有限交换环上Ramanujan二次单位一-匹配双凯莱图

2022-06-08苟小丽

兰州文理学院学报(自然科学版) 2022年3期

关键词：重数子集正则

苟小丽

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

0 引言

本文所考虑的图均为简单无向图.设图G的顶点集为V(G)={1,2,…,n},它的邻接矩阵为A=(aij)n×n,其中当顶点i和j相邻时,aij=1; 否则aij=0.图G的特征值是其邻接矩阵的特征值.

设A(G)的互异特征值为λ1>λ2>…>λk,且它们的重数分别为m(λ1),m(λ2),…,m(λk),则图G的谱记为

一个有限k-正则图G称为Ramanujan图[1],如果

其中：λ(G)为G的不同于±k的特征值绝对值的最大值.关于Ramanujan图及相关扩展图的研究, 可参考文献[2-8].

1878年，A Cayley 为解释群的生成元和定义关系首次提出凯莱图的概念.1992年, Resmini 和 Jungnickel[9]定义了双凯莱图.

设H是一个具有单位元1H的群,R,L,S是H的子集,且1H∉R=R-1,1H∉L=L-1,则H上的双凯莱图BC(H;R,L,S)是指以H×{0,1}为顶点集的无向图,且(h,i)和(g,j)相邻,当且仅当以下条件之一成立:

(i)i=j=0且gh-1∈R;

(ii)i=j=1且gh-1∈L;

(iii)i=0,j=1且gh-1∈S.

特别地,若S由H的单位元构成, Kovács 等[10]称其为H上的一-匹配双凯莱图.

关于(一-匹配)双凯莱图的一些组合性质和代数性质,其中包括弧传递性、强正则性、自同构和点传递性,可参考文献[9-12].

设R是有单位元1≠0的有限交换环,R×表示其单位的集合.局部环是有唯一极大理想的交换环[13].由文献[13-14]可知,若R是具有唯一极大理想M的局部环,则R×=RM.每个有限交换环可表示为有限局部环的乘积,且这种分解在不计此类局部环的排列次序时是唯一的.因此,后续讨论总是基于以下假设.

假设1[4]R=R1×R2×…×Rs是具有单位元1≠0的有限交换环,其中Ri是具有mi阶极大理想Mi的局部环.设

|R1|/m1≤|R2|/m2≤…≤|Rs|/ms.

显然,

(1)

定义1[5]给定一个交换环R,R上的二次单位凯莱图GR定义为R关于TR=QR∪(-QR)在加法群上的凯莱图Cay(R，TR),其中QR={u2:u∈R×},即GR有顶点集R,使得x,y∈R相邻,当且仅当x-y∈TR.

这个概念是Zn上的二次单位凯莱图GZn的推广[15], 当n≡1(mod 4)且为素数时, GZn是n阶Paley图.随着对GZn结构性质的进一步研究,de Beaudrap将GZn在n的素因子上分解为张量积, 还计算了GZn的直径, 并给出GZn是完美的条件[15].

文献[16]基于单位凯莱图的概念定义了单位一-匹配双凯莱图.本文类比单位一-匹配双凯莱图的概念, 在二次单位凯莱图的基础上定义了二次单位一-匹配双凯莱图的概念.

定义2给定一个交换环R,R上的二次单位一-匹配双凯莱图GR定义为R加法群上的一-匹配双凯莱图BC(R;TR,TR,{0}),其中TR=QR∪(-QR),QR={u2:u∈R×}.

2015年,刘晓刚等[5]给出了二次单位凯莱图是 Ramanujan 图的等价刻画.受此启发,本文主要讨论了二次单位一-匹配双凯莱图是 Ramanujan 图的等价条件.

1 二次单位一-匹配双凯莱图

两个图G和H的笛卡尔积记作G□H,其顶点集为V(G)×V(H),顶点(u,v)和(x,y)相邻当且仅当v=y且u和x在G中相邻,或u=x且v和y在H中相邻.

引理1[17]设G和H是两个图,其特征值分别为λ1,λ2,…,λn和μ1,μ2,…,μm,则G和H的特征值为λi+μj,1≤i≤n,1≤j≤m.

引理2[5]设R是具有m阶极大理想M的局部环,则

(1)若|R|/m≡1(mod 4),则

(2)若|R|/m≡3(mod 4),则

Spec(GR)=

根据二次单位一-匹配双凯莱图和笛卡尔积的定义,有GR≅Cay(R,TR)□P2=GR□P2,其中P2为2长路.由引理1和2可得如下结论.

定理1设R是具有m阶唯一极大理想M的局部环,则

(1)若|R|/m≡1(mod 4),则

(2)若|R|/m≡3(mod 4),则

Spec(GR)=

引理3[5]设R如假设1所示,则GR=GR1⊗GR2⊗…⊗GRs当且仅当至多存在一个Rj,使得-1∉QRj.

定理2设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,则

GR=(GR1⊗GR2⊗…⊗GRs)□P2.

证明根据二次单位一-匹配双凯莱图和笛卡尔积的定义,有

GR≅Cay(R,TR)□P2=GR□P2,

其中P2为2长路.因为|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,所以-1∈QRi/Mi,1≤i≤s,于是-1∈QRi,1≤i≤s,从而由引理3可知,

GR=GR1⊗GR2⊗…⊗GRs,

故GR=(GR1⊗GR2⊗…⊗GRs)□P2.

令

λA,B=(-1)|B|·

其中，A,B为{1,2,…,s}的不交子集[5].特别地,λ∅，∅=|R×|/2s.

引理4[5]设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,则GR的特征值为

(1)λA,B,重数为

其中,所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集,且A∩B=∅;

(2)0，重数为

|R|-

由引理1, 定理2和引理4可得:

定理3设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,则GR的特征值为

(1)λA,B±1,重数为

其中,所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集,且A∩B=∅;

(2)±1,重数为

|R|-

引理5[5]设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,R0是具有m0阶极大理想M0的局部环,且|R0|/m0≡3(mod 4),则GR0×R的特征值为

其中,所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集,且A∩B=∅;

(3)0,重数为

|R|-

由引理1, 定理2和引理5可得：

定理4设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,R0是具有m0阶极大理想M0的局部环,且|R0|/m0≡3(mod 4),则GR0×R的特征值为

其中,所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集，且A∩B=∅;

其中,所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集,且A∩B=∅;

(3)±1,重数为

|R|-

推论1(1)若p≡1(mod 4)为素数,且α≥1为整数,则

Spec(GZpα)=

(2)若p≡3(mod 4)为素数,且α≥1为整数,则

Spec(GZpα)=

(1)

(2)±1,重数为

(1)

(2)

(-1)|B|+1·

重数为

其中所有的(A,B)对均为{1,2,…,s}的子集,且A∩B=∅;

(3)±1,重数为

2 Ramanujan二次单位一-匹配双凯莱图

引理6[18]设R是具有m阶唯一极大理想的有限局部环,则存在素数p使得|R|,m和|R|/m都是p的幂次.

定理5设R如假设1所示,|Ri|/mi≡1(mod 4),1≤i≤s,R0是具有m0阶极大理想M0的局部环,且|R0|/m0≡3(mod 4),则

(1)GR0是Ramanujan图,当且仅当

(2)GR是Ramanujan图,当且仅当R≅Fq,其中q≡1(mod 4)为素数的幂;

(3)GR0×R是Ramanujan图,当且仅当

R0×R≅F3×F9.

证明由文献[5]可知,GR0的正则度为|R0×|=|R0|-m0,GR的正则度为|R×|/2s,GR0×R的正则度为|R0×||R×|/2s.则由引理1和定理2可知,GR0的正则度为|R0|-m0+1,GR的正则度为|R×|/2s+1,GR0×R的正则度为|R0×||R×|/2s+1.

(1)根据定理1(2),当|R0|-m0-1≥m0+1,即|R0|≥2m0+2时,GR0是Ramanujan图

当|R0|-m0-1≤m0+1,即|R0|≤2m0+2时,GR0是Ramanujan图

(2)根据定理3,GR是Ramanujan图

λA,B±1≠±(|R×|/2s+1).

因为|λA,B±1|≤|λA,B|+1≤|λ∅，{1}|+1≠|R×|/2s+1,所以GR是Ramanujan图

(2)

(3)

又因为

则当s≥4时,由式(1)可知,

|R×|/2s≥

即式(3)不成立,所以GR不是Ramanujan图.

下面考虑1≤s≤3的情况.

情形1s=1.

若m1≥8时,以上不等式不成立,所以GR不是Ramanujan图.

假设m1≤7,因为|R1|/m1≡1(mod 4),所以由引理6可知,m1=1,3,5或7.

由文献[19]可知, 具有素数阶p的极大理想的有限交换局部环是Zp2和Zp[X]/(X2),它们的剩余域均为Zp,又由|R1|/m1≡1(mod 4)可知m1=1或5.

当m1=1时,R1≅Fq，q≡1(mod 4)为素数的幂.根据式(2),所以GFq是Ramanujan图.

当m1=5时,R1≅Z25或Z5[X]/(X2).此时式(2)不成立,所以GR不是Ramanujan图.

情形2s=2.

此时,式(3)等价于

若m1m2≥4或|R2|/m2≥17,则以上不等式不成立,所以GR不是Ramanujan图.

假设m1m2≤3,|R2|/m2≤16.

因为|Ri|/mi≡1(mod 4),i=1,2,所以由引理6可知m1m2=1或m1m2=3.注意到,Z9和Z3[X]/(X2)是恰有3个元素的唯一极大理想的局部环,它们的剩余域均为Z3,这与|Ri|/mi≡1(mod 4),i=1,2矛盾,所以m1m2=3不可能出现,因此m1m2=1,且以下条件之一将会出现:

(Ⅰ)R1≅R2≅F5;

(Ⅱ)R1≅R2≅F9;

(Ⅲ)R1≅R2≅F13;

(Ⅳ)R1≅F5，R2≅F9;

(Ⅴ)R1≅F5，R2≅F13;

(Ⅵ)R1≅F9，R2≅F13.

将其依次代入式(2),式(2)均不成立,所以GR不是Ramanujan图.

情形3s=3.

此时,式(3)等价于