何建余 李婉玥 唐恒钧

【摘   要】关注起始课在单元教学和知识板块中的价值，基于整体性思维反思起始课的教学，对新课改背景下的小学数学教学具有重要意义。以北师大版教材三年级下册除法单元起始课《分桃子》为例，提出起始课要挖掘与后续学习的基本共通点，夯实与后续学习共通的抓手，进而奠基学生整体性知识网络。

【关键词】起始课;基础性;发展性;共通性;整体性思维

“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”那么，如何引导学生感受数学知识的整体性？笔者以起始课为研究对象，从整体性思维的角度对起始课教学进行了初步的探索，以此文与大家讨论交流。

一、起始课的重要性及学习现象

起始课往往安排在数学教材每个单元的第一课，是本单元或者同板块知识学习的基础，所以它具有基础性，同时它对学生后续学习起着知识、经验、方法等方面的奠基作用，因而它又具有发展性。教材在起始课中安排的内容往往是描述性知识，学生通过语言描述进行识记。例如《分桃子》一课的重点是除法的竖式计算，难点是理解除法竖式每一步的意义，学生可以通过死记硬背、模仿等方式习得知识。因此，学生能正确列出除法竖式，但未必明白除法竖式这么写的原因;学生能说出除法竖式每一步的意思，却未必真理解。在日常教学中，确实有部分学生对于除法竖式的正确书写和意义描述，靠的是死记硬背和大量重复性练习。这样的学习过程让学生的思维只是停留在知识的表面，他们看似掌握了知识，实则没有真正理解知识的来龙去脉，未能感受到数学知识间的联系，不能由此及彼。因此，如何关注起始课的基础性和发展性，以整体性思维进行起始课教学，值得我们研究与探讨。

二、起始课以挖掘与后续学习的共通性为设计关键

数学学习的共通性指相关数学内容在理解上具有相通点，它是单元学习的基础，贯穿于单元学习的始终。学生对数学知识内容的理解和学习具有一致性、连贯性和阶段性的特点。教师在单元学习的起始阶段，要从学生理解的角度发掘单元学习内容的共通性，为整个系列内容的学习奠定基础。如北师大版教材三年级下册“两、三位数除以一位数的笔算除法”的知识、技能和数学思想方法与四年级上册“三位数除以两位数的笔算除法”是相通的，两者具有一致性，这种在前后知识学习中相近或相通的知识、技能和数学思想方法体现了学习的共通性。本单元的学习重点是两、三位数除以一位数，商是两位数的除法竖式计算。在此之前，学生在二年级已经学习了两位数除以一位数，商是一位数的除法竖式。本单元的除法竖式，要两步求商，在列除法竖式的过程中要思考“先写哪步，后写哪步”，即本课是学生探究“除法竖式从高位算起”的起始课，而学生后续学习两位数甚至更多位数除以一位数以及三位数除以两位数的竖式计算，均要运用“除法竖式从高位算起”这一运算法则。可见，本课探究的运算法则与今后将学的所有除法竖式具有共通性。

本课时教材安排的题型有两种：（1）被除数十位、个位上的数都是除数的整数倍，如68÷2;（2）被除数十位上的数是除数的整数倍，个位上的数不是除数的整数倍，如68÷3。这两类除法算式看起来不一样，但它们的计算过程具有很强的相似性，不管先从被除数高位算起还是先从被除数低位算起，难易程度都是一样的，这是由于这两类被除数的十位数都是除数的整数倍，计算过程中不会产生“被除数的十位数有剩余，与个位数合一起继续除”的情况，从而导致学生在动手“分小棒”求商的过程中，无法区分是“从高位分到低位”还是“从低位分到高位”的情况，这对学生体验“除法竖式从高位算起”的必要性造成很大干扰。因此，为引导学生充分体验“除法竖式从高位算起”这一看似人为规定的运算法则的合理性，笔者对本课教材中的“分一分”环节进行了调整，把第二课时“被除数的十位数有剩余，与个位数合一起继续除（48÷3）”的类型整合到本课的“分一分”环节中，引导学生在两种类型的“分一分”中发现“先分个位数再分十位数”的局限性以及“先分十位数再分个位数”的合理性，进而为理解“除法竖式从高位算起”建立具体、直观的表象。

教师设计了以下教学步骤。首先，借助情境图引出两个问题：（1）有68个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分到多少个？（2）有48根胡萝卜，平均分给3只兔子，每只兔子分到多少根？让学生独立思考。接着，请两位学生用分小棒的方式展示68÷2的不同过程：一位学生先分十位再分个位;另一位学生先分个位再分十位。学生发现两种分法结果相同。最后，引导学生用分小棒的方式展示48÷3的过程，组织全班交流，总结得出：对于48÷3这一算式，先分十位上的数，再分个位上的数会更简单，因此，我们在分小棒时一般都从被除数的高位开始分。教师板书展示分物过程（如图1），突出不同方法之间的差异。

由此，学生在接下来的探究除法竖式的过程中，便能较为容易地明白“除法竖式从高位算起”的合理性。这样，对于“除法竖式从高位算起”这一运算法则，学生不是被动接受的，而是在经历了鲜明对比、充分体验的过程后，自然而然地接受并运用这一运算法则的。

三、起始课的落实以夯实与后续学习共通的学习活动为关键

除法竖式是除法求商的基本方法，可减轻学生计算过程中的思维负担。《分桃子》一课是学生第一次学习两步求商的除法竖式，虽然学生不借助除法竖式也能用口算求出商，但他们后续需要学习借助除法竖式求商的除法。为此，学生是否真正理解两步求商除法竖式的法则，影响着他们后续对除法竖式理解与掌握的程度。学生理解了除法竖式计算从“高位算起”这一运算法则后，并不代表他们就能正确列出除法竖式。图2呈现的竖式较为普遍。

图2中的除法竖式，把口算过程“安装”到了竖式中，这在被除数的十位数刚好能平均分完的情况下才成立，而在被除数的十位数不能平均分完有剩余的情况下，就没法这样表示了。另外，这样的竖式并不能很好地表示“先分十位数再分个位数”的平均分物过程。除法竖式在四则运算中是较难的一种法则。历史上出现过许多现在看起来极其烦琐的计算方法，但不论是中国古代的“算筹计算法”、中世纪欧洲的“帆船除法”，还是现代的“短除法”“长除法”，都将除法计算按一定顺序分解为更简单的步骤，并将中间结果和最終结果记录下来，具体表现为“分层书写”，这也是这方面内容学习的重要抓手。可见，除法竖式是程序性运算，反映了“平均分”的过程。53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70

教学中，教师可以在“平均分物”的基础上，引导学生思考怎样用竖式把刚才的分物过程一步一步记录下来。如，十位上的6个十和个位上的8个一，分别是怎么分的，该怎么记录，即要分成“几个十”和“几个一”两部分，这是笔算的算理，从而加深对“先分高位，再分低位;数位对齐”的算法的体验。

这样，在教学列竖式计算前，先引导学生动手操作“摆小棒”，再通过语言表征，和同学说一说分物过程，最后进行抽象归纳。学生总结形成除法竖式的书写格式，理解和掌握除法竖式的书写过程。这样，学生在学习后续的除法竖式时，能顺利迁移相关经验、方法，增强后续学习的主动性。

四、起始课应基于整体知识脉络将学生思维引向“远方”

在面对一个新的数学研究对象时，教师首先要有“整体观”，为学生构建研究的整体框架，再在“获得研究对象就是要让学生理解相关数学概念的内涵和外延”“研究数学对象的性质就是探究它的要素，建立相关要素之间稳定的联系”“通过类比、推广、特殊化等发现和提出值得研究的问题”“通过建立相关知识的联系，使学生形成知识体系，更有效地解决问题”等具有普遍意义的一般观念的指导下，展开学习和研究。可见，教师基于整体性思维构建起始课的教学，将有效提升学生的系统思维，为学生建构完整的认知结构奠定基础，并让学生的思考得以自然拓展。

“分步求商的除法竖式”这一内容，类型有很多种，但前后知识间的共通性较多，不管是两、三位数除以一位数，还是三位数除以两位数，甚至是多位数除以多位数，都要遵守基本的计算法则——“从高位算起”“除到哪一位，商就写在那一位上面”“分层书写”。因此，在单元起始课《分桃子》一课的教学中，教师可以将这些知识点及方法进行渗透。比如教师提出两个问题引导学生反思提炼：“通过这节课有什么收获？接下来的数学课，我们会研究什么呢？”这两个问题不仅引导学生回忆了除法竖式的学习过程及每一步的意义，还由此打开了学生的思维。学生纷纷提出：除法竖式会不会有特殊情况？三位数甚至更多位数除以一位数、三位数除以两位数、小数除法该怎样计算？……有学生甚至提出要教师出几道更多位数除以一位数的除法算式题，因为他们觉得可以把本课学到的知识、方法应用到难度更大的除法竖式中。在这样的学习状态下，学生不仅有所得，更能将“已所得”转化成后续学习的出发点和动力，感受到数学知识之间的联系和发展，为建立整体性知识网络打下良好基础。

从起始课的基础性出发，思考起始课的发展性，是整体性思维运用于起始课教学的基础;进而，挖掘起始课与后续学习的基本共通性，夯实与后续学习共通的基础，构建学生的整体性知识脉络，是充分发挥起始课价值的有效之举。在数学课堂教学中，如何利用起始课引导学生形成以整体性思维学习数学的意识和能力，发挥起始课的价值，是值得我们深入研究的问题。

参考文献：

[1]王新春，曾小平.除法竖式为什么从高位算起[J].数学之友，2018（4）：1-3.

[2]荆亚琴，潘小福.“46÷2”的竖式为什么要分层书写？[J].教育视界，2019（4）：75-77.

[3]章建跃，陈向兰.数学教育之取势明道优术[J].数学通报，2014（10）：1-7.

（1.浙江师范大学附属小学   321004

2.浙江師范大学教师教育学院   321004）53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70