许润芝

【摘要】几何是初中数学的重要组成部分，目前初中数学教材中的几何体系主要围绕几何图形的边、角关系进行推理与解题，学生普遍存在“定理易懂解题难”的问题，对几何问题难以把握实质，张景中院士在《从数学教育到教育数学》中打造了围绕面积法的几何知识新体系，致力于通过再创造改造数学，通过数学化的方法还原几何本质，本文针对书中的共角定理进行展开，着重介绍其在解题方面的应用及定理推广.

【关键词】初中数学;共角定理;解题方法

1 共角定理

共角定理建立在共角三角形的基础上，它是指，一对含有相等角（或互补角）的三角形的面积比等于该夹角两边的乘积之比.

定理 如图1 ，若∠ABC和∠DEF相等或互补，则有S△ABCS△DEF=AB·BCDE·EF.

这个定理的证明有两种基本方法：

第一种运用三角形的面积计算公式，

证明

S△ABC=12ah=12absinC（其中h表示边a上的高，C表示a、b两边的夹角）.

在△ABC和△DEF中，若角相等或互补，则很容易得到如下结论：S△ABCS△DEF=12BA·BC·sinB12BD·BF·sinE=AB·BCDE·EF，由此得证.

第二种证明基于一个基本的事实：共高三角形的面积比等于底的比，

证明

S△ABCS△DEC=ABDE，S△DECS△EFD=BCEF，

故可以得到S△ABCS△DEF=AB·BCDE·EF，由此得证.

共角定理在实际应用中，因其应用条件简单，仅需要找到相等或互补的角，是解决几何问题十分有效的工具.解题过程中，如何选择两个合适的共角三角形，是运用共角定理解决问题的关键.

共角定理是张景中院士面积法体系中重要的一个定理，是对同底等高三角形面积相等这一基本性质的推广，它的用途覆盖非常广泛.在一些复杂几何图形，尤其是初中竞赛中的几何试题中，运用共角定理时常能得到意想不到的效果.

2 共角定理的应用

2.1 有关线段的问题

例1 如图2，在凸四边形ABCD中，已知AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点.延长BA、CD，分别交EF的延长线于P、Q.求证：PA=QD.

分析 该题目的叙述和图形相比例1更为复杂一些，解题的关键同样是抓住图形中的共角三角形，将面积比转化为线段比.

本题另一个难点在于得到（5）之后，需要利用题目中已给出的AB=CD的条件进行转化.这一步也可以利用共边定理一步到位，得到证明，感兴趣的读者可以尝试.

证明 由共角定理：

S△EPAS△EQD=EP·EAEQ·ED=EPEQ，（1）

S△FQCS△FPB=FQ·FCFP·FB=FQFP，（2）

S△QEDS△QFC=EQ·DQFQ·CQ，（3）

S△PFBS△PEA=FP·BPEP·AP，（4）

（1）×（2）×（3）×（4）得

1=DQCQ·BPAP.（5）

不妨设AB=CD=l，代入（5）可得

DQ+lDQ=AP+lAP，

最终化简得PA=QD.

2.2 有关面积的问题

例2 如图3，将四边形ABCD各边延长原长度的2倍，得到一个新的四边形EFGH，如果ABCD的面积是5，那四边形EFGH的面积是多少？

分析 在这个题目中没有特别明显的共角定理的模型，需要添加辅助线，通过连接AC或者BD进行构造，通过明确边之比确定面积比，最后四边形EFGH的面积由3个部分构成.

解 连接AC，由共角定理：

S△ABCS△EBF=BA·BCEB·FB=16

S△ADCS△GDH=AD·CDGD·HD=16

同理可得，连接BD，

S△BDAS△HEA=BA·DAEA·HA=16，

S△BCDS△FCG=BC·DCFC·GC=16，

故SABCD：S△DGH+△BEF=1：6

S△DGH+△BEF=30

故SEFGH=30+30+5=65

通过共角比例定理，就可以自如的将线段比、面积比进行转换，把几何面积比的问题划归为线段比问题，使解题更为简捷、高效.

与现在中学阶段，教材上通常講解的全等三角形，相似三角形相比，推广共角定理有以下三个个优点：更具普适性、更具简明性、更具延展性.

全等三角形是几何学习的一大难点，对于中学教师而言，不仅需要帮助学生掌握传统方法，更需要在此基础上进行拓展与创新，将教育数学融入数学教育，从各个方面渗透数学思想，把握数学本质.

参考文献：

[1]张景中，彭翕成.共角定理[J].中学生数理化（八年级数学）（华师版），2008（Z2）：7-9.

[2]黄诚.“共角比例定理”在数学竞赛中的应用[J].中学生数学，2006（04）：27-28.

[3]陈凤儿. 共边共角定理及其在教学中的应用[D].广州大学，2019.