高小红

(江苏省苏州工业园区独墅湖学校，215000)

“简约”源于大道至简的理念,“智慧”指向课堂教学的本真．数学具有深刻性,数学表达具有求简性,数学教学具有智慧性．教师应努力引导学生经历数学知识由繁而简,由乱而序,由散而整,由表及里的过程．在学校“简约智慧”课堂教学改革实践的背景下,笔者以一次函数的应用(行程问题)为例,谈谈自己的实践与体会．

一、教材分析与设计理念

本课属于苏科版数学八年级上册第六章“一次函数”的内容．通过七年级的学习,学生已经掌握了一元一次方程和一元一次不等式的相关内容,能用一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题．本课是在学习完“一次函数”章节后进行的专题复习．行程问题是一次函数应用中的热点题型．这类题型多以文字和图象的形式呈现,对学生分析问题、解决问题的能力要求较高．

设计理念基于“简约智慧”数学课堂的理念,本课以一个问题为导向,通过两个变式,三个步骤,将一次函数行程问题中涉及的单线和双线类型一网打尽．

教学目标

1.能看懂一次函数图象呈现的行程信息,从一次函数图象中读取行程信息．

2.会用待定系数法确定函数关系式,能理解图象中特殊点表示的实际意义．

3.能用一次函数模型解决实际行程问题,感受用函数图象法解决问题的优越性．

教学重点与难点

教学重点结合函数图象,厘清各变量之间的关系．

教学难点利用函数知识,解决实际问题,体会函数图象法的优越性．

二、教学过程

环节1

问题A，B两城相距200千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.如图1是他们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.

信息读取:(1)由图象知,甲车从A城出发驶向B城的速度为______km/h,甲车到达B城后返回的速度为______km/h,乙车的速度为______km/h.

图象理解:(2)图象中交点M表示的实际意义是什么?并求出点M的坐标.

问题解决:(3)求甲从开始出发行驶了多少小时,两车相遇?

分析从图象上看,横轴表示行驶时间,纵轴表示甲、乙两车与A城的距离．由图象可知,直线DM与直线OC的表达式均可求．结合实际意义可知,甲车从A城出发驶向B城的速度100 km/h,甲车到达B城后返回的速度为80 km/h,乙车的速度为40 km/h．交点M表示甲到达B城后返回的途中与乙相遇．

设计意图以此问题为导向,引导学生学会审题、读取信息．将图象信息翻译成文字信息前,先要弄清楚横纵轴表示的意义以及甲乙两车分别由哪条线段表示,特别理解图中关键点(交点、拐点)的意义．在求交点M的坐标时,用待定系数法求解是学生很容易想到的．理解了交点M的实际意义,第3小问便迎刃而解．也有学生会考虑用方程思想解决,在这里一并展示,列一元一次方程解决此问题也不难,但比较两种方法后，显然该问题用函数图象法解决更加快捷．

变式1甲、乙两车分别从相距200千米的A，B两城同时出发相向而行,甲到B地后立即返回,乙到A地后停止行驶,图2是他们离开各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象.

信息读取:(1)本题与上一题相比,哪些信息一致?哪些信息不一致?

图象理解:(2)求出函数图象交点M的坐标并指出该交点坐标的实际意义?

问题解决:(3)求甲、乙两车从各自出发地驶出后经过多长时间相遇?

分析甲、乙两车从两地同时出发相向而行．从图象上看,横轴表示行驶时间,纵轴表示甲、乙两车离开各自出发地的距离．甲、乙两车的行驶速度以及交点M的坐标与上一题一致．交点M表示甲乙两车行驶3小时后,离各自出发地都是120 km．第3小问需要分甲返回前和返回后两种情况讨论．在这里学生可能会有不同的解题策略:一种是画线段示意图,使用一元一次方程解决,其中甲返回后的追及问题可能容易出错;另一种是直接利用函数方法解决．

设计意图本题承接上题,函数图象一模一样,但表达的信息却大不相同,可见读取信息,厘清各变量之间关系的重要性．因为纵轴的意义发生了变化,第3小问求相遇时间显然比上一题的第3小问要难一些．通过两种解题策略(函数图象法和方程法)让学生感受和比较不同方法的联系与区别．

变式2甲、乙两车分别从A，B两城同时出发,相向而行.设行驶xh时,两车之间的路程为ykm.图3中折线AECD表示y与x的函数关系.

信息读取:(1)A，B两城的距离为______km; (2)点E表示的实际意义是什么?

图象理解:(3)慢车的速度为______km/h,快车的速度为______km/h;

(4)解释图中点C的实际意义,求出点C的坐标;

问题解决:(5)慢车行驶多长时间,两车相距150 km?

设计意图变量y(路程)与x(时间)之间的变化关系由前面问题中的双线型变为单线型,但分析问题的方法不变．通过信息读取,弄清横纵轴表示的意义以及图中关键点(交点、拐点)表示的实际意义．第5小问通过两种解题策略(函数图象法和方程法)感受用函数图象解决问题的优越性．

环节2应用实践

1.A，B两城相距600千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.图4是他们离A城的距离y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象.

(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.

(2)当他们行驶了7小时时,两车相遇,求乙车速度.

2.一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设一辆车先出发xh后,另一辆车也开始行驶,两车之间的距离为ykm.当两车均到达各自终点时,运动停止.图5是y与x之间函数关系的部分图象.

(1)由图象知,慢车的速度为______km/h,快车的速度为______km/h;

(2)请在图中补全函数图象;

(3)求当x为多少时,两车之间的距离为300 km.

设计意图本环节设计了两道题,包含单线和双线两种类型,能较好地检测学生本节课的课堂效果．其中第2题需要学生通过读题审题,运用所学,自行画出剩余部分的函数图象,对学生数学抽象的能力要求更高．

环节3回顾总结

设计意图先由学生通过自己总结本节课收获,再以知识框架思维导图的形式呈现本节课的主要内容以及所蕴含的主要思想方法．思维导图的形式简明扼要、直观清晰,便于学生将所学内容更好地内化吸收,体现数学的简约之美(图6)．

二、“简约智慧”理念下的教学反思

1.精选素材,以简驭繁

“简约智慧”教学,要求教师认真研读教材,还能对各种教学素材综合精当取舍、取其精华、以简驭繁．刚开始设计本节课环节一部分时,笔者从相遇问题和追及问题两个类别分别设计了两道题(包含单线和双线型),但问题背景不同,显得有点杂．基于“简约智慧”教学理念,教师最终选定了本课开始所呈现的一个问题背景,并在此基础上,对该问题素材进行了适当改编．通过两个变式,展示问题本质的同时保持了问题情境的连贯性,体现数学的简约之妙．

2.返璞归真,简而不减

好的数学课是自然流淌的课．教师要关注学生已有的知识积累及最近思维发展区,还要预设学生的不同解题策略.摒弃作秀、返璞归真,才是真正尊重学生思维的自然生长．在本课的教学过程中,通过展示方程法和函数法两种不同的方法,在对比中使学生感知函数思想与方程思想的联系与区别,以及用函数图象解决问题的优越性,比单纯的说教、灌输更有效．简洁的问题设计、自然的课堂生成、丰富的数学方法、深刻的数学思想是“简约智慧”数学课堂所追求的内在品质．

3. 简约于形,精思于心

“简约智慧”课堂既着力于教学的深刻表达,又关注于学生的学习启迪,还简于形而精于心．数学抽象是数学求简性的重要表现．简约的数学符号、图象背后蕴含了大大的数学奥秘．“立意于象”“立象尽意”“寻象观意”都表达了这个意思．数学学习过程是儿童数学思维丰富、学习情智丰富的过程．喻理于形,“形”可变,问题情境可变,但“理”不变．应用实践的第2题需要学生运用所学来补全函数图象,是对所学成果的检验,也是智慧生成的体现．利用思维导图结构化的总结,既藏“神”于“形”,又简中有趣．