魏玉丽， 王利萍， 代佳华

(北京建筑大学 理学院，北京 100044)

Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数是Kazhdan-Lusztig理论中的核心研究对象[1]，这些系数对研究该理论起到了至关重要的作用。为了计算一些最低双边胞腔上的Kazhdan-Lusztig多项式的首项系数，需要知道李代数中不可约模的张量积重数；而张量积中不可约模的重数在李代数理论中也是一个重要的问题。许超[2]给出了A2的不可约模的张量积分解的一个计算方法。于桂海等[3]给出了特征数大于0的代数闭域上C2型单连通半单代数群，限制支配权所对应的不可约模的张量积分解。对于A型李代数的张量积分解，理论上有Young图法、Klymik公式、Pieris公式。

1 预备知识

W0={e,s1,s2,s3,s1s3,s2s1,s1s2,s2s3,s3s2,s1s3s2,

s1s2s3,s1s2s1,s2s1s3,s2s3s2,s3s2s1,s1s3s2s1,

s1s3s2s3,s1s2s3s1,s2s1s3s2,s2s3s2s1,s2s1s3s2s1,

s1s3s2s1s3,s1s2s3s1s2,s2s1s3s2s1s3}

1)s0ω=ωs1,s1ω=ωs2,s2ω=ωs3,s3ω=ωs0。

2)s0ω2=ω2s2,s1ω2=ω2s3,s2ω2=ω2s0,s3ω2=ω2s1。

3)s0ω3=ω3s3,s3ω3=ω3s2,s2ω3=ω3s1,s1ω3=ω3s0。

并且有Λ=x1+x2+x3,Λ+=x1+x2+x3,Λr=α1+α2+α3。

1.2 李代数中张量积分解的相关结论

设L=sl(4,F), 为上A3型李代数。设V(λ)为首权是λ的不可约最高权L-模，V(λ)的权格为∏(λ)，且L的基本支配权为x1、x2、x3。如果μ∈Λ，定义μ在V(λ)(λ∈Λ+)内的重数为mλ(μ)=dimV(λ)μ[5]。

引理2[5]如果λ∈Λ+，则不可约L-模V=V(λ)是有限维的，且权集合∏(λ)被W0所置换，使得对于σ∈W0，有dimVμ=dimVσμ。

引理3[5](Freudenthal公式)设V=V(λ)是首权为λ(λ∈Λ+)的不可约L-模，如果μ∈Λ,则μ在V内的重数m(μ)可从如下的递推得到：

[(λ+δ,λ+δ)-(μ+δ,μ+δ)]m(μ)=

(1)

计算m(μ)分三步：第一步确定集合D={λ,比λ低的支配权}；第二步计算和D中元素共轭的元素；第三步将前两步的所有元素按照一定水平进行排列。然后根据引理2～3计算出m(μ)。

引理4[5]使得V(λ)可能出现在V(λ′)⊗V(λ″)的加项中的λ∈Λ+,只能形如μ+λ″,μ∈∏(λ′)。当这样的μ+λ″都是支配权时，V(μ+λ″)出现在张量积内，且重数为mλ′(μ)。

2 A3型李代数的张量积分解

2.1 ∏(λ)的计算

首先定义S(λ)(λ∈Λ+)为W0中的元素作用在λ上所得到的元素的集合，即为和λ共轭的元素的集合，同时定义H={x1,x2,x3,2x1,2x2,2x3,x1+x3,x2+x3,x1+x2}。对于λ∈H有：

S(x1)={x1,-x3,x3-x2,x2-x1}

S(x2)={x2,x1-x2+x3,x3-x1,x1-x3,

x2-x1-x3,-x2}

S(x3)={x3,-x1,x2-x3,x1-x2}

再利用编程可……