赵红琴

(江苏省太仓市实验中学,215400)

章建跃博士提出的“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”引起了数学教师的广泛共鸣,也为课堂教学改革提供了理论依据.好的教学设计就是要充分解读教材,尊重学生的认知结构,采用恰当的探究活动去设置教学环节,充分发展学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.下面笔者以“垂径定理(第一课时)”为例谈谈基于“三个理解”的教学设计.

一、“三个理解”理念下的“垂径定理”的教学价值

1.高位理解数学,把握知识的生长点

理解数学,就是要求教师深度解读教材、高位理解教材用意、溯本求源、把握知识的生长点,梳理清楚数学知识的系统性和逻辑结构.

垂径定理是苏科版九年级上册的第二章的内容,是继八年级下册“中心对称图形平行四边形”之后的几何章节,也可以理解为对特殊的中心对称图形进一步的深入研究.垂径定理是圆的轴对称性的具体化结论,更是本章的重要性质,而这个定理揭示了满足条件的直径、弦、弧的相互关系，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等以及线段垂直关系等内容的重要依据,又为圆内的计算、作图等提供了依据和思路,而且在解决实际问题中也起到重要的作用.垂径定理的教学目标是:感悟圆的轴对称性,探索并证明垂径定理,积累重要的几何基本图形和解题经验.

2充分理解学生,遵循学生的需求

理解学生,就是要从学生角度理解知识,熟悉学生的思维阶段、方式及特点,还要对学生的学习能力、已有的认知、学生的情绪状态都应予以关注.

九年级的学生思维比较活跃,也具备了探究学习活动的经验基础.学生在学习垂径定理之前已经掌握了轴对称图形的性质、圆的基本知识、勾股定理等,数学知识有了一定的积累,但对于圆里面的相关性质结论应用还比较陌生,探索过程与程序可能会有一点散乱.因此教师要明确本节课的重点和难点,重点就是垂径定理的证明,难点是从较复杂图形中或者生活实际中抽象出基本图形,转化为可以用垂径定理解决的几何问题.

3.深刻理解教学,符合教学的生长规律

理解教学,是指要遵循教学的生长规律,注重知识的生成过程,开展有深度、有价值的教学活动,使学生以主人翁的精神来参与活动，让学生在获得知识的同时，也使思维和情感及数学思想方法得到培育及提升.

随着教改的推进,对几何定理的教学早已不再是冷冰冰地给出“结论—证明—应用”的模式.本节课通过对垂径定理的探究,让学生经历从感性到理性、从具体到抽象、由猜想到论证的过程,充分体验数学类比、转化、方程、建模等数学思想方法,努力发展学生“四能”,培养学生的思维品质.

二、“三个理解”教学价值指引下的“垂径定理”的教学设计

1.动手尝试,创设情境,发现问题

活动1 一张圆形纸片,大家有没有办法找到圆心?

设计意图创设了简单易操作的问题情境,触动学生动手的愿望,激活探究兴趣.学生通过两次折纸找圆心,可进一步让学生在纸片上画出圆心(图1).基于小学对圆的初步认识,学生会将结论进行一定的描述,也会对描述相互的补充和更正.可归纳整理得出:圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴,圆有无数条对称轴.

2.抽象转化,猜想归纳,提出问题

活动2 在上面图中任意画一条弦(图2),上图还是轴对称图形吗?对称轴是什么?

设计意图在活动1的基础上学生可以继续折纸,再用文字语言来描述这条折痕,可以把学生所描述的关键词写在黑板上,进一步让学生在纸上画出折痕,通过这样一个过程,将实验操作抽象为几何图形的翻折变换(图3),加深对圆的轴对称性的理解,培养了学生的抽象能力.

(1)启发探究:这是具有特殊位置的两条弦,必然会有一些特殊的结论,你能发现吗?

设计意图设置了一个开放性的问题,在具有特殊位置两条弦的条件下,引导学生去猜想、探索和发现线段之间、弧之间存在的关系.让学生写在黑板上,并启发学生判断以上各猜想是否正确.

3.分析问题,探究本质,推理证明

(1)证明猜想

设计意图引导学生从不同的角度来分析，进一步证实猜想.一方面可以用圆的轴对称性,用图形运动的方法,沿直径翻折,使两个半圆重合,相对应的点、线段、弧重合来解释;另一方面可以利用等腰三角形性质或者全等三角形进行推理证明.教师可以和学生一起,结合图形,书写证明过程.

(2)描述定理

设计意图几何教学中,对图形用文字语言、符号语言描述可以有效地培养学生的概括性以及表达能力,让学生进一步体会数形结合的思想以及数学语言的简洁美.

(3)用垂径定理对圆的轴对称性加以解释

设计意图溯本求源,构建知识间的本质联系,增加知识的系统性和一致性.垂径定理是圆的轴对称性的具体化体现,垂径定理的证明过程也可以来解释圆的轴对称性,进一步体现了知识的相互关联.

(4)根据图4—7的标注,是否可以根据垂径定理找到相等的线段或相等的弧?

设计意图一方面巩固加深对定理的理解,对直径变形为“过圆心”有了体会,同时让学生熟悉图形,为下面进一步解决相关问题做准备.

4.强化建模,关联呼应,解决问题

例题1如图8，已知在⊙O中,弦AB的长为24cm,圆心O到AB的距离为5cm,则⊙O的半径=______.

变式如图9,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧ACB),点O是这段弧的圆心,C是AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=600m,CD=100m,求这段弯路的半径.

设计意图设置了一个典型的基础题,鼓励不同层次的学生一起参与课堂活动,引导学生添加辅助线,经历构建数学模型的过程.变式题是生活实际问题,辅助线多,构图要求高.这样的设计由浅入深,提炼出垂径定理的基本模型,一起分析归纳模型的结构特征:一个图形(直角三角形)、两条辅助线(弦心距和半径)、四个量(半径、弦、弦心距和弓高)之间的关系.这样的整理和思考能有效地提高学生对图形的分析认识能力,也可以鼓励学生自己编题训练.

例题2如图10:已知在圆O中,AB，CD两弦互相垂直于点P,CP=6,DP=2,圆心O到CD的距离为3.则圆O半径为______，圆心O到AB的距离为______，弦AB长______.

变式如图11,CD为圆O的直径,弦AB交CD于E, ∠CEB=30°,DE=6,CE=2,求弦AB的长.

设计意图例2可看成是将例1图形中的弦的平移,变式题也可以看成是对例1图形一般化,逐步增加题目难度,启发学生思考，加深对基本模型的认识,构建知识间的关系，体现数学中的特殊到一般的思想,让学生经历图形的一种动态的变化,使他们能多角度、多层次地理解定理.

例题3求证:平行弦所夹的弧相等.

变式已知⊙O的半径为10cm,⊙O的弦AB∥CD且AB=12cm,CD=16cm,在图12中画出弦CD,则两弦之间的距离是______.

设计意图例3是以前教材作为垂径定理的一个推论,现在是作为一个问题提出,也可以理解为是圆中两条弦的另一种特殊位置平行时的性质;设置为一个证明题可以培养学生的逻辑思维能力,也可以锻炼学生证明书写能力.例3的变式题对学生能力要求变高,渗透了分类讨论思想,作辅助线的难度也增加,让学生在动手操作中体会,进一步加深对基本模型的理解.

5.图形小结,归纳梳理,反思深化

设计意图利用结构图形的形式总结本节课的主要内容,形象直观.既是对本节课模型的整理、对数学思想的整理,也是对图形关联关系的整理.纵然图形可以变化,但解决问题的思想方法可以融会贯通.同时还可以引导学生归纳垂径定理的主要用处:① 在圆中进行计算;② 证明线段相等;③ 证明弧相等;④ 找到弧的中点等.

三、教学反思

1.构建教学环节的关联呼应,促进学生思维生长

基于对教学内容的深度理解,精准把握知识点间的逻辑关系,教学环节设计关联呼应,可以帮助学生更好理解新知,促进学生逻辑思维的培养和发展.本设计在活动1和活动2动手操作,安排了活动的呼应;在证明垂径定理后,反过来对圆的轴对称性进行推理证明,是知识点间的呼应;证明定理后的练习和例2的变式题,是图形的呼应;最后设置图形导图对本节课进行小结,是对整节课的主要结论、图形变化、思想方法的整体呼应.这样的关联呼应,使整个设计环环相扣,思路清晰,逻辑一以贯之.

2.注重例、习题间的自然过度,转变学生数学学习方式

例、习题的巧妙选择不仅是对知识的应用和巩固,更可以促进学生学习方式的优化和学习水平的提高.垂径定理的应用对运算和推理都有要求.因此本节课通过图形的运动对例、习题进行变式,是为了三个环节——由基本的运算到推理,到解决实际问题;由基本图形到两弦垂直、相交、平行;从简单到复杂、从特殊到一般——平滑自然过渡.学生出于自主探究的学习状态,在同一模型、不同形式的题目探究中既升华了知识,又促进了知识点的正向迁移.

3.加强数学思想方法的渗透,培育学生数学核心素养

本节课引导学生构建了垂径定理基本模型,把复杂的问题理想化和简单化.因此平时教学中，教师要对教材自然加工,灵活构建,渗透数学思想,多层次、全方位地培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,促进学生数学核心素养的形成.