,所以n取大于或等于2m-13的最小正整数,则(n+1)取大于或等于2m+23的最小正整数,Cn+1是第一位不需要排队等待的顾客.

“新顾客”Cn等待的时间t等于Cn服务开始时间与Cn到达时间的差,而Cn服务开始时间等于Cn-1服务结束时间,于是得到方程t=2(m+n-1)-(5n-4),化简得,t=2m-3n+2.显然当等待的时间t>0时,即2m-3n+2>0,解得n<2m+23,即“新顾客”Cn(n是满足n<2m+23的最大正整数)就是最后一位需要排队的顾客;其后一位顾客Cn+1就是第一位不需要排队的顾客.

可以验证问题1中,当m=6时,2m+23=143,即问题1中C5是第一位不需要排队的顾客.

3 一般问题系统化、深刻化

排队问题具有一般性,有必要将零散的认识系统化,将粗浅的认识深刻化、全面化,直到找到问题的本质规律.在具体应用中,必须根据实际问题转换视角,运用逆向思维多角度考察问题.

问题4 在问题1的条件下,假设当服务机构的窗口开始工作时,已经有一群顾客在等待(其他条件不变),且当“新顾客”C10离去时,排队现象就此消失了,即C11为第一位到达不需要排队的“新顾客”,问:(1)窗口开始工作时,等待的一群顾客是多少人?(2)排队现象消失之前,所有顾客的平均等待时间是多少?

分析 采用逆向思维,利用问题3的结论,满足等待时间t>0时的最大正整数n对应的Cn即是最后一位需要排队的“新顾客”;第二个问题不妨设等待的一群顾客(老顾客)是m人,则等待的时间分别是0,2,4,…,2(m-1),所以这m个“老顾客”等待的总时间是m(m-1);而需要排队的“新顾客”是10人,“新顾客”等待时间分别是t=2m-3n+2,n=1,2,…,10.结论,m个“老顾客”分别等待时间tm=2(m-1),等待的总时间Sm=m(m-1);n个“新顾客”分别等待时间tn=2m-3n+2,等待的总时间Sn=n(2m-1)+12×(-3)n(n-1),m表示“老顾客”人数,其中n是小于2m+23的最大正整数.

解 设窗口开始工作时,等待的一群顾客是m人.由问题3的结论,Cn等待的时间t=2m-3n+2,令t>0,即2m-3n+2>0,当n=10时,可得m>14,因为C10是最后一位到达需要排队的“新顾客”,所以m应取满足m>14的最小整数,即窗口开始工作时,等待的一群顾客是15人.

由于“老顾客”人数m=15,所以“老顾客”分别等待时间为0,2,4,…,28min,“老顾客”等待的总时间是0+2+4+…+28=210(min);10位“新顾客”分别等待时间29,26,…,2min,于是“新顾客”等待的总时间是29+26+…+2=155(min);新老顾客总数是25人,于是排队现象消失之前,所有顾客的平均等待时间是210+15525=14.6(min).

显然,顾客等待总时间也可直接使用公式计算,“老顾客”等待总时间是S15=15×(15-1)=210(min);“新顾客”等待总时间为S10=10×(2×15-1)+12×(-3)×10×(10-1)=155(min).

4 結语

(1)排队是生活中的常见现象,本文通过抽象问题具体化,具体问题一般化,一般问题系统化、深刻化三个过程,以“等待时间”为突破口,通过问题引导,图表制作,分析思考,逻辑推理、公式演算,构建一元一次不等式和二元一次不等式解决实际问题.整个探讨过程情景代入感强烈,不断吸引学生兴趣的同时将排队问题由易到难,由浅到深,逐层分析,使学生对问题更容易认识、理解和掌握.为学生以后学习探究综合与实践问题提供了研究方法与研究方向.

(2)对于排队这一现实生活问题,我们先用数学的眼光去观察它,进而用数学思维去思考分析,最后用数学的语言去表达,达到解决问题的目的.这与新课程标准中数学核心素养的理念相契合.

(3)自觉排队是个人素质修养的体现,中国素有“文明古国,礼仪之邦”之称,中学生更要养成自觉排队的良好习惯.在本节课的教学过程中,教师应当主动引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观,积极把思政教育贯穿教育教学全过程.

参考文献

[1]吴之季,苏淳.义务教育教科书数学七年级下册[M].上海:上海科学技术出版社,2013.

[2]李庆银.排队问题探究[J].中学生数学,2018(12):37-38.

作者简介

陈方勇(1981—),男,安徽无为人,本科,中学高级教师;合肥市陈方勇名师工作室领衔人,享受合肥市政府特殊津贴,合肥市学科带头人,合肥市优秀教师;全国初中数学青年教师优秀课二等奖;主要研究初中数学课堂教学;发表20余篇论文.

刘静(1990—),女,安徽合肥人,本科,中学一级教师,区优秀教师,优秀班主任;区课堂教学比赛一等奖;主要研究初中数学教学及数学学科与信息技术融合;发表多篇论文.

方佳雯(1993—),女,安徽桐城人,本科,中学二级教师;主要研究初中数学课堂教学.

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