胡梦薇

【摘要】本文研究了一类不定积分的两种解法：一种是教材常用的分部积分循环解出的方法，另一种是借助于欧拉公式构造复变函数积分的新解法，并且给出了此类不定积分的计算结果.其中第二种方法具有计算简洁的优点.

【关键词】不定积分;指数函数;三角函数;欧拉公式

一、引言

在高等数学教学中，我们经常会遇到计算有关指数函数与三角函数乘积形式

∫eaxsin bxdx，ab≠0（1.1）

的不定积分，此类不定积分计算过程比较复杂，也是教学中的难点问题.鉴于此，本文给出了两种求解方法：一种是教材中常用的分部积分循环解出的方法，另一种是利用复变函数知识，借助于欧拉公式的推广形式，构造一个复变函数积分进行求解.

二、准备知识

定义2.1 如果自变量从初值x0变到终值x，对应的函数值由f（x0）变化到f（x），则称x-x0为自变量的增量，f（x）-f（x0）为函数的增量，分别记作Δx，Δy，即

Δx=x-x0，或x=x0+Δx.

Δy=f（x）-f（x0）.

函数增量又可表示为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

定义2.2 设函数y=f（x）在点x0及其领域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，函数有相应的增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，则称f（x）在点x0处的导数存在或者可导，这个极限值就称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y′x=x0，即

y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.（2.1）

也可以记为f ′（x0），dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

如果（2.1）式的极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处导数不存在或者不可导.如果函数y=f（x）在区间（a，b）内每一点都可导，则称函数y=f（x）在区间（a，b）内可导.这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都有唯一的导数值f ′（x）与之对应，所以f ′（x）也是x的函数，称它为y=f（x）的导函数，记为

y′，f ′（x），dydx，df（x）dx.

区间（a，b）称为函数y=f（x）的可导区间，于是导函数的定义为

f ′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）Δx.

下……