刘秀朵，刘新静，杨永燕,2

（1.濮阳石油化工职业技术学院 基础部，河南 濮阳 457001；2.安阳学院 数理学院，河南 安阳 455000）

人们常常利用整数阶微分方程研究生物系统的动力学行为［1-2］。由于现实世界中生物的交互作用，人们往往在方程中加入一些参数来描述这些行为。例如，人们通过加入猎物避难所来描述食饵受庇护的情况［3］，通过加入恐惧参数来描述捕食者对食饵的间接影响［4］。ZHANG H.S.等［5］研究了包含猎物避难所的Holling II型捕食-被捕食模型

中被捕食者因对捕食者恐惧而产生的反捕食者行为。

由于许多生物系统都有记忆性，而分数阶导数与生物系统的时域有关，一些学者就用分数阶微分方程刻画生物系统的遗传记忆特性［6］，还有一些学者研究了生物系统的过去状态对现在状态和未来状态的影响，用带有的时滞的模型描述种群的反应时间、成熟时间及妊娠期等［7］。在此基础上，我们将研究带有恐惧效应和包含猎物避难所的分数阶时滞捕食者-食饵模型

的平衡点的存在性、平衡点处的稳定性以及存在Hopf分岔的条件，并通过数值模拟验证结论的正确性。

1 预备知识

定义1［8］：函数f∈Cn([t0,∞),R)的q阶Caputo分数阶导数定义为

其中，n为正整数，n−1

引理1［9］：对于n维分数阶时滞系统

其中，0

1）当τ=0时，系统（3）的线性化系统的系数矩阵的所有特征值λj(j=1,2,… ,n)满足。

2 平衡点的存在性和稳定性

考虑到保护生态系统的多样性，我们重点关注捕食者-食饵模型在共存平衡点ε2=(x∗,y∗)处的动力学行为，平凡平衡点和无捕食者平衡点的稳定性参照以下共存平衡点处的讨论很容易获得，在此不再赘述。……