【摘 要】 以2022年宁波中考数学试题的两道选择题、一道填空题的解法探析为例，挖掘“数学直观”的意义，形成自然、清楚、揭示数学本质的策略性方法.在数学解题中，需要“数学直观”地“抽象、归纳、类比、联想、发现、构建”，从中培养和发展“数学抽象、数学建模、逻辑推理”等核心素养.培养学生“直观”的习惯与“感知”的能力，实现解题能力的提升.

【关键词】 宁波卷；策略剖析；数学直观；教学启示

随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的颁布，我国数学教育已全面开启了以核心素养为导向的数学课程改革.核心素养指导数学教育改革，尤其是数学考试和评价的改革，我国正式迈进素养导向的数学核心素养评价时代.从应试能力考查过渡到高阶思维认知能力考查，致力于学生的核心素养培育和着眼于人的全面发展.2022年宁波中考数学试题坚持“以人为本，学生的可持续发展为核心”的绿色命题理念，立足必备知识，聚焦关键能力，强化素养导向.本文撷取部分试题，从其解法探析入手，“数学直观”导航，生成自然思路，从而启示“数学直观”在发展数学核心素养上的重要意义.

1 试题呈现与策略剖析

1.1 直观理解题意，预测思路

例1 （2022年宁波卷第9题）点A（m－1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x－1）2+n的图象上.若y1

A.m>2  B.m>32  C.m<1  D.32

直观选项意义进行排除 因为选择题后面有备注：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.观察A，C，D三个选项都是不含m=2的取值范围，将特殊值m=2代入可得A（1，y1），B（2，y2），显然点A，B都在抛物线的对称轴的右侧图象上，且点A是抛物线的最低点，显然满足题意，即可排除选项A，C，D.

直观图象概念进行代入 因为点A（m－1，y1），B（m，y2）都在函数图象上，所以y1=（m－2）2+n，y2=（m－1）2+n，所以（m－2）2+n<（m－1）2+n，化简得－4m+4<－2m+1，解得m>32.

直观图象规律进行转化 因为抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，所以此抛物线上的点到直线x=1的距离越近，其对应的函数值越小.因为y132.

直观函数性质进行分类 根据二次函数的性质，因为a=1>0，所以当x≥1时，y随着x的增大而增大；当x<1时，y随着x的增大而减小.因为m-11，所以3232.

本题主要考查二次函数的解析式、图象和性质以及学生的画图能力和识图能力，运用数形结合的数学思想方法进行分析.理解题意，需要对题目的所有信息进行提取和发掘，建立具体和清晰的表象，感知材料形象概括，为思维抽象概括作准备，预测思路.这一过程需要“数学直观”地“从问题背景中抽象出一般规律和结构”，培养和发展数学抽象素养，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣.

1.2 直观感知特征，开启思维

例2 （2022年宁波卷第10题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按图1方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（  ）.

A.正方形纸片的面积   B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积   D.△AEH的面积

直观数量与数量关系 设两张全等的正方形紙片的边长为a，两张全等的矩形纸片的长为b，宽为c，则2a=b+c，即c=2a-b，所以EH=FG=b-a，EF=GH=a-c=b-a，

所以S阴影=（b－a）2+（b－a）c+（b－a）a=（b－a）（b+c）=2a（b－a）=4S△BEF，故选C.

直观图形与图形关系如图2，联结EN，GM，EG，将线段NH平移至FM处，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得EF=EH，所以S△BEF=S△DGH=S△MEG=S△NEG，

S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S平行四边形ENGM，所以S阴影=S平行四边形ENGM+S△BEF+S△DGH=4S△BEF.

（或如图3，延长HG交BC于点M，延长GF交AB于点P，将线段GO平移至EQ处，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得EF=FG，所以S△AEH+S△CFG+S正方形EFGH=S矩形EHMN，

因为S△BEF+S△DGH=S矩形EFPQ，所以S阴影=2S矩形EFPQ=4S△BEF.）

本题以矩形纸片为素材，以生成的图形面积为问题核心，具有PISA试题的三个明显特征：情景、运用、思维.将整式的运用、矩形的性质、图形的平移问题融汇在基本图形中，为运用割补、重组、转移、等积变形、以数解形等方式提供平台.感知特征，需要对图形的形状、大小、关系进行提取和发掘，包括内隐正方形EFGH，预测等积关系，开启思维，进行代数运用或等积变形的方法去研究问题、解决问题，关注数学思维方法和理性思维能力.

1.3 直观沟通联系，助力探究

例3 （2022年宁波卷第16题）如图4，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y=62x（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E.若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为92时，EFOE的值为，点F的坐标为.

直观轴对称图形发现位置关系 如图5，联结AD与OB交于点G，作CH⊥OB于点H.因为A，D关于OB对称，所以AD⊥OB，AG=DG.易证DG∥CH，AG=CH，

所以DG=CH.所以四边形CDGH为平行四边形，所以CD∥OB.（或连结OD，由S△OBD=S△OBC，得到CD∥OB.）

直观已知数据聚焦面积关系 （利用面积比来刻画线段比解决第1空）如图6，连结BF，由CD∥OB得到S△OBF=S△OBC=922.因为S△OBE=12×62=32，所以S△BEF=322，所以EFOE=S△BEFS△OBE=12.

直观图形结构构建几何模型

如图7，过点D作DG⊥x轴于点G.

设B（a，62a），D（b，62b），F（32a，0），由△OBE∽△FDG得BEDG=OEFG，

即62a62b=ab－32a，所以b=2a（b=－12a舍去）.（或将S△OBD=922转化为S梯形BEGD=922，由面积计算公式得12（62a+62b）（b－a）=922，解得b=2a；或如图8，构造△GEF∽△DHF，利用相似三角形的性质建立方程求得b=2a.）

直观变量变化规律捕捉中点信息 变量的变化必然有其规律，直观变化规律，方能便于我们感知，进而依据变化规律将其轻松求解.如图9，过点D作DG⊥y轴于点G，交OB于点P，易证点P为OB的中点，PD=OF=32a.因为∠ODB=90°，所以OB=2PD=3a，

所以BE=（3a）2－a2=22a=62a，所以a=3，所以F（323，0）.（或如圖10，延长BD交x轴于点H，易证点D为BH的中点，点G为EH的中点，易求得GH=a.

由△ODG∽△DHG得DG2=OG·GH，即18a2=2a·a，进而解得a=3，F（323，0）.）

本题以矩形和对称点为素材，以反比例函数为载体设置问题，实现双曲线与平行线的图形的完美组合，注重核心知识组合与串联，使试题具有综合性和灵活性，达到了用一道题考查诸多核心知识的目的.面对一个新的研究对象，从哪些角度发现和提出值得研究的问题，这需要“数学直观”地去类比联想、发现模型、构建模型，培养和发展逻辑推理与数学建模素养.

2 教学启示

2.1 注重直观想象，强化逻辑推理

对于任何学科的教学，最终都应当把培养学生的学科直观作为重要的价值取向［1］.史宁中先生这段话指明了解题教学的重要方向，那就是解决数学问题始于直观，终于理念.直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.注重画图、析图和赏图，对题中所给的较复杂的图形，学会分解，拆分成基本图形；加强图形之间的联系，丰富图形的想象，完善知识间的重组，为添加辅助线、解题思路的形成做好铺垫；加强条件和结论之间的逻辑关系，图形和问题之间的预想和预判，借助直观将抽象变具体，将隐含变清晰，强化逻辑推理.善于发现图形中的结构特征，从中抽取出数量、形状、位置、变换等关系，使之呈现出“标准”或“熟悉”的状态，顺利实现模型化归，释放问题内涵，创造性地使用图形解决问题，挖掘新思路，寻求新方法，使数学逻辑和数学直观相互交织，直观中有逻辑，逻辑中有直观，进而培养学生“直观”的习惯与“感知”的能力［2］.

2.2 优化知识结构，完善思维品质

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养［3］.回归教材，筑牢根基，广泛联系，让知识网络在关联与融合中形成；探究方法，优化过程，一题多解，让创新意识在求解与比较中发展；关注本质，深化思想，适时渗透，让思想方法在启发与探究中升华.在教学活动中给学生提供展示逻辑推理和思维能力的平台，突出每个学生用自己的数学方式思考、探究，由直观建立表象，由直观引领转化，由已知想可知，由未知想需知，沟通可知与需知，帮助学生逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理，形成良好的数学题感.题感是数学直观的具体体现，是直觉洞察的结果，是思维习惯的结晶，是反思顿悟的升华，进而在直观—抽象—推理—建模—直观的螺旋发展中完善有理、有序、有度的思维品质，彰显数学教育对学生能力发展的价值.

参考文献

［1］史宁中．高中数学核心素养的培养、评价与教学实施［J］．中小学教材教学，2017（05）：4-9.

［2］林新建．基于“核心素养”的数学直观能力培养途径［J］．数学通报，2019，58（08）：19-22.

［3］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）［M］．北京：人民教育出版社，2022：91.

作者简介 蔡卫兵（1976—），男， 浙江宁波人，中学高级教师;主要从事初中数学教学研究.