吴文俊

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年一公元前500年）出生于小亚细亚萨摩斯（ Samos）岛（今希腊东部小岛）.他白幼聪明好学，曾在名师泰勒斯（Tha-les，约公元前624年一公元前546年）、阿那克西曼德（Anaximander，约公元前610年一公元前545年）等门下学习过几何学、自然科学和哲学.

毕达哥拉斯曾经走过万水千山，游历了当时世界上文化水准极高的文明古国——巴比伦、印度以及埃及（有争议），学习了美索不达米亚文明和印度文明的文化.后来，他到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，并和他的信徒们组成了“毕达哥拉斯学派”，学派的成员都有着共同的哲学信仰和政治理想，在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响.在毕达哥拉斯逝世后，学派中人在希腊各学术中心继续活动，直至公元前400年.毕达哥拉斯及其学派中人在数学方面作出了颇多贡献.下面我们分两部分介绍.

一、对数的一般认识

毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等.学派中人把宇宙间的一切现象都归结为自然数和自然数之比.自然数有两种：偶数和奇数.偶数能够被平分，即能被分成相等的两部分;奇数不能被平分，只能被分成不相等的两部分.他们还把自然数与用小石子排列的图形相比拟，称其为拟形数，借以把自然数作另一种分类.

1.拟形数

三角形数：1，3，6，…，各项的结构特点为1，1+2，1+2+3，…，通项是1+2+…+n=1/2n（1+n）. 正方形数：1，4，9，16，…，n2. 五角形数：1，5，12，22，…，各项的结构特点为1，1+4，1+4+7，…，通项是1+4+7+-+3n一2=1/2（3n2一n）.

六角形数：1，6，15，28，…，各项的特点结构为1，1+5，1+5+9，…，通项是1+5+9+...+4n-5=2n2-n，如图1.

2.完美数

如果一个数等于它全部真因数的和，那么这个数是完美数.亚历山大时期希腊数学家伊安布利霍斯（Iamblichus，约公元前250年一公元前330年）著有九部关于毕达哥拉斯学派的书，其中前四部至今犹存.书中说，学派中人当年视数6=1+2+3为喜庆、建康和美好.完美数的定义被收入欧几里得《原本》卷7.

3.相亲数

若甲数是乙数全部真因数的和，而乙数又是甲数全部真因数的和，则两数互为相亲数.希腊数学家伊安布利霍斯（lamblichus，约公元前250年一公元前330年）指出，毕达哥拉斯曾把甲乙两数之间的这种密切关系，象征为亲密无间的友谊.例如，284=22x71的真因数是1、2、4，71、142.它们的和等于220=22x5x11.而220的真因数1、2、4、5，10、22、44、55、110的和等于284.284、220是人们最早知道的一对相亲数.

6.无理数

希伯斯（Hippasus，約公元前625-公元前547年）是毕达哥拉斯的得意门生.他首次发现：竟然存在不能表示为自然数之比的数——√2.这就违反了学派的基本信条，遭到溺于海的惩罚.希伯斯发现的这类数，被称为无理数.无理数的发现，导致了第一次数学危机，希伯斯的发现为数学的发展作出了重大贡献.命题1.正方形一边与其对角线为不可公度量.

证明：在正方形ABCD（如图3）中，AC为对角线，则AC和AB是不能公度的量.因为如果它们是可公度量，将会有一个量既是奇数量，又是偶数量.……假定边长AB是某线段的Ⅳ倍，而对角线是同一线段的M倍.由毕达哥拉斯定理得M2=2N2.再假设M和N不同为偶数，否则考虑将正方形对角线和边长各缩短一半.假设M是偶数，则Ⅳ必是奇数.又设M-2T，则4T2=M2=2N2，即2T2=N2，故N是偶数，Ⅳ也是偶数.那么Ⅳ怎么能既是奇数又是偶数呢？结论应当是：正方形的边长与对角线长不可能有公度量.

命题2.正方形对角线不能被它的边长量尽.

证明：若图1中正方形的对角线能被它的边长AB量尽，即二者之比能用既约分数a：p表示.如果a>p，那么a：p大于1.令AC2：AB2= a2： p2，可得AC2= 2AB2，a2= 2β2.那么a2是偶数，α也是偶数.而a：β是既约的，那么β必须是奇数.但是a=2γ，因此4γ2= 2β2或β= 2γ2，那么β2必须是偶数，也就是说β必须是偶数.而卢是奇数，这是不可能的事.

该证法与亚里士多德（Aristotle，公元前384年一公元前322年）《分析前编》中的一致，因而被引用在各种版本的数学教科书中有关实数的开头章节.19世纪50年代李善兰与英国人利玛窦（MatteoRicci，1552年-1610年）在译《原本》后九卷时，把此命题作为卷10命题117，命题被译为：凡正方形之边与对角线无等.

二、对图形的研究

毕达哥拉斯学派对图形作了很多研究，并得到很多有用的结论.

1.平面图形

定理1：三角形的三个内角的和等于2个直角.

定理2：任意n边形的n个内角和等于2（n-2）个直角，外角和等于4个直角.

定理3：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积等于以两个直角边为边的正方形的面积之和.

定理4：正三角形、正方形以及六边形可覆盖平面.

2.面积与几何代数

定理1：以a，x为长与宽作长方形，若该长方形的一部分面积等于已给长方形的面积S，则另一部分D’与已给长方形D相似.

定理2：设a，x为长方形的长与宽，该长方形与另一同宽的长方形D'的面积之和等于另一个长方形的面积S，则长方形D’与以6，c为边的长方形相似.用几何方法作出的长x就是二次方程b/cx2+ac=S的根.

3.正多面体

在几何学方面，毕达哥拉斯学派发现了正五角形和相似多边形的作法;还发现了“宇宙体”——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，如图5，并给出了相应的证明.

——摘自《中国数学史大系·副卷第一卷》