文∣李悦

小学低年级数学课堂是激发学生数学兴趣、培养学生关联意识的摇篮。一线课堂更是落实数学核心素养的主阵地。在课改的过程中，学校的数学课质量如何？有何需要改进的地方？带着这样的疑问，近年来学校实施“推门听课”制度，以期掌握真实的一线课堂样态。

一、数学课堂教学诊断

通过对学校低年级数学教师“推门听课”分析发现，在实际教学中的低年级数学课堂，主要存在以下三个问题。

第一，知识缺少深度理解。金陵小学是一所年轻的学校，低年级的数学教师大多工作年限较短，几乎没有高年级的任教经验，这就导致在实际教学中，教师教学往往局限于教材所示的知识表层，欠缺对知识的后续理解与拓展。

第二，教师缺少关联能力。对低年级教师的访谈发现，在备课中，他们更多关注一课的教学结构，稍有经验的教师会关注这一课在单元知识结构中的地位，寻找这一课的“前世”“来生”，但也仅限于此，他们不知道该如何将知识置于整个学习体系中进行关联与建构。

第三，学生缺少探究经验。低年级数学课的知识点是一般基础，大部分还是围绕数领域的认识、计算等，由于知识点的浅显易懂，在教学时教师有时会忽略学生的自主探究，而正是缺少实际探究经验，学生对知识理解会浮于表面，导致学习进入一个低效、浅层的不良循环。

这样的数学课堂急需转向。2020年10月，金陵小学有幸参与江苏省基础教育前瞻性教学改革实验重大项目“数学实验”，在一年的研究中，学校依托“做数学”，强化知识深度理解，发展教师关联能力，丰富学生探究经验，实现以点、线、面、体“四维”关联的课堂转向。

二、“做数学”的基本内涵和特征

(一)“做数学”的基本内涵

“做数学”是学生运用材料和工具，在动手动脑相协同的过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识、探究数学规律、解决问题的一种数学学习方式。结合低年级学生的身心特点，在二年级的数学课堂中，“做数学”的外显形式更多依赖学生的操作体验，即学生利用简单的操作材料，在思考参与的前提下，按照一定的操作步骤展开实际体验，并逐步剥离操作活动，从中提炼出相应的数学知识。

(二)“做数学”的基本特征

1. 思考性与目的性

“做数学”是学生动手动脑相协同的学习方式，要使学习活动顺利开展的前提就是有学生的主动思考参与，因此有价值的思考是“做数学”的第一属性。它将“做数学”与以往课堂上浅层的动手实践操作相区别开，同时又充分概括了“做数学”的实践价值。

目的性强调的则是“做数学”的活动目标，主要涵盖：是否必须要进行体验活动；如果进行活动，要达到什么样的目的；如果不进行活动，对学生的学习会有什么样的影响；开展什么样的活动，不同形式的活动对学生的学习影响如何；等等。

⒉ 操作性与程序性

“做数学”在低年级的载体是各式各样的操作活动，因此操作性是其根本，而二年级的“做数学”不仅要可操作，更要易于操作；不仅可以独立操作，还可以合作完成；不仅在课堂上可以操作，在其他时间段，学生也可以自由尝试操作。

程序性则赋予了“做数学”有意义的价值取向，以区别学生无序、杂乱的动手实践，程序性活动为学生的学习提供助力，提高了操作的效率与质量，同时也便于学生课后独立开展。

⒊ 验证性与重复性

“做数学”的一大魅力就是在操作活动之前，学生对于结论性知识尚不明确，或者知道一些结论，却“不知其所以然”。因此，在思考时，学生可以提出一些假设、猜想，他们带着这样的目的进行操作，用自己的实际操作来验证之前的假设、猜想是否成立，这就是“做数学”所具备的“验证性”，这样的学习方式更容易给学生带来学习的快乐。“做数学”的操作可以不断重复，但无论重复几次，其最终结果不会变。对于学生来说，重复性极其重要，为他们理解数学知识搭建了扶手。

三、“做数学”的“四维”价值

(一)在“知识点”理解中开展研究

帮助学生理解数学，就是将“掌握方法”的浅层学习转变为“明白道理”的深层学习，只有在“知理”的层面才能将知识技能转化为素养或能力，而在小学低年段的数学课堂，“理”往往隐藏于“知识点”中。如果课堂能够深度挖掘各知识点，而不只是完成一道道练习，学生的学习必将有深度、有质量，课堂也将呈现出浓浓的数学味。

(二)在“知识串”联结中深化经验

数学知识前后衔接的特质要求学生时刻准备同化和接受新知，教师可以充分利用这一点，以寻找知识的逻辑为起点，将知识串联成线，以组块化的形式让学生展开操作，巩固学生对知识的数学理解，在逐层递进的操作中加深“知识串”的学习体验。

(三)在“知识面”交界中迁移方法

数学知识学习是由“这一个”向“这一类”，“这一类”向“那一类”结构的连续。连续是学生对自然生命成长结构的理解与运用。知识连续是有共性的，如果教师能够抓住这个共性，让学生经历“这一类”知识的探索，并将其学习经验迁移到“那一类”中去，课堂必将得到质的飞跃。

(四)在“知识体”建构中打通脉络

数学教学通常以“联系”作为教学目标之一，帮助学生不断实现知识、方法的联结与重构，使新知识、新方法纳入学生原有的认知结构中去，从而形成一个更宽泛、全面的认知结构。但对于小学生来说，这种“联系”大多较隐蔽，如果教师能够帮助学生建立“知识体”，打通学习脉络，让学生看到知识之间的“联系”，必能让学生的知识结构更加完整和牢固。

四、“做数学”的课堂转向实践路径

(一)“零维”点：知识点中深挖掘，点“联”成线

基于二年级学生的身心特点，苏教版数学教材的编写在单元起始课多以点状知识为主，学生通过学习多个不同的知识点，在单元后期逐渐将其建立联系，完善自己的知识结构。但是这样的点状分布学习，容易使学生浅尝辄止，同时也割裂了知识间的联系，弱化了学生的关联意识。而依托“做数学”，在知识点中深挖掘，将点状知识串联起来，可以解决以上问题。例如，苏教版《数学》二年级上册第三单元的例题1：“几个相同加数的连加”。学生在一年级已经学过连加，也能独立进行连加计算，但接触的相同加数连加多局限于三个加数。在学生的认知结构中，乘法的生长点还不够充分，为此可以借助“做数学”活动，丰富学生的连加体验。教师在教学时可分以下几步进行。

第一步：教师通过用圆片摆3个2，激起学生“摆几个几”的学习经验，让学生体会“从没有特点的一行摆6个圆片，过渡到在一行里突出3个2”的过程。教师再通过生生间的交流，移动圆点位置摆出3个2(如图1所示)。

第二步：教师继续用圆片摆2个3，学生可能会重新摆成一行，也可能会在竖着摆的基础上，换一个视角观察。教师引导学生竖着摆不需要调整摆的方式，只需要换一个观察视角，既可以表示3个2，也可以表示2个3，从而引导学生达成共识：竖着摆“几个几”，摆法只有一个，但是能表示两种“几个几”(如图2和图3所示)。

第三步：教师将圆片表示“几个几”抽象成画点子图表示“几个几”，让学生从实物表征过渡到图形表征。在展示交流部分，先出示一幅图表示两种“几个几”的学生作品，进一步巩固学生在第二步中的学习体验；接着展示如“4个4”的学生作品，在交流中提高学生对点子图的认识，这时候无论横着看还是竖着看，都只能表示一种“几个几”。

(二)“一维”线：知识串中看联结，线“联”成面

虽然教材有时呈现的只是一道题目，但是它暗藏着知识逻辑或知识线。例如，苏教版《数学》二年级下册第六单元第73页“动手做”(如图4所示)，按题目要求，红色卡片上的数都在百位，蓝色卡片上的数都在十位，黄色卡片上的数都在个位，像这样组成的3个三位数相加，无论同一个数位上的数字如何调换顺序，和总是不变的。但这样隐藏在计算法则中的规律难以被学生发现，而且一开始就用3个三位数展开计算活动，对计算基础薄弱的学生来说难度太大，也不利于他们发现其中的规律。因此，在教学时教师可以找到这个动手做的知识起点，用“知识起点—操作活动—知识迁移”这样的线性活动展开，同时学生有了前期积累的线性活动经验，可以自发将知识向更多位数加法、减法进行“面状迁移”。

图4

教师教学时可分以下几步进行。

第一步：教师通过2个两位数相加，并交换相同颜色的数字卡片教学，巩固学生对加法计算法则的理解，在生生交流中明确：先算个位、再算十位，满十进一；交换成两组不同的两位数，但是和不变。

第二步：教师通过3个两位数相加，并交换相同颜色的数字卡片教学，让学生进一步感受“和不变”，并产生研究的欲望。再结合第一步的操作，在本轮教学的多次交换中，联系加法计算法则尝试对“和不变”进行解释。在交流中加深学生认识：无论怎么交换数字，相同数位上的数字不变，总的和也不变。

第三步：教师通过发散思维，引导学生自发将第二步的学习经验串联到3个三位数相加中，并在多次操作中检验加法计算法则对和的影响在三位数加法中是否成立。

第四步：教师通过面状迁移，让学生可以自由尝试更多位数加法、减法是否存在“和不变”“差不变”现象，并对此作出合理解释。

(三)“二维”面：知识面中促迁移，面“联”成体

在教学中，还会遇到这样一种情况，学生可以借助自己积累的操作活动经验，并顺利迁移到具有相同活动经验的知识中，将其由一个知识面辐射到另一个知识面，最终将不同面的知识进行整合，建构更全面的知识体。例如苏教版《教学》二年级上册第一单元例题：“让两串彩珠同样多，求两个数量相差多少。”在一年级学生已经学习过该类内容，这里不仅让学生重温两个数量相差多少的关系，更是让学生在解决问题的过程中，想办法使“不相等”变成“相等”，将以往的三种方法拓展为三类方法，进一步体验相差数的含义，建立相差数为单、双数时不同的解决问题体系。教师教学时可分以下几步进行。

第一步：学生自由摆一摆，激活原有学习经验。在操作中巩固对“一一对应”数学方法的理解。

①红圆片和蓝圆片一样多。

②蓝圆片比红圆片多一些。

③红圆片比蓝圆片少一些。

第二步：引导学生按要求操作。红圆片有8块，蓝圆片有12块，有什么办法让红圆片和蓝圆片同样多？通过学生的交流，将答案以表格的形式呈现。

表1 学生答案

第三步：让学生观察表格，交流。理论上解法有无数种，最简单的就是蓝圆片不动，红圆片添上4块，两种圆片同样多。无论哪种解法，添上的红圆片始终比蓝圆片多4块。教师引导学生总结：只要保持较小数添的数量-较大数添的数量=相差数，两个数量就能相等。

第四步：引导学生将知识自发迁移，从“添上圆片”迁移到“去掉圆片”，用表格形式呈现，交流。解法只有9种，最简单的就是红圆片不动，蓝圆片去掉4块，两种圆片同样多；无论哪种方法，去掉的蓝圆片始终比红圆片多4块。

第五步：引导学生总结，蓝圆片比红圆片多4块，所以可以把2块蓝圆片给红圆片，两种圆片就同样多。教师鼓励学生将知识自发迁移，选择不同数量的两种圆片试一试，当相差多少时，可以用“……给……多少”这样的方式来使两种圆片同样多。学生将知识进行迁移，并经历动手操作后，提炼出“当相差数为双数时，较大数-相差数的一半=较小数+相差数的一半；当相差数为单数时，这种方法不可以”。

(四)“三维”体：知识体中建结构，体“联”成系

在教学中，教师除了要找到一些上位知识的逻辑起点之外，很多新知识也是后续知识的逻辑起点。例如，苏教版《数学》二年级上册第四单元第45页动手做(如图5所示)，学生能够独立进行操作活动，并且能够在教师引导下认识到“摆2行，每行摆4个”和“摆4行，每行摆2个”属于同一种方法，可以用4×2表示小正方形的总个数。但是仅仅有这样的认识是不够的，后续学习长方形的面积推导也会用到这样的方法，乃至长方体的体积推导也用类似的方法，只不过从摆小正方形变成小正方体。这一系列的知识体系都是建立在摆小正方形的方法之上的，教师应在学生刚接触摆小正方形时，就给他们埋下后续知识的种子，方便日后学生自主建构知识。

图5

基于以上思考，教师教学时可分以下几步进行。

第一步：用8个大小相同的小正方形摆一个长方形，可以摆( )行，每行( )个，乘法算式是 ( )。呈现学生作品(如图6所示)，在交流中明确①和②是同一种摆法，③和④也是，并用表格形式进行记录。

图6

表2 摆法记录

第二步：让学生填写用12个大小相同的小正方形摆一个长方形，可以摆( )行，每行( )个，乘法算式是 ( )。学生将前面学习的方法顺利迁移与应用，让学生积累摆小正方形的活动经验，又将数与形相结合，培养数形结合的思想。

第三步：给出指定大小的长方形，需要多少个小正方形才能填满？学生通过摆小正方形操作，得出正确答案，并在生生交流中，明确摆小正方形的不同方式，可以全部摆满，也可以用一个小正方形依次摆一摆，数一数。

第四步：教师向学生提问“想一想，去掉哪些小正方形，你依然能够确定长方形里小正方形的总数”。学生通过不断操作(如去掉小正方形)，对比不同方法(如图7所示)，得出“只要剩下的小正方形里能够看出6×3，那么就能确定长方形里小正方形的总数”，这为学生日后学习长方形面积打下了基础。

图7

第五步：教师向学生提问“想一想，去掉哪些小正方体，你依然能够确定长方体里小正方体的总数”。学生通过不断操作(如去掉小正方体，如图8所示)，得出“只要能看出每行几个，摆了几行，摆了几层，就能够用乘法算式算出长方体里小正方体的总数”，这为学生以后学习长方体体积打下了基础。

图8

综上所述，“做数学”要在低年级动手操作，充分调动学生的学习兴趣；以“点、线、面、体”四个维度展开的“做数学”活动，让学生的思维向更深处漫溯,培养学生数学素养。但该方法目前只局限于二年级的实践研究，其他年级的“做数学”是否也能在“四维”中展开，将是我们后续研究的重点。