张秘芳 王政扬

(云南师范大学数学学院,650500)

所谓“角含半角”模型，是指在一个平面图形中,一个角与另一角共顶点,且该角的大小是另一个角大小的一半.“角含半角”模型是初中平面几何中最常见的一种模型之一.通常利用“旋转的观点”看待图形的几何变化,即将这个半角顶点旋转或通过截长补短的方法,使得两个分散的角变换成为一个三角形,这又相当于构造出两个三角形全等或相似.

类型1:90°角含45°角

“90°角含45°角”主要包括两种类型:一种是90°角内有一个45°角，如果在正方形内，可得基本结论EF=DF+BE(如图1)；如果在等腰直角三角内,可得BD2+CE2=DE2(如图2).

如图1,四边形ABCD为正方形，∠EAF=45°,AB=AC.将线段AF绕点A逆时针旋转90°得到线段AG，连结BG，根据已知条件可证得∆AFE≌∆AGE(SAS)，∆ABG≌∆ADF(HL)，即可得到GE=FE，BG=DF，即EF=DF+BE.

如图2，∠BAC=90°，∠DAE=45°.将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连结DF，BF，根据已知条件可证得∆AED≌∆AFD(SAS),∆AEC≌∆AFB(SAS)，即可得到DE=DF，CE=BF，在Rt∆BDF中，由勾股定理可得BD2+CE2=DE2.

另一种是90°角内有一个45°角的一边，在90°角外有45°角的另一边，如果在正方形内,可得基本结论EF=DF-BE(如图3)，如果在等腰直角三角内,可得BD2+CE2=DE2(如图4).

如图3,四边形ABCD为正方形,∠EAF=45°.将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AG，根据已知条件可证得Rt∆ABE≌Rt∆ADG(HL)，从而可得∆AEF≌∆AGF(SAS)，即可得到BE=DG,EF=GF,即EF=DF-BE.如图4，∠BAC=90°,∠DAE=45°,AB=AC,类似于如图2的旋转变换，即可得到BD2+CE2=DE2.

例1(黄石市2021年中考数学第18题)如图5,在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，线段AE交BD于点M，AF交BD于点N.

(1)若正方形的边长为2，则∆CEF的周长是______.

(2)下列结论:①BM2+DN2=MN2;②若F是CD的中点，tan∠AEF=2;③连结MF，则∆AMF为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是______(把你认为所有正确的都填上).

分析(1)这是典型的90°角含45°角问题，由基本结论：EF=DF+BE，可得∆CEF的周长为4.

(2)通过旋转变换,构造三角形全等,可得① 正确.如图5,将AM绕点A逆时针旋转90°，M点落在H点处，根据已知条件，可得：∆BAM≌∆DAH(SAS),

∆MAN≌∆HAN(SAS),∠HDN=90°,

即可得：BM2+DN2=MN2.

类型2120°角含60°角

120°角含60°主要包括两种类型:一种是120°角内有一个60°角，可得基本结论：EF=CE+BF(如图6)：另一种是120°角内有一个60°角的一边，在120°角外有60°角的另一边，可得基本结论EF=BF-CE(如图7).

如图6，AC=AB，∠CAB=120°，∠EAF=60°，点E，F分别在边DC，DB上.将线段AE绕点A顺时针旋转120°得到线段AG，连结BG，根据已知条件可证得∆AEF≌∆AGF(SAS),∆AEC≌∆AGB(SAS)，即可得到GF=EF，CE=BG，即EF=CE+BF.

如图7，AC=AB，∠CAB=120°,∠EAF=60°,将线段AE绕点A顺时针旋转120°得到线段AG，根据已知条件可证得∆AEC≌∆AGB(SAS)，进而可证得∆AEF≌∆AGF(SAS),即可得到GB=EC，EF=GF，即EF=BF-CE.

例2已知点P是∠MAN的角平分线上的一点,PB⊥AM，垂足为点B，PC⊥AN，垂足为点C.

(2)如图9所示,若点D在AB的延长线上,点E在AC的延长线上,则DE，BD，CE三者的数量关系有变换吗?若有变化,请直接写出结论.

分析(1)由已知,可知点P是角平分线上的点,且PB⊥AM，垂足为B，PC⊥AN，垂足为C，可得PB=PC，若在AC的延长线上取一点F，使得CF=BD,则∆PBD≌∆PCF(SAS)，然后再证明∆PDE≌∆PFE(SAS)，可得出结论.

(2)参考第(1)问的作图法,可得结论DE=CE-BD.

与前面的做法相类似,通过旋转变换来构造三角形全等,即可得到基本结论.

本文运用从特殊到一般的叙述方式,逐步得到“角含半角”模型应具备的条件,并得到了一般性的结论.学生在平时的解题训练中,可由教师适当引导,帮助他们达成理解性的记忆.熟练掌握“角含半角”基本模型及一般性结论,可以大大提高解题效率.