孙晓天 邢佳立

把核心素养设定为义务教育数学课程的统领性目标，是本轮课标修订中的一个重大变化，“会用数学的语言表达现实世界”是数学核心素养之一。我们都熟悉“数学是科学的语言”这句话，但对基础教育数学课程而言，“数学语言是什么”“数学语言从哪儿来”“数学语言有什么用”“数学语言除了是科学的语言，还有哪些独特的教育价值，它的教育意义在哪里”等问题在以往的数学课程中，或在教师过去积累的教学经验里，其实都还没有明确的位置。对于“为什么要把数学语言作为核心素养”“数学语言有哪些功能，它的具体表现是什么”等问题，一线教师也感到迷茫。本刊记者邢佳立（以下简称“邢”）围绕这些问题对中央民族大学孙晓天教授（以下简称“孙”）进行了采访。

邢：孙教授好，在2000年课程改革之前，我们的数学教育受应试教育影响比较大，课程内容多是现成的结果，教学讲究的是开门见山，追求的是“精讲多练”带来的“高效”，在课改以后我们的数学教学开始逐步关注引导学生经历学习的过程。把“会用数学的语言表达现实世界”作为核心素养，与时代的发展有关吗？

孙：这是一个好问题。你实际在问的就是为什么要把数学语言作为核心素养。这的确是时代发展的要求使然。你刚才提到的那些在应试氛围之下的数学教学表现，如果放在自20世纪中期开始、我国从农业化向工业化加速转型的时期，就都是值得肯定的有效教学方式。因为在那个时期，国家的发展以“多快好省、力争上游”为目标，追求的就是立竿见影。这种追求反映在数学课程目标上，当然也要“又对、又快、又准”。所以像勤学苦练、死记硬背、机械训练等就成了当时理所当然的教学选择，怎么能高效学会就怎么做，数学的语言功能根本走不上前台。

另外，那时的生产力水平还比较低，教育的普及率也不理想，系统学习数学的人还不多，在那个以劳动密集型产业为主的时代，数学与社会生产和生活之间的交集十分有限。当数学只是面对小众时，数学语言的作用和影响肯定就难以彰显，数学语言当然不可能成为那时的数学课程目标。

今天是信息时代，人工智能和大数据的浪潮开始汹涌澎湃，数学语言已经成为人们日常交流不可或缺的组成部分。就以我们经常用到的“××导航”为例，其中的方向、距离、速度等都是数学语言，如果有一句听不懂，就可能迷路。至于那些与每个公民都息息相关的疫情通报、天气预报，以及国家统计局公布的经济数据、人口普查数据，甚至对一场体育比赛的关注、对一部影视作品的评价等，都离不开数学语言。在这个时代，一个人想要公平地获得信息和有理有据地做出判断，几乎都离不开数学语言。

时代的发展，使数学的交流功能日益放大，数学语言的作用迅猛扩大，数学语言与个人的生活质量、职场表现和社会见识之间的关联越来越紧密，影响越来越明显。这些现象说明，是发展的需要推动数学语言走上课程的前台，数学语言满足了其作为核心素养走进数学课程的条件。

在数学科学领域，数学语言的作用和影响从来都是举足轻重的。哲学意义上关于数学是什么的语言表述问题，在20世纪上半叶曾经引发了一场大讨论。那时世界上最有名的数学家几乎都参与了这个举世瞩目、影响深远的讨论。随着讨论的展开和深入，衍生出数学基础论、数理逻辑、模型论等一系列与数学语言有关的数学学科。虽然一直到现在，关于数学是什么的问题还没有得到完全解决，但在这场大讨论中派生出的许多成果，已经成为计算机科学、信息科学的基础，有的还为人工智能和大数据等新兴学科提供了生长点。

在数学课程领域，如果想要别人了解你从一个问题情境中观察到了什么，就必须用数学语言把这个结果表达出来，使个人的主观意识转化为一个客观和可视化的存在。没有数学的表达就无法形成数学概念，因而也就无法揭示数学的本质，更谈不上用数学去分析问题、解决问题了。

在讨论数学眼光时曾经提到，数学是以真实世界里并不存在的抽象数量关系和空间形式为对象，并通过一种间接的方式，达到认识真实世界、解决真实问题的目的。其实，这个间接的方式就是数学的语言表达。

总之，在时代发展的推动下，数学语言已经从数学的象牙塔里走出来，作为不可或缺的品格和能力，与每一个学生未来的职业和生活紧密联系在一起。

邢：听了您的介绍，我们更清晰地知道了在时代发展的大背景下，学会使用数学语言有多么重要。我们知道，自然语言有三个基本功能：信息的载体、认识世界的工具和交流的桥梁。数学语言的功能跟自然语言有什么不一样吗？

孙：数学语言也同样具有载体、桥梁和工具这三个功能，不过数学有其独特的表现形式。一般说来，自然语言有文字语言、图形语言和符号语言三种形式，三者之间可以互相转化，数学语言也是如此。不同之处在于，世界各地在自然语言中使用的文字和发音往往各不相同，所用的图形和符号也会有所区别。而数学语言不是这样，数学中使用的图形语言和符号语言是全世界统一的，它是一种世界性的通用语言。

这里仅以符号语言为例做些說明。

数学的符号语言包括三类元素：基于阿拉伯数字的数字符号，通用的运算符号，以及字母，包括英文字母、希腊字母和拉丁字母。用这些元素把数学的某个要求或某种规律表示出来，就是数学的语言表达。或者说，数学的符号语言，就是由这样的数字、符号和字母“串”在一起组合而成的。在小学阶段，使用希腊字母和拉丁字母的比较少，绝大多数的数学运算符号也没有出现，但已经出现的，都是最常用甚至会和我们终生相伴的数学符号。

虽然数字、符号和字母的组合是数学语言，但随意组合在一起的数字、字母、符号串一般没有什么意义。就像随意写几个汉字，如“吃、西、东、丑”，每个字大家都认识，都明白其字意，但串在一起之后，“吃西东丑”却提供不了任何有用的信息。当然，也可以说它是一个编码，而如果真的视其为编码，就意味着每个字本身的意义已经消失，虽然它们看着还是汉字，但实际上只相当于几个没有任何含义的字母，所以仍然没有一般的语言表达功能。FF00264C-2302-40D8-9588-29F7ADA49B6D

邢：什么样的数字、字母、符号串才是有意义的数学符号语言？您能具体跟我们讲讲吗？

孙：广义的答案比较复杂，要用到数理逻辑。如果把范围局限在基础教育课程领域，把“有意义”理解为有教育意义，答案就比较明确：只有作为沟通真实世界与数学世界的桥梁、理解数学世界的工具和解决数学问题的载体的数字字母符号串，即具有桥梁、工具和载体作用的数字字母符号串，才是有意义的数学语言。需再次强调，这个“意义”是指教育意义。

有意义是数学语言的特征，如果在一个数字字母符号串的背后，能讲出一个与“桥梁、工具、载体”有关的真实或抽象的“故事”，这个数字字母符号串就是有意义的数学语言。如x-3=8，就讲了一个已知的8、3和未知的x之间，由等式关系表达的抽象故事。所以它是有意义的数学语言，可以叫作方程。[而x-3÷=8]，也是数字字母符号串，但运算符号“[÷]”后面直接是等号，使得它与“桥梁、工具、载体”之间毫无关系，什么故事都讲不出来。虽然它也是一个数字字母符号串，但并不属于数学语言。

邢：听了您的讲解以后，如何把握数学语言的特征和意义我理解了。那么，在教学中有意义的数学语言怎样产生呢？是按事先的设定“教”给学生，还是由学生自己在解决问题过程中，发现和运用数学语言，并体会其功能与意义？

孙：这个问题与数学语言作为核心素养的课程价值有关。这方面的问题如果用脑科学、认知科学和语言学从原理开始解释，几乎又是一本难以读懂的厚书，这里没必要搞得那么复杂。下面仅从教学实践的角度，大体描摹一下有意义数学语言从何而来。

当教学过程中学生自己产生“想一想”“说一说”或“写出来”的需要时，“学会用数学语言表达”就开始登场了。需要说明的是，有意义的数学语言离不开数学眼光和数学思维。

举个例子：一号教室的面积是40平方米，它的长、宽各为多少？

首先，当用数学眼光从问题情境中“剥离”教室、面积、平方米等物理属性之后，需要用数学语言把留下的元素表示出来，代表这个“剥离”过程的成功。如，一、40、a（表示长）、b（表示宽）等等。

然后，去掉与解决问题无关的元素“一”，保留与解决问题有关的元素，或称关键元素：40、a、b。其中确定谁去誰留的过程常常会表现为一个推理过程，需要通过数学思维进行。

最后，如果留下的关键元素多于一个，这些元素之间的关系就成为解决问题的关键，需要继续通过推理，用数学的语言把这个关系表示出来。在这个例子中，40、a、b之间的关系是已知的：40=a[×]b，需要继续推理，用数学的语言把a和b具体表达出来，得到问题的答案。到此，代表问题情境本质属性的数字字母符号串40=a[×]b以“关系及其表示”的形式表现为解决问题、寻求答案的载体。

虽然a=2，b=20或a=5，b=8都满足40=a[×]b，但究竟哪一个更符合作为教室的要求，仍然需要使用数学语言来作为沟通数学世界与真实世界之间关系的桥梁。至于还有没有其他的答案，肯定都离不开数学语言的表达。

例子虽然简单，但可以说明，数学语言的意义来自解决问题进程中的表达需求。

上述过程如果在学生已经掌握了完备的数学符号语言的情况下进行，就是一个直接的数学语言表达。如果学生已经掌握的数学符号语言还不足以直接表达，如例子中的面积概念、面积计算公式、倍数关系的表示等还是学生未知的，这个过程就同时成为一个开发数学语言的过程，所以是一个间接的数学语言表达。无论是直接的还是间接的表达，这两种途径都是有意义的数学语言的来源。特别地，由于基于核心素养目标的教学倾向于营造开放的学习环境，间接的表达方式会使学生同时进入一个开发数学语言的过程，能呈现数学语言更为丰富多彩的侧面。虽然殊途同归，最终必须进入共同的数学语言系统，但在一个开放的环境中为寻找恰当的符号语言或表达方式而进行的探索，肯定是培育核心素养的摇篮。

读者可以举一反三，自己循着同样的思路举一个能与有意义的数学语言结合起来的例子。同时把这个例子作为了解数学语言、数学眼光、数学思维之间关系的机会，体会一下“三会”虽然各自单独表述，但本质上是共为一体、不可分离的。语言的产生伴随着眼光和思维，眼光和思维的产生亦是如此。这种关系后面还会提到。

总之，数学语言就是在一次次这样的“表达”活动中成长壮大，并逐渐成为一种素养，嵌入学习者的人格，对他们未来的学业、职业和生活产生影响的。

邢：谢谢孙老师！今天的交流让我们对数学语言理解得更加深刻了。下一期访谈，还想请您跟我们聊聊把数学语言作为核心素养有哪些意义，我们下期再见。

（1.中央民族大学   1000812.浙江教学月刊社   310023）FF00264C-2302-40D8-9588-29F7ADA49B6D